广东省梅州市梅江区梅州中学2024届高三第一次月考数学试题

梅州中学2024届高三第一次月考（数学）一．选择题（8小题共40分）1．已知集合，，则A．， B．， C．， D．2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知以原点为顶点，轴的非负半轴为始边的角的终边经过点，则A．B．C． D．4．已知为递减等比数列，，，，则A． B． C． D．5．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为A．6 B．12 C．18 D．366．已知平面向量，的夹角为，且，，则A． B． C． D．7．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，，，则A． B． C．4 D．8．已知数列的前项和为，且，，则使得成立的的最小值为A．32 B．33 C．44 D．45二．多选题（4小题共20分）9．已知向量，，则下列结论正确的是A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是10．已知函数，则（）A．f（x）在[0，π]内有2个零点 B．f（x）在上单调递增 C．f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到 D．f（x）在上的最大值为111如图，在正方体中，为的中点（

）

A．平面B．C．若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为D．直线与平面所成角的正弦值为12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第次得到数列1，，，，，，2；．记，数列的前项和为，则A．B． C．D．三．填空题（4小题，共20分）13．在的二项展开式中，第4项的系数为．14．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a5成等比数列，且a2＝﹣1，则数列{an}的通项公式是．15．设三角形是等边三角形，它所在平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为．16．数列中，，，记为中在区间，中的项的个数，则数列的前150项和四．解答题（6小题共70分）17．（2）若在上恰有两个零点，求的取值范围。18．在直三棱柱中，、、、分别为，，，中点，．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．19．已知数列满足，，数列满足，．（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．20．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．21．梅州是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？满意不满意合计工薪族非工薪族合计（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束．记此时抽样次数为．①若，求的分布列和数学期望；0.0500.0100.0053.8416.6357.879②请写出的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明的数学期望的实际意义．附：参考公式：，其中．22．已知数列的前项和为，，是与的等差中项．（1）求的通项公式；（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围．（3）设，且数列的前项和为，求证：．

2024届高三数学月考一（答案）一．选择题（共8小题）1．解：，解得或，所以或，所以，所以，．故选：．2．解：，则，则复数在复平面内对应的点在第一象限．故选：．3．解：因为以原点为顶点，轴的非负半轴为始边的角的终边经过点，所以，则．故选：．4．解：由题意，设递减等比数列的公比为，，，又，，，解得，，，解得，，．故选：．5．解：分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余3人分为2组，人数分别为2、1，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为．综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种．故选：．6．解：根据题意，，则，又由向量，的夹角为，且，则．则，故．故选：．7．解：因为的面积为，，所以，即．所以，所以．故选：．8．解；①，当时，②，两式相减得，当为奇数时，为等差数列，首项为4，公差为4，所以，中，令得，故，故当为偶数时，为等差数列，首项为2，公差为4，所以，所以当为奇数时，，当为偶数时，，当为奇数时，令，解得，当为偶数时，令，解得，所以成立的的最小值为45．故选：．二．多选题（共4小题）9．解：对，，，，，正确；对，，，错误；对，，，正确；对，在方向上的投影向量是，错误．故选：．10解：．对于A，令，则．当k＝1时，；当k＝2时，，故f（x）在[0，π]内有2个零点，故A正确．对于B，令，则．当k＝0时，可得f（x）在上单调递增，所以f（x）在上单调递增正确，故B正确．对于C，由y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到，故C错误．对于D，若，则，，所以f（x）在上的最大值为1，故D正确．故选：ABD．对于A项，连接BD交AC于O点，连接OE，易知OE为的中位线，即∵面，面，∴平面，故A正确；对于B项，连接，由正方体的性质易知，又面，∴面，而面，即，故B正确；对于C项，由正方体的性质知：点到平面的距离等于点D到平面的距离，设该距离为，若正方体棱长为1，则，，故C正确；对于D项，假设D点在面ACE的投影为M，连接AM，则AD与面ACE的夹角为，由C选项结论可知若正方体棱长为1，则有，故D错误.故选：ABC12解：由，，，，，，，由有3项，有5项，有9项，有17项，，故有项．故错误；所以，即，故正确；由，可得，故正确；由，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）13．解：在的二项展开式中，由通项公式求得第4项为，故第4项的系数为，故答案为．14．解：∵数列{an}是等差数列，公差d不为零，且a2，a3，a5成等比数列，∴，即，解得a1＝0，又∵a2＝﹣1，∴公差d＝a2﹣a1＝﹣1，则an＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n．答案为：an＝1﹣n．15．解：设边长为1，，则，所以，，设向量与夹角为，则．故答案为：．16．解：由题意，令，，则，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，依题意，当时，；当，3时，；当，5，6，7时，；当时，，．故答案为：803．四．解答题（共6小题）17．.....1.......3.............4...........5.......8.......1018．解：（Ⅰ）证明：取中点，连接，，易知，，，分别是，的中点，，.......3，，四边形为平行四边形，，.....5不在平面内，在平面内，平面．......6（Ⅱ）取的中点，连接，，以为坐标原点，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，...7则，故，设平面的一个法向量为，.....9则，则可取，易知平面的一个法向量为，....10，二面角的余弦值为．.........1219．（1）证明：，，又，，数列为首项、公比均为2的等比数列，.......4，；......6（2）解：由（1）可得：，即，.........7又当时，，.....9又当时，也适合上式，，，........11．.........1220．解：（1），化简可得，........1，，，......3，，.......4即，又，........5则，，则；.........6（2）由正弦定理可得......7因为，所以，则，......10所以，故，.....11所以的取值范围为，．......12满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计804012021．解：（1）由题意可得，列联表为：，..........3根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；............4（2）①当时，的取值为1，2，3，4，5．由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，所以，，，.，，所以的分布列为：12345所以；........8②由①得，令，①，，②，①②得，，，............11当趋向于正无穷大时趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．............1222．（1）证明：由题意，可得，则当时，，解得，..........1当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，两边同时减去1，可得，........2，，也满足上式，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，.........3，，．............4（2）解：由（1）可得，，则，，数列是递增数列，，即，...........5①当为奇数时，则有，即恒成立，构造数列：令，则，，数列是单调递增数列，当时，数列取得最小值，且，，.........6②当为偶数时，则有，即恒成立，由①可知数列是单调递增数列，数