专题01 五组秒杀公式模型(解析版)

专题01五组秒杀公式模型第Ⅰ组秒杀公式(1)e椭圆＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；(2)e双曲线＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(1＋tan2α)(其中α与k为渐近线的倾斜角与斜率)[例1](1)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(3)或eq\f(2\r(3),3)D．eq\f(2\r(3),3)或2答案D解析秒杀∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为eq\f(\r(3),3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝eq\f(2\r(3),3)．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq\r(3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2．故选D．通法∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)或eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)．由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\f(2\r(3),3)(舍负)；由eq\f(b,a)＝eq\r(3)，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D．(2)双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\r(7)x，则E的离心率为()A．2B．eq\f(2\r(14),7)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案C解析秒杀∵渐近线的斜率为±eq\r(7)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2eq\r(2)．通法由题意，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\r(7)x，即eq\f(b,a)＝eq\r(7)，所以双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2eq\r(2)，故选．(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°)D.eq\f(1,cos50°)答案D解析秒杀由题意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°)．故选D．(4)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．eq\f(\r(6),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(1,3)答案A解析秒杀由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3)．故选A．(5)(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，则C的离心率为________．答案2解析秒杀由eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为eq\r(3)．∴e＝eq\r(1＋k2)＝2．通法一：由eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c))．∵点B在直线y＝－eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝2．通法二：∵eq\o(F1B,\s\up8(→))·eq\o(F2B,\s\up8(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得eq\f(|BH|,|OH|)＝eq\f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵eq\o(F1A,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴eq\f(b,a)＝eq\f(b,c－a)，∴c＝2a，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝2．【对点训练】1．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)1．答案D解析秒杀由题意，∴e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(5)．通法不妨设点M，N在x轴的上方，把x＝c代入渐近线的方程y＝eq\f(b,a)x，得y＝eq\f(bc,a)．因为四边形MNF2F1为正方形，所以eq\f(bc,a)＝2c，所以b＝2a，由此可得c＝eq\r(5)a．所以该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)．故选D．2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于()A．eq\r(6)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(10)D．eq\r(3)2．答案C解析秒杀由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，∴e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(10)．通法由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得eq\f(b,a)＝3，可得b2＝9a2，即c2－a2＝9a2，亦即c2＝10a2，故离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(10)．3．已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)3．答案C解析秒杀依题意，设双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝eq\f(π,3)，∴e＝eq\r(1＋k2)＝2．选C．通法依题意，设双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝eq\f(π,3)，eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，选C．4．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\f(\r(6),2)4．答案A解析秒杀由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq\f(π,4)，∴e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(2)．故选A．通法由题易知双曲线C的一条渐近线与x轴的夹角为eq\f(π,4)，故双曲线C的离心率e＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)))eq\s\up12(－1)＝eq\r(2)．故选A．5．(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)5．答案D解析秒杀由题设知k＝2，e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(5)．故选D．通法由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1．又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，不妨设点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(b,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(b,a)))，所以|AB|＝eq\f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq\f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2．又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)．6．已知F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|＝2a，记该双曲线的离心率为e，则e2＝()A．eq\f(1＋\r(17),2)B．eq\f(1＋\r(17),4)C．eq\f(2＋\r(5),2)D．eq\f(2＋\r(5),4)6．答案A解析秒杀由题意得，,∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq\f(1＋\r(17),2)，故选A．通法由题意得，F(－c，0)，该双曲线的一条渐近线为y＝－eq\f(b,a)x，将x＝－c代入y＝－eq\f(b,a)x得y＝eq\f(bc,a)，∴eq\f(bc,a)＝2a，即bc＝2a2，∴4a4＝b2c2＝c2(c2－a2)，∴e4－e2－4＝0，解得e2＝eq\f(1＋\r(17),2)，故选A．7．(2017·全国Ⅱ)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B．eq\r(3)C．eq\r(2)D．eq\f(2\r(3),3)7．答案A解析秒杀设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为eq\r(22－12)＝eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2．8．过双曲线QUOTEx2a2－QUOTEy2b2=1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若A，B，C三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为()A．QUOTE3B)QUOTE5C．QUOTE10D．QUOTE138．答案C解析秒杀双曲线渐近线方程为y＝±QUOTEbax，与直线y＝－(x－a)联立．由－QUOTEbax＝－x＋a，得x＝QUOTEa2a-b，由QUOTEbax＝－x＋a，得x＝QUOTEa2a+b．根据题意，若QUOTEa2a-b·a=QUOTEa2a+b2，得a(a－b)＝(a＋b)2，此式不可能，若QUOTEa2a+b·a＝QUOTEa2a-b2，则a(a＋b)＝(a－b)2，解得b＝3a．双曲线的离心率e＝＝QUOTE10．故选C．9．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是()A．eq\r(5)B．eq\r(2)C．4D．29．答案B解析秒杀由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，可知a2＝b2eq\f(1,tan\f(θ,2))．∴a2＝b2，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)．通法由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2．由Seq\s\do0(△PF1F2)＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2．∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,4)＝2，又e＞1，∴e＝eq\r(2)，故选B．10．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0<t<b)．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),3)10．答案A解析秒杀△PEF2的周长为|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1|＝2a＝4b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(1,4))＝eq\f(\r(3),2)．故选A．11．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且eq\o(AF,\s\up7(→))与eq\o(FB,\s\up7(→))反向，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\f(5,2)11．答案C解析秒杀设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tanα＝eq\f(b,a)，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝eq\f(|AB|,|OA|)，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝eq\f(1,4)m，∴－tan2α＝－eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(|AB|,|OA|)＝eq\f(m,\f(3,4)m)＝eq\f(4,3)，解得eq\f(b,a)＝2或eq\f(b,a)＝－eq\f(1,2)(舍去)，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5)．12．已知F为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且eq\o(MF,\s\up7(→))·eq\o(NF,\s\up7(→))＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．12．答案eq\r(2)解析秒杀因为eq\o(MF,\s\up7(→))·eq\o(NF,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(MF,\s\up7(→))⊥eq\o(NF,\s\up7(→))．设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c．不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a．因为S△MNF＝eq\f(1,2)|MF|·|NF|＝ab，所以|MF||NF|＝2ab．在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得eq\f(b,a)＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2)．第Ⅱ组秒杀公式(1)e椭圆＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠F1F2P＋sin∠F2F1P)．(2)e双曲线＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(sin∠F1PF2,|sin∠F1F2P－sin∠F2F1P|)．[例2](6)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),3)答案D解析秒杀在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq\r(3)．∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3),3)．通法如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3)c,3)．∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\f(4\r(3)c,3)＋eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq\r(3)c＝a．∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．(7)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1－eq\f(\r(3),2)B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\r(3)－1答案D解析秒杀e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1)＝eq\f(sin90°,sin30°＋sin60°)eq\r(3)－1．故选D．通法由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．故选D．(8)已知F1，F2分别是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．eq\r(3)D．2答案A解析秒杀作出示意图，如图，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq\f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq\f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq\r(2)．故选A．通法因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a)．又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)．故选A．(9)点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率e＝________．答案eq\f(1,2)解析秒杀e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF2|＋|PF1|)＝eq\f(1,2)通法如图所示，当点P与点B重合时，∠F1PF2取得最大值60°，此时|OF1|＝c，|PF1|＝|PF2|＝2c．由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4c＝2a，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)．(10)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________．答案eq\r(3)－1解析秒杀设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F＝eq\f(π,3)，∴|AF|＝eq\r(3)|AF′|，|FF′|＝2|AF′|，因此椭圆C的离心率为eq\f(2c,2a)＝eq\f(|FF′|,|AF|＋|AF′|)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1．(11)(2018·北京)已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，双曲线N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．答案eq\r(3)－12解析秒杀双曲线N的离心率e1＝eq\r(1＋tan260°)＝2．椭圆M的离心率e2＝eq\f(sin∠FDC,sin∠DFC＋sin∠DCF)＝eq\f(sin90°,sin30°＋sin60°)＝eq\r(3)－1．通法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq\f(n,m)x，∴eq\f(n,m)＝tan60°＝eq\r(3)，∴双曲线N的离心率e1满足eeq\o\al(2,1)＝1＋eq\f(n2,m2)＝4，∴e1＝2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得x2＝eq\f(a2b2,3a2＋b2)．设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2．∴eq\f(4a2b2,3a2＋b2)＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－eq\f(6b2,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a2)))2＝0，解得eq\f(b2,a2)＝2eq\r(3)－3．∴椭圆M的离心率eeq\o\al(2,2)＝1－eq\f(b2,a2)＝4－2eq\r(3)．∴e2＝eq\r(3)－1．通法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±eq\f(n,m)x，则eq\f(n,m)＝tan60°＝eq\r(3)．又c1＝eq\r(m2＋n2)＝2m，∴双曲线N的离心率为eq\f(c1,m)＝2．如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1．又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋eq\r(3)＝2a，a＝eq\f(1＋\r(3),2)．∴椭圆M的离心率为eq\f(c2,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1．(12)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，则C1与C2的离心率之和为()A．2eq\r(3)B．4C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)答案A解析秒杀连接AF2，椭圆C1的离心率e1＝eq\f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2＋sin∠AF2F1)＝eq\f(sin90°,sin60°＋sin30°)＝eq\r(3)－1．双曲线C2的离心率e2＝eq\f(sin∠F1AF2,sin∠AF1F2－sin∠AF2F1)＝eq\f(sin90°,sin60°－sin30°)＝eq\r(3)＋1．∴e＋e1＝2eq\r(3)．通法设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，结合b2＝a2－c2及e＝eq\f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0<e<1，∴e2＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴e＝eq\r(3)－1．同理可求得双曲线的离心率e1＝eq\r(3)＋1，∴e＋e1＝2eq\r(3)．【对点训练】13．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．13．答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)解析秒杀不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0．若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3t,6t)＝eq\f(1,2)；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(3t,2t)＝eq\f(3,2)．14．在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(3)B．eq\f(2\r(3),3)C．1＋eq\r(3)D．2＋eq\r(3)14．答案C解析秒杀设F′为双曲线的左焦点，连接PF′，则∠FPF′＝90°，∠PFF′＝30°，∠PFF′＝60°，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq\f(sin90°,|sin30°＋sin60°|)eq\r(3)＋1．故选C．通法设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝eq\f(c2＋c2－2a＋c2,2c2)，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即(eq\f(c,a))2－2×eq\f(c,a)－2＝0，解得eq\f(c,a)＝1＋eq\r(3)或eq\f(c,a)＝1－eq\r(3)(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋eq\r(3)，故选C．15．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过C，D两点，则该双曲线的离心率等于()A．QUOTE2B．QUOTE3C．QUOTE5D．QUOTE3+115．答案D解析秒杀因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2QUOTE3，AD＝BC＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|AB|,||BD|－|AD||)＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1．故选C．通法因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2QUOTE3，AD＝BC＝2，则由双曲线的定义可得2a＝|DB|－|DA|＝2QUOTE3－2，2c＝|AB|＝4，即QUOTE3－1＝a，c＝2，故双曲线的离心率是e＝QUOTEca＝＝QUOTE2(3+1)2＝QUOTE3+1．故选D．16．已知F是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),2)16．答案C解析秒杀设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，∠FPF1＝60°，∠F1FP＝30°，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,||PF2|－|PF1||)＝eq\f(sin60°,|sin90°＋sin30°|)＝eq\f(\r(3),3)．故选C．通法设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝eq\f(2,3)a，|PF|＝eq\f(4,3)a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2－2×eq\f(2,3)a×eq\f(4,3)a×cos60°，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，所以椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故选C．17．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝eq\f(b,a)x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(6)17．答案C解析秒杀由已知△F1PF2是直角三角形，∠F2PF1＝90°，sin∠PF1F2＝eq\f(b,c)，∠PF2F1＝eq\f(a,c)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin90°,|sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1|)＝eq\f(1,|eq\f(b,c)－eq\f(a,c)|)．即eq\f(b,a)＝2，所以e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5)．故选C．通法如图，直线PF2的方程为y＝－eq\f(a,b)(x－c)，设直线PF2与直线y＝eq\f(b,a)x的交点为N，易知Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))．又线即5a2＝c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)．故选C．18．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3)－1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\r(3)－118．答案D解析秒杀设F1是椭圆C的右焦点，连接AF1，AF．由已知△F1AF是直角三角形，∠FAF1＝90°，∠AF1F＝60°，∠AFF1＝30°，e＝eq\f(sin∠F1AF,sin∠AF1F＋sin∠AFF1)＝eq\f(sin90°,sin60°＋sin30°)eq\r(3)－1．故选D．通法设F(－c，0)关于直线eq\r(3)x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·(－\r(3))＝－1，,\r(3)·\f(m－c,2)＋\f(n,2)＝0，))解得m＝eq\f(c,2)，n＝eq\f(\r(3),2)c，代入椭圆方程可得eq\f(\f(c2,4),a2)＋eq\f(\f(3,4)c2,b2)＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝eq\r(3)－1．故选D．第Ⅲ组秒杀公式(1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1．(2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝eq\f(b2,a2)＝e2－1．注：当焦点在y轴上时a，b对调．【例题选讲】[例3](13)(2015·全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A．eq\r(5)B．2C．eq\r(3)D．eq\r(2)答案D解析秒杀∵k1·k2＝e2－1．∴1＝e2－1．∴e＝eq\r(2)．故选D．通法不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a，\r(3)a))．∵M点在双曲线上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)．故选D．(14)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为－eq\f(1,2)，则C的离心率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(2),4)答案C解析秒杀∵k1·k2＝e2－1．∴－eq\f(1,2)＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(2),2)．故选C．通法设P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(a，0)．所以kAP·kAQ＝eq\f(y1,x1－a)·eq\f(－y1,－x1－a)＝eq\f(yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,1)－a2)，又因为eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1⇒yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b2（a2－xeq\o\al(2,1)）,a2)，所以kAP·kAQ＝－eq\f(b2,a2)，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(2),2)，故选C．(15)设A1，A2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得kPA1·kPA2＞－eq\f(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案C解析秒杀∵k1·k2＝e2－1．∴e2－1＞－eq\f(1,2)．∴e＞eq\f(\r(2),2)，故选C．通法椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，设P(x0，y0)，根据题意，kPA1·kPA2＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＞－eq\f(1,2)，而eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，所以eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，于是eq\f(b2,a2)＜eq\f(1,2)，即eq\f(a2－c2,a2)＜eq\f(1,2)，1－e2＜eq\f(1,2)，所以e＞eq\f(\r(2),2)，又e＜1，故eq\f(\r(2),2)＜e＜1．故选C．(16)已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为()A．2B．4C．eq\r(10)D．10答案A解析秒杀∵k1·k2＝e2－1．∴3＝e2－1．∴e＝2．故选A．通法设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)·eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))．因为点P，A在双曲线C上，所以b2xeq\o\al(2,0)－a2yeq\o\al(2,0)＝a2b2，b2xeq\o\al(2,1)－a2yeq\o\al(2,1)＝a2b2，两式相减可得eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)，故eq\f(b2,a2)＝3，于是b2＝3a2．又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2．故选A．(17)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若k1·k2＝eq\f(5,4)，则双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\f(3,2)C．2D．eq\f(5,2)答案B解析秒杀∵k1·k2＝e2－1．∴eq\f(5,4)＝e2－1．∴e＝eq\f(3,2)．故选B．通法设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，∴k1·k2＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))，由点M、N在双曲线上得eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减可得eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)，∵k1·k2＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴b＝eq\f(\r(5),2)a，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(3,2)a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)．故选B．【对点训练】19．设A1，A2分别为双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＜eq\f(1,2)，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))19．答案B解析秒杀k1·k2＝e2－1．∴e2－1＜eq\f(1,2)，解得1＜e＜eq\f(\r(6),2)．故选B．通法设M(x0，y0)，A1(0，－a)，A2(0，a)，则kMA1＝eq\f(y0＋a,x0)，kMA2＝eq\f(y0－a,x0)，所以kMA1·kMA2＝eq\f(y\o\al(2,0)－a2,x\o\al(2,0))＞2(*)．又点M(x0，y0)在双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1上，所以yeq\o\al(2,0)＝a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),b2)＋1))，代入(*)式化简得eq\f(a2,b2)＞2，所以eq\f(b2,a2)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＜eq\f(1,2)，解得1＜e＜eq\f(\r(6),2)．故选B．20．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．20．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))解析秒杀k1＋k2＝1，k1·k2＝e2－1．由基本不等式得，1＝k1＋k2≥2eq\r(k1·k2)＝eq\r(e2－1)，解得eq\f(\r(3),2)≤e<1．通法不妨设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x1，－y1))，所以eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，两式相减得eq\f(x2－x\o\al(2,1),a2)＝－eq\f(y2－y\o\al(2,1),b2)，所以eq\f(y2－y\o\al(2,1),x2－x\o\al(2,1))＝－eq\f(b2,a2)，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y－y1,x－x1)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y＋y1,x＋x1)))≥2eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y2－y\o\al(2,1),x2－x\o\al(2,1)))))＝eq\f(2b,a)，由题意得eq\f(2b,a)≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥eq\f(3,4)，又因为0<e<1，所以eq\f(\r(3),2)≤e<1．第Ⅳ组秒杀公式(1)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1．(2)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝eq\f(b2,a2)＝e2－1．注：当焦点在y轴上时a，b对调．【例题选讲】[例4](18)过点M(1，1)作斜率为－eq\f(1,3)的直线l与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．答案eq\f(\r(6),3)解析秒杀由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(6),3)．通法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2，,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq\f(b2,a2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,3)，∴a2＝3b2．∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3)．(19)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1，eq\f(1,2))，则椭圆的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,4)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析秒杀由题意得，k0·k＝e2－1．即，∴e＝eq\f(\r(2),2)．故选B．通法因为FP的斜率为－eq\f(b,c)，FP∥l，所以直线l的斜率为－eq\f(b,c)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝－(eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)－eq\f(xeq\o\al(2,2),a2))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2(x1＋x2),a2(y1＋y2))．因为AB的中点为M(1，eq\f(1,2))，所以－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，所以a2＝2bc，所以b2＋c2＝2bc，所以b＝c，所以a＝eq\r(2)c，所以椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，故选B．(20)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(5),5)答案C解析秒杀由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(\r(3),2)．故选C．通法一设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)，故选C．通法二将直线方程x－y＋5＝0代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(10a2,a2＋b2)，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以eq\f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)b，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)．故选C．(21)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为()A．2B．eq\f(3,2)C．eq\f(3\r(5),5)D．eq\f(\r(5),2)答案B解析秒杀由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝eq\f(3,2)．故选B．通法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)－\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＝eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)，则eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f(4b2,5a2)，由直线AB的斜率k＝eq\f(15－6,12－3)＝1，所以eq\f(4b2,5a2)＝1，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(3,2)，所以双曲线C的离心率为eq\f(3,2)．故选B．第Ⅴ组秒杀公式过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)[例5](22)倾斜角为eq\f(π,4)的直线经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),3)答案B解析秒杀由题可知，，所以e＝eq\f(\r(2),3)，故选B．通法由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1,y＝x－c))，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)))，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2yeq\o\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以eq\f(1,2)＝eq\f(4c2,a2＋b2)，所以e＝eq\f(\r(2),3)，故选B．(23)已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)答案B解析秒杀由题可知，，即，所以e＝eq\f(\r(3),3)，故选B．通法延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝eq\r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq\f(a,2)．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq\f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cos∠F′AF＝eq\f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq\f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cos∠F′AB＝eq\f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2a2－4c2,2a2)＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\r(3)c，所以椭圆离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故选B．(24)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(2\r(3),3)D．eq\r(3)答案A解析秒杀由题可知，，即，即所以e＝＝eq\f(\r(5),2)，故选B．通法由题意得直线l的方程为x＝eq\f(b,a)y＋c，不妨取a＝1，则x＝by＋c，且b2＝c2－1．将x＝by＋c代入x2－eq\f(y2,b2)＝1，(b＞0)，得(b4－1)y2＋2b3cy＋b4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq\f(2b3c,b4－1)，y1y2＝eq\f(b4,b4－1)．由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，得y1＝－3y2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y2＝－\f(2b3c,b4－1),－3y\o\al(2,2)＝\f(b4,b4－1)))，得3b2c2＝1－b4，解得b2＝eq\f(1,4)，所以c＝eq\r(b2＋1)＝eq\r(\f(5,4))＝eq\f(\r(5),2)，故该双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，故选A．(25)设F1，F2分别是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，则椭圆E的离心率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2