2023-2024学年安徽省淮南市凤台县九年级（上）期初数学试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中，属于最简二次根式是()

A.B.C.D.

2.一元二次方程根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3.如图，边长为的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为()

A.B.C.D.

4.如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是()

A.B.C.D.

5.正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

6.甲、乙两人在相同条件下，各射击次，经计算：甲射击成绩的平均数是环，方差是；乙射击成绩的平均数是环，方差是下列说法中一定正确的是()

A.甲的总环数大于乙的总环数B.甲的成绩比乙的成绩稳定

C.甲、乙成绩的众数相同D.乙的成绩比甲的成绩波动小

7.一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程()

A.B.

C.D.

8.点，，在抛物线上，则，，的大小关系是()

A.B.C.D.

9.已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于()

A.B.C.D.

10.如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，，若四边形的周长为，则的长为()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.如果有意义，那么字母的取值范围是______．

12.抛物线的对称轴是直线______．

13.设、是方程的两个根，且，则______．

14.如图，在中，，，，点是延长线上的点，连接，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

计算：．

16.本小题分

解下列一元二次方程：

因式分解法；

公式法．

17.本小题分

甲、乙两地的路程为千米，一辆汽车从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后按原速继续前进到达乙地，设汽车出发小时后离甲地的路程为千米，图中折线表示与之间的函数关系．

根据图象可知，汽车行驶的速度为______千米小时；

求线段所表示的与之间的函数表达式，并写出的取值范围．

18.本小题分

已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．

如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；

如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

19.本小题分

已知二次函数．

将二次函数化成顶点式；

求图象与轴，轴的交点坐标．

20.本小题分

在中，过点作于点，点在上，，连接、．

求证：四边形是矩形；

若平分，，则长为______．

21.本小题分

为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质某校为此规划出矩形苗圃苗圃的一面靠墙墙最大可用长度为米另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门门不用木栏，修建所用木栏总长米，设矩形的一边长为米．

矩形的另一边长为______米用含的代数式表示；

矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．

22.本小题分

阅读材料，根据上述材料解决以下问题：

材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．

材料：已知实数，满足，，且，求的值．

解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得，，所以．

材料理解：一元二次方程两个根为，，则：，．

类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．

思维拓展：已知实数、分别满足，，且求的值．

23.本小题分

某景区月份的游客人数比月份增加，月份的游客人数比月份减少了．

设该景区月份的游客人数为万人，请用含的代数式填表：

月份月月月

游客人数万人____________

求该景区月份、月份游客人数的月平均增长率；

景区特色商品营销店推出一款成本价为元的文化衫，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查发现，每件售价每降低元，日销售量增加件若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、含开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：．

根据最简二次根式的概念逐一判断即可：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式．

本题主要考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．

2.【答案】

【解析】解：一元二次方程中的，，，

则这个方程根的判别式为，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：．

利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得．

本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：由勾股定理得，

，

，

，

故选：．

根据勾股定理求出的长即可求解．

本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，

，

设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，

．

故选：．

先根据平行四边形的性质得出，设两个阴影部分三角形的底为，，高分别为，，则为平行四边形的高，然后根据三角形面积公式求解即可．

本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质，要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系．

5.【答案】

【解析】解：正比例函数的图象分布在一三象限，

，

，

的图象分布在一、三、四．

故选：．

根据正比例函数图象判定，故，判定的图象分布在一、三、四．

本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

6.【答案】

【解析】解：各射击次，甲射击成绩的平均数是环，乙射击成绩的平均数是环，

甲、乙的总环数相同，故A说法错误，不符合题意；

甲射击成绩的方差是；乙射击成绩的方差是，

乙的成绩比甲的成绩稳定，甲的成绩比乙的成绩波动大，故B说法错误，不符合题意；说法正确，符合题意；

由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故C说法错误，符合题意；

故选：．

根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．

本题考查了平均数、方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

7.【答案】

【解析】解：设有个好友，依题意，

，

故选B．

每个好友都有一次发给群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有个好友，每人发条消息，则发消息共有条．

本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片；与每两名同学之间握手有区别．

8.【答案】

【解析】解：抛物线，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

当时，随的增大而增大，

点，，在抛物线上，

点关于对称轴的对称点是，

，

，

故选：．

先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性解答即可．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．

9.【答案】

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，

，，

，

．

故选：．

根据根与系数的关系可得，，将变形为，再前面括号中的用替换得，最后将，的值代入计算即可求解．

本题主要考查根与系数的关系的关系、代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：在矩形中，对角线、相交于点，，

，，

矩形对角线相互平分，

，是等边三角形，

在中，，，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，

菱形的周长为，

，

，

故选：．

根据菱形的判定可知四边形是菱形，再由四边形的周长为，即可得到边长为，再根据，由矩形性质即可得到是等边三角形，从而由含的直角三角形的三边关系可知．

本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及含的直角三角形的三边关系，熟练掌握这些基本性质及判定是解决问题的关键．

11.【答案】且

【解析】解：由题意得，，，

解得，且，

故答案为：且．

根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：抛物线，

该抛物线的对称轴是直线，

故答案为：．

先将题目中的抛物线解析式化为顶点式，然后即可写出该抛物线的对称轴．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

13.【答案】

【解析】解：、是方程的两个根，

，．

，

，

解得．

故答案为：．

由根与系数的关系可得，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

14.【答案】

【解析】解：在中，，，，

，

即，

所以三角形是直角三角形，，

在直角三角形中，，

故答案为：．

由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由勾股定理求出答案．

本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．

15.【答案】解：

．

【解析】根据乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解．

本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算是解题的关键．

16.【答案】解：，

，

，

解得：，；

，

，，，

，

，

，．

【解析】因式分解法解方程即可；

公式法解方程即可．

本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：由图象可知，汽车一小时走过的路程为千米，

汽车行驶的速度为千米小时；

故答案为：；

休息后按原速继续前进行驶的时间为小时，

点的坐标为，

设线段所表示的与之间的函数表达式为，由图象可知，点，在函数图象上，

则，

解得，

线段所表示的与之间的函数表达式为．

根据图象可知，汽车一小时走过的路程为千米，利用路程除以时间即可得解；

利用路程除以速度求出汽车到达乙地所用的时间，设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可．

本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是正确的识别图象，从图象中有效的获取信息．

18.【答案】解：是等腰三角形，

理由：是方程的根，

，

，

，

，

是等腰三角形；

如果是等边三角形，则，

原方程可化为：，

，

解得：，．

【解析】把代入方程，整理后得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；

根据等边三角形的性质得出，代入方程得出，再求出方程的解即可．

本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键．

19.【答案】解：

令，则，即该抛物线与轴的交点坐标是，

又

该抛物线与轴的交点坐标是．

【解析】利用配方法将一般式转化为顶点式即可；

令，即方程的两个根即是抛物线与轴的两个交点的横坐标．

本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的性质和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．

20.【答案】

【解析】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

四边形是矩形．

解：，

，

平分，

，

，

在中，，，

，

，

四边形是矩形，

，，，

，

；

故答案为：．

根据有一个角是度的平行四边形是矩形即可判定．

首先证明，求出，由矩形的性质得，，则，由勾股定理即可解决问题．

本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】

【解析】解：修建所用木栏总长米，且两处各留米宽的门门不用木栏，

米，

故答案为：；

不能，理由如下：

由题意得：，

整理得：，

，

原方程无解，

矩形的面积不能为．

根据题中条件即可求出的长；

先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案．

本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键．

22.【答案】

【解析】解：，．

故答案为；．

，，且，

、可看作方程，

，，

．

把，两边同时除以得：

，

则实数和可看作方程的根，

，，

．

直接根据根与系数的关系可得答案；

由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得；

把两边同时除以，，据此可得实数和可看作方程的两根，进一