第七节数学的全面繁荣省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第六节：数学全方面繁荣一、解析几何创建二、微积分诞生三、概率论建立四、非欧几何学出现第1页本节教学目标和要求1.了解近代资本主义大工业建立对近代数学推进作用；2.了解解析几何创建在数学史上划时代意义；3.全方面认识微积分发展线索，重点了解牛顿和莱布尼兹各自建立微积分过程和特点；4.深入把握非欧几何学创建过程，着重了解科学发展内在逻辑。第2页近代变量数学发展线索解析几何非欧几何-----拓扑学微积分（牛顿、莱布尼兹）-----分析类分支概率统计第3页变量数学兴起数学中转折点是笛卡儿变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了……在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分发觉那样被看作人类精神最高胜利了，假如在某个地方我们看到人类精神纯粹和唯一功劳，那正是在这里。——恩格斯第4页一、解析几何创建在17世纪，数学科学发生了根本性转折，这种转折实质上是由社会生产力急速发展所引发。数学根本性转折之一是解析几何诞生。解析几何创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何不足表示不满:古代几何过于抽象,过多地依赖于图形.他们代数也批评代数过于受法则和公式约束,缺乏直观.同时,他们都认识到几何学提供了相关真实世界知识和真理,而代数学能用来对抽象未知量进行推理,代数学是一门潜在方法科学.所以,把代数学和几何学中一切精华东西结合起来,能够取长补短.这么一来,一门新科学诞生了。第5页一、解析几何创建解析几何学是由法国费马（1601－1665）和笛卡尔（1596—1650）各自独立创建。费马把代数学利用于几何学，采取在一个坐标系中以一系列数字表示一条曲线轨迹方法。费马成就在其逝世后才发表。费马笛卡尔第6页笛卡儿理论笛卡儿解析几何学成就表达在其1637年发表《方法论》中，以两个思想为基础:一个是坐标思想；另一个是方程与曲线思想，即两个未知数表示某个代数方程能够看成平面上一条曲线；反之，一条曲线能够用曲线上任意点（x,y）坐标之间方程关系来表示。笛卡儿对几何问题应用了代数方法:研究几何轨迹问题，提出在由两条直线组成平面坐标系里几何图形都能够转化成一个二元方程，这么平面几何学问题就都能够用代数学方法加以处理。解析几何精华在于把几何曲线用代数方程来表示,同时又用代数研究方法来研究几何。第7页殊途同归费马从代数方程出发来寻找其轨迹，笛卡尔则从轨迹出发来寻找其代数方程，是数学发展殊途同归。过去数学只能描写一些确定、不改变量，解析几何学使得变量描述成为可能，这是数学发展史上一次质飞跃。第8页解析几何出现后很快，微积分也被发觉了。能够说，微积分不但是数学伟大发觉，也为近代科学开辟了光明道路；微积分不但是17世纪伟大发觉，而且是世界人类文明史上最为光芒灿烂发觉。二、微积分诞生第9页十六、十七世纪科学和生产中面临大量主要问题，促进了微积分诞生与发展。微积分起源是科学发展对数学要求必定：速度、距离、重心；切线、长度、面积、体积；极值问题等等。速度微分距离积分二、微积分诞生第10页微积分发展历史足迹

古希腊时代伟大数学家、力学家阿基米德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅父子等为积分思想形成和发展做出了主要贡献，他们工作领先了欧洲数学家工作一千多年。16，17世纪是微积分思想发展最为活跃时期，其出色代表有伽利略、开普勒、卡瓦列里、费马、巴罗，等。他们工作为牛顿、莱布尼兹(GottfriedWilhelmLeibniz1646-1716，)创建微积分理论奠定了基础。第11页牛顿微积分

牛顿在17世纪60年代创建了微积分，他称之为《流数术》，其基本原理是把数学中量看作是由连续轨迹运动产生，不再看作是由无穷小元素组成。牛顿使用了无穷小增量，但对这个概念没有给出明确要求和严格数学证实。第12页微分与积分:无穷级数形式微积分应用

牛顿求积分:二项式定理牛顿微积分第13页莱布尼兹微积分莱布尼兹于1684年发表了微积分结果，他称之为求差方法和求和方法。其基本思想是把一条曲线下面面积分割成许多小矩形，矩形与曲线之间微小直角三角形两边分别是曲线相邻两点纵坐标和横坐标之差，当这两个差无限减小时，曲线上相邻两点便无限靠近。连接这么两点就得出曲线在该点切线，就是求差方法。求差反面就是求和。第14页莱布尼兹微积分第15页微积分创造权之争牛顿和莱布尼兹关于微积分创造权之争造成英国数学家与大陆数学家之间对峙，学术上形成门户之见，严重地妨碍了科学进步，应引认为鉴。牛顿和莱布尼兹方法都是建立在一个未加严格定义无穷小增量基础之上，尽管该方法在应用中非常有效，但其数学基础并不牢靠，直到19世纪法国柯西（1789—1857）和德国维尔斯特拉斯（1815—1897）等人给出“极限”概念，才为微积分奠定了严格基础。柯西维尔斯特拉斯第16页微积分伟大意义1、微积分改变了数学研究对象、方式和方法，带来了数学空前和持久繁荣兴盛！显示了数学内部辨证统一深刻哲理。2、推进了科学技术发展。有了微积分，它就成为了物理学基本语言。其它如力学、天文学、化学等学科都得到了无限推进力。3、对人类物质文明作出了巨大贡献。数学方法应用和更新，经过其它学科对人类进步产生了前所未有作用。第17页三、概率论建立概率论建立首先是费马和他同时代帕斯卡功劳，他们经过对游戏和赌博中掷骰子考查，从大量偶然性事件中寻求其统计上必定性，从而创建了概率论。第18页四、非欧几何学出现为了消除欧氏几何学第五公设“疵点”，英国高斯、俄国人罗巴切夫斯基、匈牙利人波耶、德国人黎曼分别创建了非欧几何学，打破了欧氏几何一统天下，拓宽和深化了人们对空间认识。第19页公理体系一组公理体系应该含有以下三个性质：（1）完备性：就是说使整个学说中要用一切事物都完全可归结到公理，使之不存在任何默许其它假定。（2）相容性：从公理不能推出两个相互矛盾定理。（3）独立性：任何一个公理都不是另一个公理推论。第20页欧氏几何公理体系出现在欧几里德《集合原本》中，在2200年之后，希尔伯特在《几何基础》加以完善。其间，许多数学家作了许多公理体系完备性工作。然而，令人放心不下是该公理体系中第五公理，即平行公理独立性问题。因为人们发觉即使欧几里德本人也尽可能防止使用它。所以人们开始从三个方面研究平行公理。（1）试图给出新平行线定义以绕开这个困难；（2）试图用比平行公理缺点更少其它公理取代它；（等价或包含）（3）试图用其它公里推出它。第三个问题得到最多研究，不过毫无结果。第21页αβ第22页第五公设证实：非欧几何萌芽在公设、公理基础上建立起来欧几里德几何学被公认为是数学严格性典范。不过数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某种瑕疵。其中最让数学家们感到不大舒适是第五公设。第五公设所说明事实不象其它几条那样显而易见，缺乏作为一条公设所必须有自明性。人们不怀疑其真实性，但怀疑其作为公设资格。所以许多人试图来证实第五公设。第23页非欧几何创建1792年高斯（CarlFriedrichGauss1777-1855）十五岁时就开始考虑第五公设问题。1816年左右他已取得了非欧几何基本思想，确信存在一个与欧氏几何不一样几何学。第24页创始人？不过高斯有一个习惯，在任何情况下，他都把他结果保密一段时间。所以数学史上认为首先确立非欧几何是另外两位数学家罗巴切夫斯基和波耶。高斯这么做或许还出于别考虑，主要是为了少招徕愚蠢偏见。因为他说过，“它公开将引发愚人叫喊”。第一个公开发表非欧几何论文罗巴切夫斯基确实付出了相当大代价。第25页罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基NikolaiIvanovichLobachevskii（1793-1856）

大约在1815年开始研究第五公设问题。罗巴切夫斯基以深刻洞察力提出了造成几何学革命新思想。他大胆预言，由第五公设否命题出发而得到结果代表着一个新几何学。第26页非欧几何诞生及其阻力1826年2月11日罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系会议上宣读了题为《几何学原理简述及平行线定律严格证实》论文。在否定第五公理同时，假设其反面之一：“过已知直线外一点，可作多于一条直线与已知直线平行”，建立了一门新几何学。这是过去年以来重大突破。不过在普通人心目中，甚至数学家心目中，欧几里德堡垒是如此坚固。罗巴切夫斯基工作得到是许多数学大家嘲笑、讽刺。第27页波耶（1802-1860，JánosBolyai）非欧几何另一位创始人是匈牙利数学家波耶。就读于维也纳工学院波耶醉心于第五公设问题。在1820年左右他相信建立一套新几何学是完全可能。波耶和罗巴切夫斯基所描述非欧几何习惯上称为罗巴切夫斯基几何或双曲几何。第28页罗巴切夫斯基几何基本特征（1）认可空间是弯曲，任何直线都是曲线，任何平面都是曲面；（2）其所描述空间曲率处处等于一个非零常数；就是说空间处处一样弯，而且是均匀；（3）认为平面上过一点能够作无数条直线和一已知直线不相交，它们和已知直线都不能保持同一距离；（4）三角形三内角之和小于180度；（5）圆周长与半径不成百分比，而是比半径增加得快。第29页黎曼

BernhardRiemann

1826-1866非欧几何在创建后三、四十年间完全被学术界忽略，直到十九世纪中期，黎曼工作造成了突破。第30页黎曼空间黎曼在高斯指导下进行研究。黎曼认为，非欧几何不但仅只有一个。他推广了曲面高斯曲率，建立起黎曼空间曲率概念。在普通黎曼空间中，空间每一点曲率是不一样，也就是说黎曼空间本质上是不均匀。第31页黎曼曲率为常数在黎曼曲率为常数特殊情况下，空间分为三种类型：（1）零曲率空间，即欧氏几何空间；（2）负曲率空间，即罗氏几何空间；（3）正曲率空间，即狭义黎曼几何空间或称椭圆几何空间。欧氏几何和罗氏几何成了更为普通黎曼几何特例。第32页黎曼几何特征在黎曼几何中欧几里德第五公设被替换为：经过已知直线外一点，不能画一条直线与已知直线平行。作为推论，在黎曼空间中，经过两点能够画无穷多条直线；不存在无限长直线概念；三角形三内角之和总大于180度。第33页只有一位听众懂1854年黎曼做了题为《关于作为几何学基础假设》就职讲演，在这个讲演中正式提出和建立了黎曼几何。讲演题目是高斯指定。他听众中除了年迈高斯之外没有一个人听得懂他在说些什么。黎曼讲演在他死后两年即1868年出版。第34页非欧几何地位确实立同一年(1868)意大利数学家贝尔特拉米（Beltrami，1835-1899）给出了罗氏几何一个欧几里德解释；克莱因（Klein，1849-1925）在1870年给出了另一个更直观模型，使得原来似乎复杂和难以接收思想变得易于了解了。以贝尔特拉米和克莱因工作为契机，非欧几何在数学领域地位才牢靠地确立起来。第35页1、处理了平行公理独立性问题。推进了普通公理体系独立性、相容性、完备性问题研究，促进了数学基础这一更为深刻数学分支形成与发展。2、证实了对公理方法本身研究能推进数学发展，理性思维和对严谨、逻辑和完美追求，推进了科学进步。在数学内部，各分支纷纷建立了自己公理体系，包含被公认为最困难概率论也在20世纪30年代建立自己公理体系。实际上公理化研究又孕育了元数学产生和发展。非欧几何产生重大意义第36页3、非欧几何实际上预示了相对论产生，就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代事件。人们都认为是爱因斯坦创建了相对论，不过，可能爱因斯坦更清楚，是他和一批数学家等共同工作。出现动钟延缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论科学发觉。

非欧几