第9讲 切线问题（解析版）

玩转高中数学交流群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨第9讲切线问题考情分析圆锥曲线的切线问题有两种处理方法：方法1：导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；方法2：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.二、经验分享椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.三、题型分析（一）与圆有关的切线问题例1.圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为．（1）求的方程；（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于，两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为，点上下两段分别为，，由射影定理得，三角形的面积当时，取得最大，此时，∵，在双曲线上∴，∴双曲线的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点为，由此设的方程为，其中，由在上，得，∴的方程为，显然，不是直线，设的方程为，点，由得，∴①②由①②得，解得因此直线的方程或【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为。（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第一象限内的点（=1\*romani）设直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；（=2\*romanii）直线与椭圆交于两点.若的面积为，求直线的方程。【解析】：（1）设椭圆方程为，其中，又因为点在椭圆上，故，所以椭圆的方程为又因为圆的直径为，故圆的方程为（2）（=1\*romani）本题有两种解法：（方法一）：椭圆和圆有公切线时求点的坐标，可先设公切线方程为然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出的值，再求出点的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。（方法二）：题目中让求点的坐标，不如一开始就设出点的坐标，利用点的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，即可求出点的坐标。这里我们选用第二种方法：设直线与圆的切点，则满足，故直线的方程为：即联立（1）因为直线与椭圆有且只有一个交点，故，即因为点位于第一象限，即，故所以点的坐标为（=2\*romanii）分析：第二问由于的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程，根据直线与圆相切可得，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将或转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：【解析】：设直线方程为，，根据直线与圆相切得，将代入得注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将转化为的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。解得所以，直线方程为（二）与椭圆有关的切线问题例2.【2018北京文20】已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若和点共线，求【解析】：（1）由题意知（2）设，联立，令，则故当时，最大。（3）题目给出共线，则用向量共线即可，但是需要知道两点的坐标，因此大胆设出的方程，求出的坐标（坐标与坐标产生关联之后即可）设，又，所以可设，直线的方程为：则即，又，代入得【注意此处也可以不转化，直接将转化为的形式，但是不如一开始就转化简单】故，，同理可得故因为三点共线，所以将坐标代入化简可得，即【变式训练】（2017新课标Ⅲ）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为A．B．C．D．【答案】A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，（三）与抛物线有关的切线问题例3.【2019全国III理21】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故，整理得设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.【变式训练】（2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵在抛物线的准线上，∴．∴，∴，设直线的方程为①，将①与联立，得②，则△=，即，解得或（舍去），将代入①②解得，即，又，∴，故选D．迁移应用如图过抛物线焦点的直线交抛物线于两点点位于轴上方为抛物线的准线上一点交轴于于则直线的斜率为【答案】：设分别是双曲线的左右焦点若双曲线右支上存在一点使为坐标原点且则该双曲线的离心率为.【答案】：3．已知点为双曲线右支上一点，，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，△的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】点为双曲线右支上一点，，分别为左右焦点，△的内切圆圆心为，半径为2，若，可得：，可得，可得，所以；双曲线的离心率为，，可得，则．故选：C．4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，△是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】△是以为底边的等腰三角形，，由椭圆的定义可得：．设，，．在△中，由余弦定理可得：．解得．故选：B．5．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点，，以线段为直径作圆,圆心为．（I）求椭圆C的方程；（II）若圆与轴相切，求圆心的坐标；（Ⅲ）设是圆上的动点，当变化时，求的最大值．【解析】（I）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（II）由题意知由得所以圆的半径为解得，所以点的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆的方程。因为点在圆上．所以设，则当，即，且，取最大值2．6．（2017山东）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为．求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．【解析】（I）由题意知，，所以，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设，联立方程得，由题意知，且，所以．由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为．联立方程得，因此．由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为．综上所述：的最大值为，取得最大值时直