第07讲函数的图像

第07讲函数的图像1．利用描点法作函数图象的方法步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变,0<a<1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变))y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af(x)．(3)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．(4)翻折变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|.②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．一．作出函数的图像例1．（1）作出下列函数的大致图象：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④.【分析】根据函数图象的变换规则及指数函数的图象与性质作出函数图象.【详解】=1\*GB3①函数的图象为指数函数的图象的纵坐标伸长为原来的2倍，如图1所示；=2\*GB3②函数的图象向下平移两个单位的到函数的图象，将函数在x轴上方的图象不变、x轴下方的图象沿x轴翻折即可得到函数的图象，如图2所示；=3\*GB3③作出的图象如图3所示；=4\*GB3④作出的图象如图4所示.【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、函数图象的变换，属于中档题.（2）根据的图像，作出下列函数的图像：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．【分析】根据对数函数的图像，结合绝对值的性质，通过平移、对称的方法在直角坐标系内画出函数图像即可.【详解】=1\*GB3①作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：=2\*GB3②把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，函数图像如下图所示：=3\*GB3③作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：=4\*GB3④把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：=5\*GB3⑤第一步：作出的图像.第二步：将的图像沿x轴向左平移1个单位长度得的图像.第三步：将的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得的图像.第四步：将的图像沿y轴向上平移2个单位长度得到的图像.【复习指导】：图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．(3)图像变换的翻折变换有两种：图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到的图像；图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到的图像．（3）先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：=1\*GB3①，；=2\*GB3②，；=3\*GB3③，；=4\*GB3④，为正实数.=5\*GB3⑤；

=6\*GB3⑥.【详解】=1\*GB3①列表如下：所以值域为：；=2\*GB3②列表如下：作出其图象如图所示：因为在上单调递增，，，所以值域为；=3\*GB3③列表如下：作出其图象如图所示：因为在上单调递减，，，所以值域为；=4\*GB3④定义域为，列表如下：作出其图象如图所示：由图知在上单调递增，，所以值域为.=5\*GB3⑤作出函数的图象与函数的图象，如图所示：由图可知，函数的图象是函数的图象向右平移一个单位得到，值域为.．=6\*GB3⑥作出函数的图象与函数的图象，如图所示：由图可知，函数的图象是函数的图象向右平移一个单位后，再将其沿轴对称翻折到轴下方得到，值域为．（4）作出下列函数的图象：=1\*GB3①y＝eq\f(2x－1,x－1)；=2\*GB3②y＝|x2－4x＋3|.=3\*GB3③y＝x2－|x|－2.=4\*GB3④【详解】=1\*GB3①y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．=2\*GB3②先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．=3\*GB3③y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．=4\*GB3④因为，所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：（5）若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（）．A． B．C． D．【答案】C【详解】从变成，应先将向左平移个单位，再关于轴对称，故选C．【复习指导】：常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有和关于轴对称，和关于轴对称，和关于原点轴对称等.（6）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的函数式为，则、的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先将变换后的函数的解析式化为顶点式，利用逆向变换，即先将该函数向上平移个单位，再向左平移个单位，得出函数的解析式，表示为一般形式后可得出、的值.【详解】将二次函数的解析式表示为顶点式得.利用逆向变换，先将该函数向上平移个单位，所得函数的解析式为，再将所得函数的图象向左平移个单位，得到函数的解析式为，因此，，，故选C.【点睛】本题考查二次函数图象变换，解题的关键就是利用逆向变换，从已知函数到所求函数，逐步写出每一步所得函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.（7）（多选）为了得到函数的图象，可将函数的图象（

）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的C．向上平移一个单位长度D．向下平移一个单位长度【答案】BC【分析】根据函数图像变换求得结果.【详解】解：由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，则错误，B正确；因为，则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象，则C正确，D错误.故选：BC.二．函数图像的辨识例2．（1）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.（2）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.（3）函数在区间（，）内的图象是()A．B． C． D．【答案】D【详解】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=，分段画出函数图象如D图示，故选D．（4）函数在的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．（5）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数的定义域为当时，，可知选项D错误；当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A【复习指导】：辨识函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．（6）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.【复习指导】：函数图象与解析式的对应情况可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断与图象的左右位置是否一致；从函数的值域，判断与图象的上下位置是否一致；(2)从函数的单调性，判断与图象的变化趋势是否一致；(3)从函数的奇偶性，判断与图象的对称性是否一致；(4)从函数的零点分布，判断与图象是否一致.三．函数图像的应用命题点1研究函数的性质例3．（1）（多选）下面关于函数的性质，说法正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在定义域上单调递减 D．点是图象的对称中心【答案】AD【分析】由，可知由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，根据的性质得到的性质，即可判断；【详解】解：由向右平移个单位，再向上平移个单位得到，因为关于对称，所以关于对称，故D正确；函数的定义域为，值域为，故A正确，B错误；函数在和上单调递减，故C错误；故选：AD（2）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.（3）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（

）A． B．函数在定义域上是周期为的函数C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为【答案】A【分析】首先时，函数变形为，再结合函数是奇函数，可计算求值，并判断选项B；根据条件，可判断和时，函数的值域，即可判断D；再结合条件，以及D选项，即可判断C.【详解】函数是上的奇函数，，由题意可得，当时，，，A选项正确；当时，，则，，，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，，若为偶数，则，即当时，，当时，，若，且当时，，，当时，则，，当时，，则，所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示：由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.（4）①在同一坐标系中，与的图象关于轴对称；②是奇函数；③的图象关于成中心对称；④的最大值为；⑤的单调增区间：．以上五个判断正确的有____________________（写上所有正确判断的序号）．【答案】【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的结论．【详解】对于①，由于，则在同一坐标系中，与的图象关于轴对称，故①正确；对于②，函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，故②正确；对于③，因为的对称中心，将函数的图象向左平移2单位，再向上平移1单位，可得到的图象的对称中心为，所以③正确；对于④，，因为，所以，所以当x=0时函数取得的最小值为，故④不正确；⑤函数的单调增区间为，故⑤不正确．综上可得①②③正确．故答案为①②③．【点睛】本题综合考查函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关函数的性质，同时对于一些基本初等函数（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等）的性质、图象等要熟练掌握．（5）设函数的定义域为R，则下列命题：①若是偶函数，则的图像关于轴对称；②若是偶函数，则的图像关于直线对称；③若，则函数的图像关于直线对称；④与的图像关于直线对称．其中正确命题的序号为________．【答案】②④【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可.【详解】若是偶函数，则，所以的图象关于对称，①错误，②正确；，令即，所以是偶函数，图象关于轴对称，③错误；是将的图象向右平移2个单位而得，是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，因此与的图象关于对称，④正确.故答案为：②④【复习指导】：利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．命题点2确定零点个数、解不等式例4．（1）奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数为奇函数，可得，即和同号，所以或，再结合函数的大致图象即可求解．【详解】解：在定义域上为奇函数，，，或，由题可知的大致图象如图：∴该不等式的解集为,故选：D.（2）已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后对不等式进行恒等变形，结合函数图像确定不等式的解集即可.【详解】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式即，即，观察函数图像可得实数的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（3）若函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】的零点即方程的根，设，则，先解方程的根t，再根据图像数形结合的解的个数即可.【详解】函数，的零点即的根，设，则，先解方程的根t，再计算的解.时得；时得.如图所示，函数的图像，方程和方程各有两个解，即方程共有4个解，故的零点有4个.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.【复习指导】：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．（4）函数f(x)=-|sin2x|在上零点的个数为()A．2 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】在同一坐标系内画出两个函数y1=与y2=|sin2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数．【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y1=与y2=|sin2x|的图象，结合图象可知两个函数的图象在上有5个交点，故原函数有5个零点．故选C．【点睛】判断函数零点的个数时，可转化为判断函数和函数的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用．（5）定义在R上的偶函数满足,当时，，设函数，则函数与的图象交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据的周期和对称性得出函数图象，根据图象和对称轴得出交点的个数．【详解】：∵，∴，∴的周期为2．∴，故的图象关于直线对称．又的图象关于直线对称，作出的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（-1，3）上共有4个交点，故选：B.命题点3求参数的取值范围例5．（1）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数恰有3个零点，即函数与的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果.【详解】函数恰有3个零点，即函数与的图象有三个交点，分别画出与的图象，如图所示，，观察图象可得，当时，两图象有3个交点，即函数恰有3个零点.故选：A.【复习指导】：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.（2）若曲线与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是_______．【答案】【分析】作出函数与函数的图象，观察图象得出当直线与函数的图象有两个交点时，实数的取值范围．【详解】作出函数与的图象，如下图所示：由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是，故答案为．【复习指导】：考查函数的零点个数与参数，解题的关键就是作出图象，将问题转化为两个图象的交点个数问题来求解，在画函数图象时，分析函数的一些基本性质以及一些基本的图象变换，数形结合得出结论．（3）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))【详解】先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).当－1≤k<eq\f(1,2)时，函数g(x)＝kx的图象恒在函数f(x)图象的下方．【复习指导】：利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．（4）把函数的图象向左平移()个单位长度后，所得图象对应的函数在上单调递增，则的取值范围为______.【答案】【分析】作出f(x)的图象，根据f(x)单调性即可和函数图象的平移即可求解．【详解】函数的图象如图：f(x)图象关于x＝1对称，在x＜1时单调递减，x＞1时单调递增，将f(x)的图象向左平移t(t＞0)个单位得到g(x)图象，要使g(x)图象在上单调递增，则t≥1．故答案为：（5）已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】先作出函数y=2f(x)的图像，再令=0，则存在5个零点，再作函数y=的图像，数形结合分析得到a的取值范围.【详解】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数存在4个零点，不合题意.当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数存在5个零点，符合题意.当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数存在6个零点，不符合题意.所以实数a的取值范围为.故答案为【点睛】本题主要考查指数对数函数的图像，考查函数图像的变换，考查函数的零点问题，意在考查学生学这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.解答本题的关键是画图和数形结合分析图像.（6）已知函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为_____.【答案】【分析】分析题意，进行等价转化为两函数的最大值的大小问题，分析转化两个函数的解析式，画出两函数的图象，利用数形结合可以得到实数的取值范围.【详解】由题意可知，对于任意，总存在，使得成立，等价于所以在上的最大值小于在上的最大值.,,的图象为分段的二次函数形式，的图象为反比例函数向左平移1个单位，向上平移4个单位得到，画出两函数在时的图象，如图所示.,点A是直线与函数()的交点，是、在轴右侧的交点.由图可知，为使在上的最大值小于在上的最大值.直线必须且只需在点之间，由，解得,由解得,∴实数的取值范围，故答案为：.1．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.4．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.【详解】定义域为，定义域关于原点对称，，是奇函数，排除C，D；当时，，排除B；故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.5．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.【详解】若，为增函数，且，与图象不符，若，为减函数，且，与图象相符，所以，当时，，结合图象可知，此时，所，则，所以，故选:C.6．函数的图象大致为（

）A． B．C．D．【答案】B【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..【详解】详解：为奇函数，排除A,，故排除D.，当时，，所以在单调递增，所以排除C；故选：B.7．已知函数，若，则（

）A． B．C． D．以上选项均有可能【答案】C【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.【详解】作出函数的图象，如图：由题意可知，，且由图象可知，，所以即，所以，即，，即，故选：C8．函数的图象如图，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除选项B,D,再利用函数的零点和特殊值排除选项A,即得解.【详解】解：由图得函数的定义域为，且是偶函数.由于选项B,D的函数为奇函数，所以排除B,D.对于选项A,函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，，令.所以函数轴右边图象只有一个零点1.,与图象不符，所以选项A错误；对于选项C,函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，令，所以函数轴右边图象只有一个零点1.，与图象相符，所以选项C有可能.故选：C的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.故排除A，选C.故选：C10．若函数的大致图象如图，则的解析式可能是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除B，根据值域或单调性排除C.【详解】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，对于C：，当x→＋∞时，→0，故，∵y＝增长的速率比y＝增长的速率慢，∴，即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.综上，D选项正确.故选：D.11．已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据图象观察函数的奇偶性、单调性、零点分布情况和函数值的正负分布情况，再根据选项中函数逐一排除BCD，即得对应函数可能是A.【详解】由图象知，函数关于原点对称，即为奇函数；当时，函数有3个零点；在y轴右侧一点，函数值，且在y轴右侧一点，函数递减.选项B中，函数，，当时，，故在上单调递增，与图象不符，不正确；选项C中，函数中，当时，，则，而，即，故，与图象不符，不正确；选项D中，，满足，即是偶函数，故与图象不符，不正确；故由排除法只能说选A，而选项A中，函数，满足，即是奇函数；当时，，故有两根：，即，且有一根：，符合题意中有3个零点；存在正数1，使得当时，.故以上性质均与图象符合，可能是图象对应的函数.故选：A．12．存在函数满足：对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的奇偶性可以判断A和B选项的正误；再根据的对称性判断C和D.【详解】必定是一个偶函数，故可以判断A和B选项是错误的；是由的图像向左平移一个单位得到，所以的图像关于对称，对于C，不关于对称，故舍去；对于D，关于对称，故正确，故选：D.13．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数的对称性，可得答案.【详解】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，的图象关于点成中心对称，，图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，的图象关于直线成轴对称，由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，对称中心关于直线成轴对称的点为，即.故选：A.14．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称Mx的不等式有最优解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C．∪ D．∪【答案】D【分析】将不等式转化为，结合图象求得的取值范围.【详解】可转化为，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示.易知m＝0时不满足题意.当m>0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，则，即，解得.当m<0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，则，即，解得.综上，实数m的取值范围是∪.故选：D15．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据所给条件可知函数单调递减，又由函数图象平移可知，据此建立不等式求解即可.【详解】因为不等式对于任意给定的不等实数恒成立，所以函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图象过原点，即函数的图象过，即，则由，可得2，解得.故选：16．已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题得或，求出的解为，命题等价于方程有两个不同的实根，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由题得，所以或，所以或，所以或的解为，所以方程有两个不同的实根，函数的图象如图所示，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．若函数图象与函数的图象关于原点对称，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设是函数的图象上任意一点，利用在函数的图象上，可得函数的解析式.【详解】设是函数的图象上任意一点，其关于原点对称的点是.因为点在函数的图象上，所以可得故选D.【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数图象的对称性，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.18．已知函数f（x）＝，若，且，给出下列结论：①，②，③，④，其中所有正确命题的编号是（）A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】D【分析】作出函数的图象，利用二次函数图象的对称性可判断①的正误；由图象得出，结合对数的运算性质可判断②的正误；推导出，利用双勾函数的单调性可判断③的正误；推导出，利用二次函数的基本性质可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】解：函数的图象如右图所示，函数的图象关于直线对称，则，故①错误；由得，∴则，∴，故②正确；设，由所以，由得，则，∵，∴，故③正确；由的对称轴方程为，由图可知又，∴，故④正确．故选：D．【点睛】关键点睛：本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，解答本题的关键是由图像得出，由得，，从而得出答案，属于中等题.19．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是()A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函数的解析式，然后根据解析式进行判断即可．【详解】由题意得，y＝f(1－x)＝，结合各选项可得选项D符合．故选D.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断图象的大体形状，考查分析判断能力，解题时可根据解析式和常见函数的图象的形状进行判断，其中的关键是要记住常见函数图象的大体形状．20．函数的图象向右平移一个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（）．A． B． C． D．【答案】C【详解】函数关于轴对称的函数为，将向左平移个单位对应的解析式为：，∴，选择．21．若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数始终满足，得到，再化简，画出的图像，利用翻折变换得到的图像，选出答案.【详解】当时，函数始终满足，必有，又先画出函数的图像，过点，单调递减，再将y轴右侧图像翻折到左侧，得到图像．故选：A．22．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先确定有三个零点的a的取值区间，再讨论的图象与的图象关系即可得解.【详解】函数定义域为，，于是得函数有三个零点，当且仅当在有三个零点，即直线与函数图象有三个公共点，而时，，当时，，函数的图象如图，观察图象知，当或时，直线与函数的图象有三个交点，因函数图象是由的图象向左或向右平移个单位而得，又函数图象左右平移不影响图象与x轴交点个数，所以实数的取值范围是.故选：A23．函数与的图象的所有交点的横坐标与纵坐标之和为（

）A．12 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由与的图象特征，得到它们都关于对称，由与的交点坐标经过移动可得答案.【详解】，的图象可看作是由的图象先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到，的图象关于对称，则的图象关于对称，的图象可看作是由的图象先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到，的图象关于对称，则的图象关于对称，由于与的交点坐标为、，两个点先向右移动一个单位，再向上移动2个单位得到、，所有交点的横坐标与纵坐标之和为.故选：B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，涉及了函数图象的变换过程，反比例函数与幂函数的性质的应用，解题的关键是确定两个函数图象的对称中心.24．已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A．直线对称 B．直线对称 C．原点对称 D．轴对称【答案】B【分析】首先考虑函数的图象特征，再将函数向右平移一个单位长度，得到的图象，这样就能得到的图象特征.【详解】设函数,所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的．因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.【点睛】本题考查了抽象函数的平移、对称性、奇偶性.本题也可以有以下的一种解法：所以函数的图象关于直线对称.25．有以下结论∶①将函数的图像向右平移1个单位得到的图像；②函数与=lnx的图像关于直线y=x对称；③对于函数(a>0且a≠1)，一定有④函数的图像恒在x轴上方，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据函数平移、指对数关系、指对数函数的性质，判断各项的正误即可.【详解】①将函数的图像向右平移1个单位得到的图像，故错误；②由指对数的关系知：函数与=lnx的图像关于直线y=x对称，故正确；③由指数函数的性质，如下图示，对于函数(a>0且a≠1)，一定有，故正确.④由在上恒成立，即，故正确.故选：C.26．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解.【详解】由函数图象的平移可知，函数与函数的图象都关于对称.作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点对称），所以所有交点的横坐标之和等于.故选：A【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知与都是关于中心对称，因此图象交点也关于对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.27．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】等价转化为，即函数的图象在直线的上方，再通过数形结合分析得解.【详解】不等式可等价转化为，即函数的图象在直线的上方，如图，考虑直线与二次函数相切，，解得或，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题的求解方法，考查函数的图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.28．设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝3x－9，则f(x－3)>0的解集是()A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或x>4}C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<1或x>5}【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，先求出不等式f（x）＞0的解集，再求f(x－3)>0的解集.【详解】当x≥0时，由f(x)＝3x－9>0得x>2，所以f(x)>0的解集为{x|x>2或x<－2}．将函数f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数f(x－3)的图象，所以不等式f(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>5}．选D.【点睛】本题考查了与指数有关的不等式的求解，偶函数的性质，图象平移的概念，使用了数形结合的方法.29．已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换可判断ABCD选项.【详解】构造函数，该函数的定义域为，所以，，函数为奇函数，故函数的对称中心为原点.对于A选项，函数的图象可在函数的图象上向右平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于B选项，函数的图象可在函数的图象上向左平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于C选项，函数的图象可在函数的图象上向上平移个单位，故函数图象的对称中心为；对于D选项，函数的图象可在函数的图象上向下平移个单位，故函数图象的对称中心为.故选：B.30．已知函数（且）的图像可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解法一:分别画出和两种情况图像.检验那个选项符合即可.解法二:根据和两种情况讨论求解,求解时可以采用特殊值法,即当,不妨取,则,可以观察在和下的取值范围,观察选项即可得出答案.当时,也按照的方法处理.【详解】解法一:当时的图像为故C正确.当时的图像为:解法二:当,不妨取,则,取值范围是:,取值范围是:.,

结合着3个条件可知选项:C符合题意.当,不妨取,则,取值范围是:,取值范围是:.,

没有选项同时符合这3个条件.故选:C.【点睛】本题考查了指数函数图像,与绝对值函数图像.处理加上绝对值函数图像时,要掌握先画原函数图像,在将函数在轴下方的图像对称到轴上方,轴下方图像去掉,这是解决此题的关键.合理使用特殊值法可以简化计算.31．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数的图象和性质，可得，进而结合对数图象和性质及函数图象的对折变换法则可得答案．【详解】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.【点睛】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，属中档题．32．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，根据函数与方程的关系，将问题转化为函数求交点，利用数形结合的思想，可得答案.【详解】由方程有三个不同的实数根，等价于函数的图象与直线有三个不同的交点．画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线．结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是．故选：A．33．要得到函数的图像，只需将的图象（）A．向左移动个单位 B．向右移动个单位C．向左移动1个单位 D．向右移动1个单位【答案】A【详解】因为，所以需将的图像向左移动个单位，选A.34．（多选）已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.【详解】根据题意，作出的图像如下所示：令，得，所以要使函数有且只有两个不同的零点，所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，根据图形可得实数的取值范围为，故选：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．35．（多选）已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（

）A．函数的零点的个数为2B．实数的取值范围为C．函数无最值D．函数在上单调递增【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数，可得函数图像如图：由图知函数有2个零点，故A选项正确；函数没有最值，故C选项正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；由于方程有4个不同的实数根，令则有4个不同的实数根，因为恒成立，设两个不等的实根为，由韦达定理知：，则异号，由图可知：，所以，解得，故B选项正确；故选：ABC36．（多选）已知定义在上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（

）A．为偶函数 B．C． D．【答案】CD【分析】由题意可得，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断.【详解】定义在上的函数的图像关于点对称，则函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，所以.函数的图像由函数的图像向左平移一个单位得到，则函数的图像关于点对称，不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；由，令，则有，故B选项错误；由，令，则有，故C选项正确；由，令，则有，∴，故D选项正确.故选：CD37．（多选）已知函数对任意都有，若函数的图像关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．C．的图像关于对称 D．【答案】ABC【分析】由，得到，得出是周期为4的周期函数，根据函数的图象变换，得到函数的关于对称，得出函数为偶函数，结合，根据，进而求得，得到函数关于中心对称，结合函数的单调性和周期性，进而得出.【详解】由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，又由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以A正确；因为，可得，则，所以B正确；又因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，所以C正确；由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又由，可得，即，所以D不正确.故选：ABC38．（多选）已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4).当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝的图象不可能是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】先将f(x)看成复合而成，判断其单调性求得参数a，b，得到g(x)，再利用指数函数图像变换即得结果.【详解】函数f(x)＝x－4＋，可以看成复合而成.时，是增函数，此时是减函数，故是减函数；时，是增函数，此时是增函数，故时f(x)取得最小值，依题意，即.故g(x)＝，是由向左平移一个单位得到的，故图像为选项A，即不可能是BCD.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是通过复合函数单调性求出参数.复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.39．设函数，，则函数零点的个数有______个.【答案】8【解析】先根据指数函数的图象和平移规律得到时的图象，再根据时，将时，的图象逐次向右平移1个单位，得到时的图象，在同一坐标系中再做出的图象，注意时的关键点，考察两函数的图象的交点个数，即为函数的零点个数.【详解】解：时时的图象是由时的的图象向右平移1个单位得到，当时，,将其中(0,1]之间的一段向右平移1个单位得到上的图象，由的的图象逐次向右平移1个单位，得到在时的整个图象如图所示，注意在时，当时，.作出图像，由图象可得，共有8个公共点，即有8个零点.故答案为：8.【点睛】本题考查函数的零点个数问题，转化为两函数的图象的交点个数是解决问题的关键思路，根据函数f(x)解析式和时的意义，利用图象的平移变换得到在时的图象是解决问题的难点.40．设函数，则使得成立的的取值范围是________.【答案】【分析】先确定的奇偶性，再确定的单调性，最后根据单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，求解即可.【详解】由题意知的定义域为R，又，故是偶函数，当时，，是单调递增函数，在是单调递增函数，根据复合函数的单调性可得在是单调递增函数，则函数为偶函数，且在区间上单调递增，原不等式等价于，，解得，所以本题答案为.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则.41．函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论：①图象的对称中心是；②图象的对称中心是；③类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数；④类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③【分析】根据是奇函数，对称中心为，由图象的平移变换可得的对称中心，可判断①②；将的图象向左平移个单位可得偶函数，可判断③④，进而可得正确答案.【详解】是奇函数，对称中心为，将图象向右平移个单位，再向上平移个单位可得的图象，所以图象的对称中心是，故①正确，②不正确；若函数的图象关于直线成轴对称图形，图象向左平移个单位可得关于即轴对称，所以为偶函数，故③正确，④不正确；所以所有正确结论的序号是：①③，故答案为：①③.42．已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为_____．【答案】【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数和的解析式，在同一坐标系中做出和的图像，求出交点的坐标，根据不等式的解集可以理解为将的图象向右平移一个单位长度后所得函数的图象在函数的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.【详解