江苏省扬州市2024届数学九上期末经典试题含解析

江苏省扬州市2024届数学九上期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（）A． B． C． D．3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≤ B．x≥ C．x≤ D．x≥4．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．下列语句，错误的是（）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦6．已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是()A．30πcm2 B．15πcm2 C．cm2 D．10πcm27．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB，AM，BN分别是⊙O的切线，切点分别为P，M，N．若MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O的半径是（）A． B．3 C． D．9．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（）A．9m B．12m C．8m D．10m10．如图，PA、PB都是⊙O的切线，切点分别为A、B．四边形ACBD内接于⊙O，连接OP则下列结论中错误的是（）A．PA=PB B．∠APB+2∠ACB=180°C．OP⊥AB D．∠ADB=2∠APB二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）12．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________．13．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有______名同学．14．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm2.15．一个扇形的弧长是，它的面积是，这个扇形的圆心角度数是_____．16．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为_____．17．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为_____．18．一组数据：﹣1，3，2，x，5，它有唯一的众数是3，则这组数据的中位数是__．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在矩形中，点为原点，点的坐标为，点的坐标为，抛物线经过点、，与交于点．备用图⑴求抛物线的函数解析式；⑵点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为．求关于的函数表达式；⑶抛物线的顶点为，对称轴为直线，当最大时，在直线上，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC，CD于点E，F，且，连接BF．（1）求证CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求⊙O的半径．21．（6分）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．22．（8分）有两个不透明的袋子，甲袋子里装有标有两个数字的张卡片，乙袋子里装有标有三个数字的张卡片，两个袋子里的卡片除标有的数字不同外，其大小质地完全相同．（1）从乙袋里任意抽出一张卡片，抽到标有数字的概率为．（2）求从甲、乙两个袋子里各抽一张卡片，抽到标有两个数字的卡片的概率．23．（8分）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？24．（8分）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．25．（10分）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙0与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，求CD的长．26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．（1）求曲线的表达式；（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．①当时，直接写出图象G上的整数点个数是；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】根据中心对称图形的概念即可求解．【题目详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2、A【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．【题目详解】解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，∴小李获胜的概率为；故选A．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．3、A【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.【题目详解】依题意得2-4x≥0解得x≤故选A.【题目点拨】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.4、B【分析】根据题意，求出b2﹣4ac与0的大小关系即可判断.【题目详解】∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．【题目点拨】此题考查的是求二次函数与x轴的交点个数，掌握二次函数与x轴的交点个数和b2﹣4ac的符号关系是解决此题的关键.5、B【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.【题目详解】A.直径是弦，正确.B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.故答案选：B.【题目点拨】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.6、B【解题分析】试题解析：∵底面半径为3cm，∴底面周长6πcm∴圆锥的侧面积是×6π×5=15π（cm2），故选B．7、B【解题分析】分析：根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=1即可．详解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE=60°，AB=AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE=1．故选B．点睛：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．8、D【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.【题目详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN分别和⊙O相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=AB=3，∴tan∠OAP=tan30°==，∴OP=，即半径为.故选D.【题目点拨】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.9、A【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【题目详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，∴AB＝DE＝9m，故选：A．【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．10、D【分析】连接，，根据PA、PB都是⊙O的切线，切点分别为A、B，得到，，所以A，C正确；根据得到，即，所以B正确；据此可得答案．【题目详解】解：如图示，连接，，、是的切线，，，所以A，C正确；又∵，，∴在四边形APBO中，，即，所以B正确；∵D为任意一点，无法证明，故D不正确；故选：D．【题目点拨】本题考查了圆心角和圆周角，圆的切线的性质和切线长定理，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、15π【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷1．【题目详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm1．故答案为：15π．【题目点拨】本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．12、【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答.【题目详解】解：∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步∴列方程得：.故答案为.【题目点拨】本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系.13、1【解题分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送10份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【题目详解】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：，解得：，舍去，即参加聚会的有1名同学，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．14、【解题分析】圆锥侧面积=×4×2π×6=cm2.故本题答案为：.15、120°【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r，再利用弧长公式求出圆心角即可．【题目详解】设扇形的半径为r，圆心角为n°．由题意：,∴r＝4，∴∴n＝120，故答案为120°【题目点拨】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.16、1.【分析】设白色棋子的个数为x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案．【题目详解】解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，答：白色棋子的个数为1个；故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查概率的应用，解题的关键是根据题意列出分式方程进行求解.17、或【解题分析】根据位似变换的性质计算即可．【题目详解】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为，若点C的坐标为（4，1），∴点C′的坐标为或∴点C′的坐标为或故答案为或【题目点拨】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18、1【解题分析】先根据数据的众数确定出x的值，即可得出结论．【题目详解】∵一组数据：﹣1，1，2，x，5，它有唯一的众数是1，∴x=1，∴此组数据为﹣1，2，1，1，5，∴这组数据的中位数为1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了数据的中位数，众数的确定，掌握中位数和众数的确定方法是解答本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）；（2）；（3）点的坐标为，【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）根据特殊角的三角函数值，得到，过点作与点，则，然后根据面积公式，即可得到答案；（3）由（2）可知，当时，取最大值，得到点Q的坐标，然后求出点D和点F的坐标，再根据平行四边形的性质，有，然后列出等式，即可求出点M的坐标.【题目详解】解：（1）经过、两点，解得，∴抛物线的解析式为：；（2），，，∴，，过点作于点，则∴，；（3）存在符合条件的点，理由如下：由⑵得，，∴当时，取最大值，此时，，又∵点在抛物线上；当时，，的坐标为，的坐标为.设的坐标为，则∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形.由，解得：或；∴符合条件的点的坐标为：，.【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，求二次函数的解析式，平行四边形的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练运用数形结合的思想进行解题.20、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OF，只要证明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解决问题；（2）连接AF，利用∠D=30°，求出∠CBF=∠DBF=30°，得出BF=2，在利用勾股定理得出AB的长度，从而求出⊙O的半径．【题目详解】(1)连接OF，∵，∴∠CBF=∠FBA，∵OF=OB，∴∠FBO=∠OFB，∵点A、O、B三点共线,∴∠CBF=∠OFB，∴BC∥OF，∴∠OFC+∠C=180°，∵∠C=90°，∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，∴CD为⊙O的切线；(2)连接AF，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，∵∠D=30°，∴∠CBD=60°，∵，∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=30°，在，CF=1，∠CBF=30°，∴BF=2CF=2，在,∠ABF=30°，BF=2，∴AF=AB，∴AB2=(AB)2+BF2，即AB2=4，∴，⊙O的半径为；【题目点拨】本题考查切线的判定、直角三角形30度角的性质、勾股定理，直径对的圆周角为90°等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21、（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解题分析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．考点：二次函数的应用22、（1）；（2）抽到标有两个数字的卡片的概率是．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和抽到标有3、6两个数字的卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【题目详解】（1）乙袋子里装有标有三个数字的卡片共3张，则抽到标有数字的概率为；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有种等情况数，其中抽到标有两个数字有种，则抽到标有两个数字的卡片的概率是．【题目点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23、羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解题分析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=1．则100﹣4x=20或100﹣4x=2．∵2＞21，∴x2=1舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．24、（1）；（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F1．【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C坐标代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；（1）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM=BN=t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图1，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF=90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．【题目详解】（1）∵在抛物线y=ax1+bx+c中，当x=﹣4和x=1时，二次函数y=ax1+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x1，又∵抛物线y=ax1+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，由对称性可知B(1，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，得：﹣3a，解得：a，∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x1x；（1）△ABC为直角三角形．理由如下：∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，∴OA=3，OB=1，OC，∴AB=OA+OB=4，AC1，BC1．∵AC1+BC1=16，AB1=16，∴AC1+BC1=AB1，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM=BN=t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM=PM=BN=PN=t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴，即，解得：t，CH，∴OH=OC﹣CH，∴yP，设直线AC的解析式为y=kx，将点A(﹣3，0)代入y=kx，得：k，∴直线AC的解析式为yx，将yP代入yx，∴x=﹣1，∴P(﹣1，)．故答案为：，(﹣1，)；（4）设直线BC的解析式为y=kx，将点B(1，0)代入y=k