两条直线的交点（六大题型）

1．4两条直线的交点课程标准学习目标（1）能用自己的语言解释两条直线的交点坐标与两条直线的方程之间的关系，（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．（1）会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．（2）会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．知识点01直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．知识点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．【即学即练1】过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】联立方程，解得，所以交点坐标为；直线的斜率为，所以所求直线方程的斜率为，由点斜式直线方程得：所求直线方程为，即；故选：B.知识点02过两条直线交点的直线系方程一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．【即学即练2】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线的斜率为1或-1，所以直线的方程为或，即或.方法二：设直线的方程为，整理得，由题意，得，解得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.题型一：求直线的交点例1．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在直线上，则实数（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】解方程组，得直线与直线的交点，依题意，，解得，所以实数.故选：A例2．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】联立方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以，解得，所以，即实数的取值范围是.故选：A例3．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【解析】解方程组得，即直线与直线的交点坐标是(0,2)．故选：C.变式1．（2023·全国·高二专题练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故两点和所确定的直线方程是，故选:A.变式2．（2023·全国·高二专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】联立得，因为直线与直线的交点位于第一象限，所以，解得.故选：D变式3．（2023·全国·高二专题练习）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；所以直线斜率存在设为，则直线方程为，联立直线得：，联立直线得：，，所以直线与直线，直线的交点为：，又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，所以，解得：，所以直线的方程为：，故选：B.【方法技巧与总结】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系例4．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，【答案】BD【解析】对于A，时，若,,且时，两直线：，：重合，A错误；对于B，联立，可得,当时，，此时方程组有唯一一组解，故直线与相交，B正确；对于C，时，若，则无解，此时；若，则有无数多组解，此时重合，故C错误；对于D，若，则由可得，即两直线斜率之积等于，故；若,则可得，此时满足，直线：，：，此时，故当时，，D正确，故选：例5．（多选题）（2023·高二课时练习）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的有（

）A．① B．② C．③ D．以上都不正确【答案】ABC【解析】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确；对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确.故选：ABC例6．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）(多选题)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0【答案】BD【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行；对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交；对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合；对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交.故选：BD.变式4．（多选题）（2023·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知集合，集合，且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】AD【解析】因为集合，集合，且，所以直线与直线平行或交于点，当两线平行时，；当两线交于点时，，解得．综上得a等于或2．故选：AD．变式5．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为.（写出一个即可）【答案】，3，（写出一个即可）【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，若两直线平行，则，解得.若两直线不平行时，过点，即，解得或，此时，不过点，方程组无解.综上，的取值为.故答案为：，3，（写出一个即可）变式6．（2023·高二单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（

）A．过点P且与直线l斜交B．过点P且与直线l重合C．过点P且与直线l平行D．过点P且与直线l垂直【答案】C【解析】在直线外，所以，方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同，它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行.故选：C变式7．（2023·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．故选：A题型三：由直线交点的个数求参数例7．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【解析】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D例8．（2023·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与线段总有公共点，所以点和点不同在直线的一侧，所以，解得或.即的取值范围是.故选：B例9．（2023·全国·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.变式8．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立，得，∵直线与射线恒有公共点，∴，解得.∴m的取值范围是.故选：C.变式9．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直线恒过的定点，.当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.当时，直线的斜率为，则，解得或，综上，.故选：C题型四：由直线交点坐标求参数例10．（2023·高二课时练习）若三直线：，：，：经过同一个点，则【答案】【解析】由，解得，∴直线与的交点坐标坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．故答案为：-3．例11．（2023·全国·高二课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为．【答案】/【解析】因为直线与直线相交，则，则且，由，解得，即直线与直线的交点坐标为，将点的坐标代入，得，即，即，因为，解得.故答案为：.例12．（2023·陕西渭南·高一统考期末）若三条直线，，将平面划分成6个部分，则实数的取值集合为.【答案】【解析】直线、的交点为，若3条直线将平面划分成6个部分，分2种情况讨论：①直线过交点，则；②直线与另外两直线平行，此时或，所以实数k的取值集合为.故答案为：.变式10．（2023·江苏宿迁·高二统考期中）已知直线：与：相交于点，则.【答案】【解析】由题设，可得，所以.故答案为：变式11．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若直线与直线垂直于点，则．【答案】6【解析】直线与直线且，可得，解得，所以直线．由题意，可知是两条直线的交点，将代入直线得，解得．将代入直线，得，解得，所以．故答案为：6.变式12．（2023·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考期中）已知两直线，．若直线与，不能构成三角形，求实数．【答案】或或【解析】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：联立与，得，解得，所以与过点，将代入得：，解得；综上：当或或时，不能构成三角形.故答案为：或或.变式13．（2023·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习）已知三条直线，，相交于一点，则k的值为．【答案】1或【解析】由解得，，依题意，点在直线上，则有，整理得，解得或，所以k的值为1或.故答案为：1或变式14．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）直线和交于一点，则m的值为.【答案】【解析】联立可得，故三条直线交于，故，解得.故答案为：题型五：三线能否围成三角形问题例13．（2023·江苏徐州·高二徐州市第七中学校考阶段练习）已知a为实数，若三条直线，和不能围成三角形，则a的值为．【答案】或或【解析】设，，则∴与的交点为∵三条直线不能围成三角形，∴过与的交点或或，∴①当过与的交点时，解得：，②当时，解得：，③当时，解得：，综述：或或.故答案为：或或.例14．（2023·全国·高二专题练习）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.【解析】（1）直线可化为，要使直线不经过第四象限，则,解得，∴k的取值范围为；（2）由题意可得中取得,取得,故，当且仅当时，即时取“=”，此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒例15．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期中）直线l经过两条直线和的交点P，且直线l在x轴上的截距为．(1)求直线l的方程；(2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积．【解析】（1）∵直线l经过两条直线和的交点，∴解得，，即，由题意可知直线的斜率存在，设为k且，则过，代入可得．∴直线l的方程．（2）在直线中，令可得，令可得，所以直线l与坐标轴围成的三角形面积．变式15．（2023·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.(1)若过点，且直线的斜率为，求△的面积（用含的式子表示并写出的取值范围）；(2)设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标.【解析】（1）设直线的方程为，令，解得，即点横坐标为，联立，解得，即点纵坐标为，由，得或；由，得或，所以或，所以面积，即面积，（2）因为，，，所以，，，所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为①，当直线斜率存在时，即时，直线的方程为，整理得②，①满足②，所以，②都成立，同时除以，得③，又因为，所以代入③整理得，，对于任意都成立，所以，解得，所以直线过定点，定点坐标为，．变式16．（2023·辽宁沈阳·高二新民市第一高级中学校考阶段练习）求适合下列条件的直线方程：(1)已知，，，求△ABC的BC边上的中线所在的直线方程；(2)直线过点，且与轴和直线围成的三角形的面积为2，求直线的方程．【解析】（1）设中点为,则由中点坐标公式可得,故,所以直线方程为：，即可,（2）当直线的斜率不存在时，的方程为，联立与得交点为,此时面积为，符合要求．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.令得，.由三角形的面积为2，得.解得，可得直线的方程为，即.综上可知，直线的方程为或.变式17．（2023·全国·高一专题练习）已知直线，直线，直线．(1)若与的倾斜角互补，求m的值；(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．【解析】（1）因为与的倾斜角互补，所以，直线变形为，故所以，解得（2）由题意，若和垂直可得：，解得，因为当时，，，，构不成三角形，当时，经验证符合题意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意；故m的值为：0，，.变式18．（2023·上海徐汇·高二上海市第二中学校考阶段练习）已知直线l的方程为.(1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由.【解析】（1）直线l的方程为，即，令，可得，求得，，可得该直线一定经过和的交点.（2）若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则、，且，，∴，或.则的面积为，即，即，∴，或.故存在直线l满足条件，且满足条件的出直线l的方程为，或.变式19．（2023·湖北黄石·高二大冶市第一中学校考阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，（1）求三角形面积取最小值时直线的方程；（2）求取最小值时直线的方程．【解析】（1）设，，，则直线的方程为：，因为直线过点，所以，由，所以，，当且仅当即时，取得最小值，此时三角形面积最小，直线的方程为：，即，（2）因为，，所以，当且仅当即时等号成立，所以当取最小值时直线的方程为即.变式20．（2023·高一课时练习）已知三条直线，求m的值，使它分别满足以下条件：(1)交于同一点；(2)不能围成三角形.【解析】（1）由可得：，（），将交点坐标代入，可得，，解得：或．（2）由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；又直线的斜率分别是：（），若，则；若，则；由于与异号，显然与不平行．当时，可知三直线能围成三角形．综上知，m＝－1，，或4.题型六：直线交点系方程例16．（2023·海南海口·高一海南中学校考期末）过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【解析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.例17．（2023·高二课时练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，可设所求直线的方程为：，即，又因为此直线与直线平行，所以：，解得：，所以所求直线的方程为：，即．故选：A．例18．（2023·高二课时练习）经过点和两直线；交点的直线方程为.【答案】【解析】设所求直线方程为，点在直线上，，解得，所求直线方程为，即．故答案为：.变式21．（2023·全国·高二课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．【答案】【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即①．又直线l的斜率为，则，解得．将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．故答案为：.变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为.【答案】【解析】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为.故答案为：【方法技巧与总结】过两条相交直线，交点的直线方程可设为不含直线．一、单选题1．（2023·河南信阳·高二潢川县高级中学（河南省潢川高级中学）校考阶段练习）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，△ABC的重心为，可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，联立方程可得△ABC的垂心为，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，故△ABC的欧拉线方程为.故选：C.2．（2023·全国·高二专题练习）经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】联立，解得，即交点为，因为直线的斜率为，所以，所求直线的方程为，即．故选：B．3．（2023·广东广州·高二广州市从化区从化中学校考期末）过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，因为，，所以，所以过点且与平行的直线为：即，因为，，所以线段的中点为，所以过点与线段的中点为的直线的方程为：，即，所以这条直线的方程是：或，故选：.4．（2023·高二课时练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由于直线的斜率为，且经过定点，设此定点为.而直线的斜率为，直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，只需.故选：C.5．（2023·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】入射光线所在的直线方程为，即，联立方程组解得即入射点的坐标为．设P关于直线对称的点为，则解得即．因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在的直线方程为，即．故选：D6．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，边上的高所在直线方程为，所以，所以边所在直线的方程为，即.又边上的中线所在直线方程为，由，解得，所以.设，则线段的中点，则解得即，所以所在直线的方程为.故选：D7．（2023·高二校联考课时练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（

）A．存在、、使之无交点B．存在、、使之有无穷多交点C．无论、、如何，总是无交点D．无论、、如何，总是唯一交点【答案】D【解析】因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在，所以，即，并且，则，联立，消得，即，所以，所以方程组有唯一解，即无论、、如何，总是唯一交点.故选：D.8．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】过点作交于，如图所示。因为四边形是菱形，所以，,所以在中，，所以在中，，，，故的坐标为：.故选：D.二、多选题9．（2023·高二课时练习）已知直线与，则下列说法正确的是（

）A．与的交点坐标是B．过与的交点且与垂直的直线的方程为C．，与x轴围成的三角形的面积是D．的倾斜角是锐角【答案】BC【解析】与可得，，解得交点坐标为，所以A错误；由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得，即，所以B正确；如图，与轴相交于，与轴相交于，与相交于所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确；的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误.故选：BC.10．（2023·全国·高二专题练习）已知平面上三条直线，，，若这三条直线将平面分为六部分，则的可能取值为（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】ABC【解析】（1）当三条直线中有两条平行，另外一条与这两条相交，此时符合题意，若直线与直线平行，可得，此时满足题意；若直线与直线平行，可得，此时满足题意，（2）若三条直线相交于一点，也符合题意，由，解得，即两直线的交点为，将代入直线，可得，综上可得，实数的值为或或.故选：ABC.11．（2023·全国·高二专题练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值为（

）A． B． C． D．6【答案】ACD【解析】由于三条直线，，不能构成三角形，则直线存在以下三种情况；①当与平行时，则，解得；②当与平行时，则，解得；③当三条直线交于同一点时，由，解得，代入解得．故选：ACD12．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（

）A．边所在直线的斜率的取值范围是B．边所在直线在轴上截距的取值范围是C．边与边所在直线的交点为D．当的中垂线为时，【答案】ACD【解析】由题意可知，、、、，，，对于A选项，边所在直线斜率的取值范围是，A对；对于B选项，设边的中点为，则，且，设点，其中为锐角，设，则，因为，则，，则，所以，直线的方程为，即，所以，边所在直线在轴上截距为，B错；对于C选项，直线的方程为，直线的方程为，联立可得，因此，边与边所在直线的交点为，C对；对于D选项，当的中垂线为时，即，则，则，所以，，D对.故选：ACD.三、填空题13．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为．【答案】【解析】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上，设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得，故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标，由，则，故，则，.故答案为：14．（2023·全国·高二专题练习）已知的顶点，AC边上的高BC所在的直线方程为，则顶点C的坐标为.【答案】【解析】由题意知BC与AC垂直，，，∴直线AC的方程为，即，解方程组，得点C的坐标为.故答案为：.15．（