十四机械振动

机械振动机械振动第十四章振动vibrationmechanical第十四章振动简谐振动的描述简谐振动的动力学阻尼振动受迫振动同方向同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成谐振分析机械广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近作周期性变化。机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动。自然界的振动心跳简谐振动物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicvibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。物体距平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦(或正弦)函数变化动力学特征简谐振动的特征及描述14.1简谐振动的特征及描述

1.两个典型模型：力或力矩的大小与质点的位置坐标或角位置坐标量值成正比并反号。共同特征：OOOO以物体受力为零的平衡位置为坐标原点Okm水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力FFkx以铅垂方向为摆角参考轴，OOOO单摆在任一角位置所受的重力矩为q则MmglqMmglsinq~sinq~q取摆幅很小（A）弹簧振子（B）单摆llqqmgmgMMXOOFFmFF正X向反X向xxxx00运动学特征2.运动学与动力学特征简谐振动的速度vdtdxxAsinw()wtj+简谐振动的加速度avddt2wcosA()wtj+2wx应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程cos()wtj+0qqXFFmOOxxmFFkxFFaamFFxkm简谐振动微分方程xxddt22+kmx0km对于给定的弹簧振子

为常量，其比值亦为常量。令w2km则aw2x即aw2x+0得Aj为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程xxcosA()wtj+该微分方程的解通常表成余弦函数续4简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wxxxcosA()wtj+简谐振动的振动方程简谐振动的速度vdtdxxAsinw(wtj+)0AAXv最大a0a最大v0a最大v0tttXvaOOOAA2wAw简谐振动参量3.描述简谐振动的物理量XOOAAxOxOxOxOOvOv振幅：的最大绝对值Axx周期T：完成一次振动需时频率nT1：n角频率w：w2pn弹簧振子wmk单摆glwxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw相位：F()wtj+是界定振子在时刻的运动状态的物理量t运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvFtO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是时，振子的相位。续6由和求给定振子的振幅xxOvOAAxxO2+w2vO2cosAjxxOAsinwjvO消去得j初相j由和求给定振子的xxOvOcosAjxxOAsinwjvOA消去得tanjvOwxxO但由于在0~2p范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。联系振子运动jxxOvO直观图不难作出判断且vO0xxO0若则j2p0xxO0若X0且vO0则jp32p且vO0xxO0若则j2pp且vO0xxO0若则jpp3vOvOxxOvOxxOvO（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）22AA旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T4.简谐振动的旋转矢量图示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标OOt时刻的振动相位(wt﹢j)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动循环往复x=A

cos(wt﹢j)简谐振动方程续8旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa旋转矢量端点M

的加速度为法向加速度，其大小为anw2A振子的运动加速度（与X轴同向为正）w2AaancosFcosjtw+()和av任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。va同号时为加速va异号时为减速例一例1已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X~t曲线完成下述简谐振动方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2XOAwjM(0(=p/2t=0v00从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~t曲线一致。v00(SI(例

试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+rlrlmgf0平衡点mXmgxfm在受力平衡点m小球f0mgkrl受弹性力大小O选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在位置坐标处所受弹性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力kxx动力学方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：振动方程xcosA()wtj+均与水平弹簧振子结果相同解法提要例二例三例3已知弹簧振子x0

=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述简谐振动方程cos()x+twkm0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)cos()x+t20.2p23(SI)解法提要v00x0

=0,已知OXjwM(0(p23相应的旋转矢量图为v00例四已知求例4某物体沿

X轴简谐运动，振幅

A

=0.12m，周期

T

=

2s，t=

0

时x0

=

0.06m处初相

j,t=

0.5s

时的位置

x,速度

v,加速度a物体背离原点移动到位置A

=

0.12m，T

=

2s,w

=

2p/T=

prad·s-1,将j=p/3rad及t=

0.5s

代入谐振动的

x,v,a定义式得x

A

cos(wt﹢j

)0.104(m)vdtdxxAsinw()wtj+0.19(

m·s-1)avddt2wcosA()wtj+2wx1.03(

m·s-2)解法提要x=

A

cos(wt﹢j

)由简谐振动方程t=

0

时0.06=0.12cosj

得j=±p/3再由题意知t=0时物体正向运动，即AsinwjvO0xxOO且vOOj=p/3，则j在第四象限，故取例五解法提要x10Acosj122Acosj122j0j14p或134px10因且v010在第一象限应取j14p12x0AcosA2j2jpcos2j,js两质点振动相位差jj134p从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A1转过4pTw1t4p1t4pw8,1.06(s)A2转过p2时，质点2第一次通过平衡点Twtp1t4pw,2.13(s)222已知例5周期均为

T

=

8.5s用旋转矢量法求两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点1、2同在X轴上作简谐振动t=

0

时

在处

质点2

22AA向平衡点运动质点1在处向平衡点运动振幅A相同ww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pTJ为m绕O点转动的转动惯量。

复摆（物理摆）可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率与周期为

当时简谐振动的判断式平动

转动振动能量简谐振动的能量简谐振动的能量（以X=0处为零势点）系统的动能12Ekmv212mAsinw()wtj+222系统的

势能12212A()wtj+22Epkxxkcos系统的机械能E+EkEp12mw2A212kA2振子运动速度xxcosA()wtj+vAsinw()wtj+简谐振动方程振动系统：kmw弹簧劲度振子质量振动角频率mk如水平弹簧振子EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp变到最大时变为零EpEk系统的机械能E守恒。E8w2及A2特点变为零变到最大时EkEpEEk+Ep时间0能量例六动能12Ekmv212mAsin()wtj+w222

势能12A()wtj+22Ep122kxxkcos解法提要EpEkmw2ktan2()wtj+则w2mk其中得EpEktan2()wtj+当时EpEktan2()wtj+1振动相位,tan()wtj+1F()wtj+p34或4p+++例1一水平弹簧振子弹簧劲度k振子质量m振幅

A已知求沿X轴振动当振动系统的以平衡点为原点位置坐标x

相等时动能值与势能值振子的xxcosA()wtj+代入中，解得xx22A+X0Ep122kxxEkEpE+AA12E22A22AEpEk能量位置例2有一水平弹簧振子。K=24N/m，重物质量m=6kg，静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求：振子的运动方程。OA?A！xxcosA()wtj+例七求该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能

刚体（直棒）转动动能

势能

系统的重力势能12Ek2Iw12I(ddtq(216mL2(ddtq(2以垂态直棒中心点C为重力零势点解法提要EpmgL21)1)cosqmgL21)1)qsin12~~mgL21)1)1q2mgL21~~21q24mgLq2令2w23gL机械能E+EkEp16mL2(ddtq(24mgLq2+1机械能守恒，即为恒量，EddtE0即31mL2ddtq2ddtq2+21mgLqddtq0ddtE2ddtq2+23gLq0,得简谐角振动微分方程2ddtq2+q02wTp2wp223gL该摆的振动周期例3匀质细直悬棒质量

m、长

L已知在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量I1mL23qL21mgCO振动合成一简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成同频率同方向一、两个xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且

相同w同在

X

轴合成振动xx1xx2xx+用旋转矢量法可求得合成振动方程xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxx)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jj与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差j12j与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长or相消合成起决定作用A续18简谐振动同频率同方向两个A合成振幅的讨论xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值若A1A1A2则AA12,若2jj1为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间若2jj10()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2为合振幅可能达到的最小值若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,

例1

试用最简单的方法求出下列两组简谐振动合成后所得合振动的振幅：

第一组：第二组：0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+7π/3)mx2=0.05cos(3t+π/3)mx1=0.05cos(3t+4π/3)mx2=A

=A1+A2=0.05+0.05=0.10(m)A

=A1-A2=0==3π73ππΦΔ2解：第一组：==3π43ππΦΔ第二组例2三个同方向、同频率的谐振动为试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。x0.1cos(10t+π/6)m1=0.1cos(10t+π/2)mx2=0.1cos(10t+5π/6)mx3=解：=A1A2A3==0.1=56πφ3=2πφ2=6πφ1A2Aφ2A´φ1A3A1xoφ3+=A1A3A´+=A2A´=A+A1A2A3+=A1A2=0.2=2πφ0.2cos(10t+π/2)mx=例3一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:试求：其合振动的振幅和初相位(式中x以m计,t以s计)。0.04cos(2t+π/6)mx1=0.03cos(2t-5π/6)mx2==0.01mφ2A1A2cos()++=A2