概率论教学大纲( 概念公式总结)

不得用于商业用途不得用于商业用途《概率论基础》教学大纲山西财经大学本科生应用数学系课程教学大纲课程名称：概率论基础课程英文名称：ProbabilityTheorybase学时数：64学时（课堂讲授54学时，习题课10学时）学分数：4学分适用专业：应用数学专业开课学期：第III或第IV学期第一部分大纲说明一、课程的性质与任务《概率论基础》是研究大量随机现象客观规律性的一门数学课程。随着现代科学技术的迅速发展，概率论也得到了蓬勃的发展。它不仅形成了结构宏大的理论体系，而且在很多科学研究、工程技术和经济管理等领域里有愈来愈多的应用。同时概率论基础也是数理统计和统计学的学习前提。由于其应用的广泛性和理论的重要性，《概率论基础》被列为我校应用数学系的一门重要的必修课。概率论有其独特的思维方式，通过各个教学环节，逐步培养学生处理随机现象的能力和综合运用所学思维方法和知识分析问题、解决有关实际问题的能力。为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术和管理技术知识奠定必要的数学基础。二、课程的教学基本要求1、概率论是研究随机现象客观规律的一门科学。通过本课程的学习，使学生对概率的概念和方法有全面、深入的理解，掌握概率常用方法的基本思想；使学生建立随机的思想，认识到随机现象存在的普遍性、概率应用的广泛性和学好这门课的重要性。2、通过概率论的学习，使学生掌握概率论的基础知识，了解概率论公理化体系，为后续课程---数理统计的学习打下必要的基础。3、通过概率论的学习，使学生初步掌握概率方法在实际中的应用，并能用一些方法处理较简单的实际问题。三、学时分配：因本课程涉及数学分析等预备知识，故建议放在第三学期或第四学期。本课程共64学时（讲授54课时，习题课10课时），4学分。教材建议选用复旦大学李贤平编著的《概率论论基础》。序号内容学时1第一章随机事件与概率8+22第二章条件概率与统计独立性6+23第三章随机变量及其分布10+24第四章随机向量及其分布10+25第五章数字特征及特征函数12+26第六章极限定理8四、参考书目：1、《概率论与数理统计》（第三版）浙江大学盛骤等编，高等教育出版社。2、《概率统计教程》高文森张魁元编，东北师范大学出版社。3、《概率论与数理统计》中山大学数学力学系编人民教育出版社4、《概率论与数理统计》陈希孺编著中国科学技术大学出版社5、《概率统计复习和解题指导》同济大学工程数学教研室编著6、《概率论与数理统计》龙永红主编高等教育出版社五、关于本大纲的说明1.本大纲系依据教育部考试中心颁发的07年硕士数学一考试大纲的要求，按照山西财经大学本科课程教学大纲管理条例，结合我校相关数学专业需求的具体情况制定的，适合于对数学知识需求较多的专业使用。2•任课教师可根据教学实际情况适当处理，亦可根据教学对象适当增加少量大纲规定之外的内容。3•带*号的部分可根据具体情况选讲。第二部分教学内容及其要求第一章随机事件与概率（8+2学时）考试内容随机试验与样本空间随机事件事件的关系与运算完备事件组频率与概率古典概率几何概率概率的公理化定义概率的基本性质考试要求1了解样本样本点、样本空间（基本事件空间）概念，理解随机事件的概念，掌握随机事件的关系和运算及运算规律。2了解概率概念的发展背景，掌握古典概率、几何概率的基本计算方法。3理解概率的公理化定义、掌握概率的基本性质及其推论，并能熟练应用。掌握概率的加法公式，减法公式。§1预备知识….一、两个基本原理1加法原理2乘法原理二、排列1线性排列2环形排列

三、组合1不允许重复的组合2允许重复的组合§2随机试验与样本空间…一、随机试验二、样本空间§3随机事件.一、事件二、事件间的关系及运算三、事件间运算规律§4概率的统计学定义一、频率及其性质二、概率统计学定义§5概率的古典定义一、古典试验二、典例…•§6古典概率的性质一、性质1、非负性：pCA）n0；2、规范性：P^^）=1；3、有限可加性：A，A2，…，A互不相容，则12nP（A+A+…+A）=P（A）+P（A）+…+P（A）12n12n二、应用§7摸球问题的演绎一、超几何概率模型二、贝努利概型三、几何概率模型§8概率的几何定义…一、问题的提出二、定义及性质1、非负性：pCA）n0；2、规范性:

2、规范性:UA〕=区p(aUA〕=区p(a)3、可列可加性：Pk12k=0三、典例四、几何概率的特例§9概率的公理化定义一、定义称集合实函数P（.）为概率，若P（.）满足下列公理（1）对任一事件a,有p（A）n°;（3）对任一互不相容的可数事件列A/A?，…=区（3）对任一互不相容的可数事件列A/A?，…=区p(a)kk=1二、性质三、性质的应用§10概率的进一步性质一、事件域二、两个特殊的域三、关于测度四、概率的单调性，上连续性，下连续性五、有限可加性与可列可加性第二章条件概率与统计独立性（6+2学时）考试内容条件概率及其性质乘法公式贝叶斯（Bayes）公式全概率公式两个事件的独立性、多个事件的独立性及其结论独立试验及独立试验序列贝努利试验及其n重贝努利试验*贝努利试验的推广考试要求1理解条件概率的概念，掌握其基本性质，会计算一些有条件事件的概率。2掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。3准确理解独立事件的概念，并会用其性质计算一些复杂事件的概率。4掌握贝努利试验概型。理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。§1条件概率…一、条件概率的引入二、条件概率的定义三、条件概率的性质i非负性pG|A）no；2规范性pG|a)=1；fBJ=1kp6|A)=0;3可列可加性P=KP°Ja)其中B1，B2,…互斥.k=1k6推抡25有限可加性Pk・k=k6推抡25有限可加性Pk・k=1丿k=10<pG|a)w其中P(AA...A)〉012n-1UBIA1=]Ep(B|A)其中B,B，…B互斥.kk12npQ+B|A)=pG|A)+pQ|A)-pQba)1212128pG|a)=1-pG|a)§2乘法定理一、乘法定理…A12n-1P(AA…A)=P(A)…A12n-1二、乘法公式的应用§3两个重要公式一、全概率公式定理1设A，A，…,A，…是一随机试验的完备事件组，B为某随机事件，）〉0,n=1,2，…，则12nnP（B）=才P（A》（BA）nn=1二、贝叶斯公式定理2设A，A，…,A，…是一随机试验的完备事件组，B为某随机事件，若P^A）〉°，n=1,2,…，P（B）〉O,则12n-P（A）P（BA）上_-,k=1,2,kP（A）P（BA）kk=1§4随机事件的独立性一、两个事件的独立性1定义2结论二、多个事件的独立性1定义2结论三、事件的独立性在概率计算中的应用§5试验的独立性与贝努利试验概型一、独立实验二、贝努利试验概型三、贝努利试验中的一些重要分布§6贝努利试验的应用一、分赌问题二、有吸收壁的点随机游动问题§7贝努利试验的进一步讨论一、贝努利试验成功r次而终止二、无限次的贝努利试验三、贝努利试验的推广第三章随机变量的分布（10+2学时）考试内容随机变量及其概率分布随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布（分布列）及其性质常见离散型分布列连续型随机变量的概率密度及其性质常见连续型分布随机变量函数的概率分布考试要求理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数F（理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数F（x）=P（X<x）—g<x<的概念及性质。会计算与随机变量相关的事件的概率。理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布Posisson）及其应用。理解二项分布的泊松近似，并会用泊松分布近似表示二项分布。QJ及其应用。理解连续型随机变量及其概率密度的概念；掌握概率密度与分布函数之间的关系。QJ及其应用。6掌握均匀分布U（a,b）、指数分布e（X）、正态分布

7掌握求随机变量函数分布的一般方法。§i随机变量一、随机变量的引入二、随机变量的定义§2分布函数一、随机变量的分布函数二、分布函数的性质1单调不减性：任取X<x,有F(x)<F(x)12122规范性：limf(x)=o,limf(x)=1XT-g3右连续性：limf(x)=XJx+§3离散型随机变量的分布列分布列非负性：p(X)>0,i=1,2,…i2规范性：工p(X)=1ii分布函数的关系}分布函数的关系}=Xp(x)i2F(x)=工P(X=x)i1p{xeBX<Xi3p=P(X=x)=F(x)-F(x-0)i=1,2,…iiii§4三、四、三、性质X几种常见的离散型分布.§4三、四、三、性质X几种常见的离散型分布.退化分布0-1分布n个点上的均匀分布二项分布几何分布g(p;k)o对任意整数m,n有P(X>n+m|X>m>n)六、六、七、八、§5超几何分布泊松分布帕斯卡分布连续型随机变量的概率密度一、概率密度F(x)=fXf(t)dt—g性质1f(x)三0(―8〈X〈+8)性质2J+®f(t)dt=1一8二、概率密度的应用P(x<X<x)=Jx2f(t)dt12x1§6常见的连续型分布一、均匀分布U(a,b)概率密度:其他三、指数分布*6)概率密度:九e-九x其中九>0.定理1随机变量X取非负数，X服从指数分布的充要条件是：对任意非负数12,有P(X>t+1X>P(X>t+1X>t12)=P(X>t)12四、韦布分布W(m，V，%)概率密度:_v_1ex00(x一v)mx°,x>vx<v其中，m其中，m>0,为形状参数，v为位置参数，x0为尺度参数。五、正态分布五、正态分布概率密度:(x一卩)22a2(_S<x<+s)定理若X〜N(p,G2)，X*

X_u=——，则X*〜N(0,12)。a§7随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布列二、连续型随机变量函数的概率分布定理设随机变量X定理设随机变量X的密度函数为函数y=gC）严格单调，则随机变量Y=g&）的密度函数为其中a=mm(y)=<fI(y(y))|o,其它X£J，b=maXxeC｝。X第四章随机向量及其分布（10+2学时）考试内容随机向量的（联合）分布函数、边缘分布函数、条件分布函数离散型随机向量的（联合）概率分布（分布列）、边缘分布列和条件分布列连续型随机向变量的（联合）概率密度、边缘概率密度和条件概率密度随机变量的独立性和相关性常见二维随机向量的（联合）分布列、（联合）概率密度（二维均匀分布与二维正态分布）两个及两个以上随机变量的函数的概率分布（分布函数、分布列、概率密度），随机变量的独立性，随机向量简单函数的概率分布，n维随机向量。考试要求1了解二维随机向量的概念，理解二维随机向量分布函数的概念与性质。2理解二维离散型随机向量及其概率分布的概念与性质，了解其边缘分布及条件分布的概念。3理解二维连续型随机向量及其概率密度的概念与性质，了解其边缘概率密度及条件概率密度的概念。4掌握二维均匀分布，了解二维正态分布。5理解随机向量相互独立的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的充要条件。6会求两个随机变量简单函数的概率分布。7了解n维随机向量§1随机向量的分布函数一、随机向量二、（联合）分布函数定义.F（x,x，…，x）=pIx<x,X<x，…，X<x}12n112nn性质：1单调不减性：任取xi<x2,@y]<y2）有F（x,y）<F（x,y）^F（x,y）<F（x,y））12112F（x,y妊别关于x，y单调不减且右连续；3FCa,y)=limF(x,y)=0xT-8FCg,FCg,-g)=F(+g,+g)=F(x,—g)=limF(x,y)=0yT—glimF(x,y)=0XT—gyT—glimF(x,y)=1XT+g,yT+g4设F（x,y）是一个二维随机向量（X,Y）的分布函数，任取C<a,d<b则:F(a,b)—F(c,b)—F(a,d)+F(c,d)>0三、边缘分布函数四、条件分布函数§2离散型随机向量的（联合）分布列一、（联合）分布列1定义P（X二x,Y二y）=ijP，iji,j=1,2,…2性质：Gp>o；ij(2)莎二1.pijj二、边缘分布列三、条件分布列§3连续型随机向量的概率密度一、（联合）概率密度1定义F(x,y)=fff(u,v》udv—g—g2性质(1)f(x,y)>0;（2）f+gf+gf（X,yI/xdy=1—g—g二两个重要分布1多维均匀分布联合密度函数f(x,X,…,x口12,(x,x，…,x)eDS12n0,D(x,x，…,xD12n2多维正态分布仅供个人参考仅供个人参考仅供个人参考1仅供个人参考12不得用于商业用途2不得用于商业用途不得用于商业用途不得用于商业用途联合密度函数rexpl-2b...b11121nb...b21222nb...bb...b11121nb...b21222nb...bn1n2nnbbb,正定矩阵.i,j=1,2,…§5随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布列

、连续型随机向量函数的概率分布Z=X+Y的分布Z=XY的分布Z_XZ二y的分布Z=max(X,Y)的分布(2)(3)(4)(5)Z=min(x,Y)的分布其中：x=(x，•…x)t,a=(a*1n三、边缘概率密度四、条件概率密度§4随机变量的独立性一、随机变量的独立性F(x,y)=F(x)F(y)XY二、离散型随机变量的独立性结论：随机变量X与Y相互独立的充要条件是：二x,Y二y}=P(X二x二yijij三、连续型随机变量的独立性结论：x，y独立的充要条件为f(x,y)=/(x)f(y)XY(6)Z二max(X,X，…，X)的分布(6)12n第四章数字特征与特征函数(12+2学时)教学内容数学期望条件数学期望随机变量函数的数学期望随机向量函数的数学期望k阶原点矩方差均方差(标准差)k阶中心矩协方差协方差矩阵相关系数熵特征函数教学要求1理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质，会用这些性质进行计算。

2理解随机变量函数的数学期望公式并能正确运用。3理解数字特征的直观意义，了解矩的概念。4掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望和方差。5理解随机变量协方差和相关系数的概念和性质，了解随机变量的矩和协方差矩阵的概念6了解熵的含义，理解特征函数的定义。§4.1数学期望一、定义、重要分布的数学期望(0-1)分布EX=p=npEX二九仅供个人参考仅供个人参考不得用于商业用途不得用于商业用途7指数分布e()EX二-九8正态分布,C2)§4.2数学期望的性质一、随机变量函数的期望离散型连续型EX二Jg连续型EX二Jg(x)f(xIfx—g一般型EX=+fg(x)dF(x)—g二、随机向量函数的期望1离散型Eg(X,Y)=莎gCy,y)ijij2连续型Eg(X,Y)=ffg(x,yf(x,y》xdy—g—g三、期望的性质1E(x)=xE(X+x)=E(X)+cE(cX+x)=cE(X)+xE(cX+cY)=cE(X)+cE(Y)1212四、应用仅供个人参考仅供个人参考12不得用于商业用途12不得用于商业用途§4.3条件期望、条件期望的概念y()离散型E(Xy.)=厶xpky<x)iE(Yx)=yyljjj2连续型EG|y)=fxfCyh,EC|x)=fyf^yx》y—g—g二、最佳线性预测-|L1)1巴§4.4方差方差的定义E(E(X—EX)2DX二EX2—(EX)2二、常用分布的方差(0-1)分布DX(0-1)分布DX二pq二项分布b°.P)DX=npqDX二九几何分布q(p)超几何分布H(N,M,n)DX均匀分布UC，b)DX=(b—a仅供个人参考仅供个人参考不得用于商业用途不得用于商业用途7指数分布£)8正态分布三、性质D(c)=0D(X+c)=DXD(aX+c)二a2D(X)DX<E(X-c)2四、§4.5协方差与相关系数一、协方差1、定义Cov(X,Y)=E(X-EX)Y-EY)2、性质cov(X,X)=DX；cov(X,Y)=cov(Y,X)；cov(aX,bY)=abcov(X,Y)，a，b为任意常数；cov(X,C)=0；C为任意常数；cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)；6如果X、Y相互独立，则cov(X,Y)=0；7如果X,Y方差存在，则协方差一定存在，并且满足不等式|cov(X,Y)|<E|(x—EX)(Y—EY)<JDX-DY

8如果X,Y为任意两个随机变量，并且其方差分别都存在，则X+Y,X-Y的方差也存在，且D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)特别地，如果X,Y相互独立，有D(X土Y)=DX+DY9如果随机变量X,Y的方差存在，则有EXY|2<EX2.EY2这就是著名的柯西-许瓦斯不等式。二、相关系数1、定义2、性质3、常用公式*§4.6熵一、不确定性二、试验的熵H(x)=-gp(A)logp(A)iii=1三、基本性质*§4.特征函数一、定义(t)=Eeitx+8=JeitxdF(x)二、常用分布的特征函数三、性质1申G)=1，|p(t)<p(0)2在Cy,+2）—致连续连续3非负定性"申'一t'无.>0,t.,t为任意实数，x,x为任意复数。ijijijiji=1j=14申a）（0）=ikEXk第五章大数定律与中心极限定理（8学时）教学内容切比雪夫不等式，依概率收敛，依分布收敛，切比雪夫大数定律，伯努利大数定律，锌钦大数定律，德莫弗一拉普拉斯定理，列维一林德伯格定理，李雅普诺夫定理。教学要求1了解切比雪夫不等式。了解依概率收敛的概念。了解依分布收敛的概念。了解切比雪夫大数定律，伯努利大数定律和锌钦大数定律。了解德莫弗一拉普拉斯定理，列维一林德伯格定理和李雅普诺夫定理。6掌握大数定律和中心极限定理的使用。§5.1切比雪夫不等式一、矩原点矩a=EXk,k=1,2,….k中心矩0=E（X一EX\,k=1,2,….k二、两个不等式1马尔科夫不等式X为只取非负值的随机变量，则对任意给定的常数8>08>0有P（X*}<EX）82切比学夫不等式设随机变量X的方差存在且有界，则对于任意的8>0,恒有：DXP{lX-EX1>8}<——82§5.2大数定律

一、依概率收敛二、大数定律1贝努利大数定理设卩为n重贝努力试验中事件A发生的次数，P为每次试验事件A发生的概率，（0〈P〈1一、依概率收敛二、大数定律1贝努利大数定理设卩为n重贝努力试验中事件A发生的次数，P为每次试验事件A发生的概率，（0〈P〈1）,则对任意的正数n8，有limP{ln一p|<8}=1nT8n2泊松大数定理在n次独立实验中,卩为n次试验中事件A发生的次数，第k次试验事件A出现的概率为P,k=1,2,….则对任意nk的正数8，有£limP{l匕n*nk=1Pk|<8}=1n3切比雪夫大数定理设X,，X2,是一列两两不相关的随机变量，它们的数学期望EX和方差DX都i存在有界，即存在常数c,使得DXwc,i二1、、则对任意的正数8,limP{|i工X--E工nsnii=1Xl<8