2021年中考数学真题复习汇编：专题18三角形解答题（40题）（第02期）（含解析）

专题18三角形解答题（40题）姓名：__________________班级：______________得分：_________________专题18三角形解答题（40题）一、解答题1．（2021·广西中考真题）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到OD=OE；(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.【详解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分别是AB、AC的中点∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2．（2021·广东中考真题）如图，点E、F在线段BC上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】见解析【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵SKIPIF1<0，∴∠B=∠C，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴SKIPIF1<0．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2021·广西中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质即可得结论；（2）由（1）可知∠1=∠2，根据中点的性质可得OD=OB，利用AAS即可证明△DOF≌△BOE．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠1＝∠2．（2）∵点O是对角线BD的中点，∴OD=OB，在△DOF和△BOE中，SKIPIF1<0，∴△DOF≌△BOE．【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（2021·湖北中考真题）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为SKIPIF1<0海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东SKIPIF1<0的方向上，当海监船行驶SKIPIF1<0海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东SKIPIF1<0方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于SKIPIF1<0的方向航行能安全通过这一海域【分析】(1)如图1,作SKIPIF1<0，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为SKIPIF1<0作圆，作圆的切线SKIPIF1<0计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.【详解】解：（1）如图1，作SKIPIF1<0，交AB的延长线于C，由题意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验：SKIPIF1<0是原方程的根，且符合题意，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，过SKIPIF1<0作圆P的切线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，∴∠PDB=90°，由（1）得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海监船由B处开始沿南偏东小于SKIPIF1<0的方向航行能安全通过这一海域．【点睛】本题考查了方位角，特殊角的三角函数值，解直角三角形，圆的切线的判定，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键．5．（2021·湖南中考真题）如图，矩形SKIPIF1<0中为边SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿AE翻折后，点B恰好落在对角线SKIPIF1<0的中点F上．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求折痕SKIPIF1<0的长度【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由折叠的性质证明SKIPIF1<0再证明SKIPIF1<0从而可得结论；（2）利用折叠与三角形全等的性质求解SKIPIF1<0再利用SKIPIF1<0的余弦求解SKIPIF1<0即可.【详解】解：（1）SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由对折可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由折叠可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.6．（2021·广东中考真题）如图，在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，点E是AC的中点，且SKIPIF1<0（1）尺规作图：作SKIPIF1<0的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为等边三角形．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出SKIPIF1<0的平分线AF即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根据等腰三角形三线合一性质得出SKIPIF1<0，从而得到EF为中位线，进而可证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．【详解】解：（1）如图，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为等边三角形．【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．7．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形SKIPIF1<0，过A点作SKIPIF1<0的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接SKIPIF1<0，把线段SKIPIF1<0绕点C逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0．

（1）如图1，直接写出线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系；（2）如图2，当点P、B在SKIPIF1<0同侧且SKIPIF1<0时，求证：直线SKIPIF1<0垂直平分线段SKIPIF1<0；（3）如图3，若等边三角形SKIPIF1<0的边长为4，点P、B分别位于直线SKIPIF1<0异侧，且SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度．【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即可得到结论；（2）先证明SKIPIF1<0是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论；（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据SKIPIF1<0，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-SKIPIF1<0，QF=(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0，再列出关于x的方程，即可求解．【详解】（1）证明：∵线段SKIPIF1<0绕点C逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等边三角形SKIPIF1<0中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，CA⊥l，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等边三角形SKIPIF1<0中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直线SKIPIF1<0垂直平分线段SKIPIF1<0；（3）①当点Q在直线上方时，如图所示，延长BQ交l与点E，过点Q作SKIPIF1<0与点F，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即AP的长度为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②当点Q在直线l下方时，过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，由（1）小题，可知：SKIPIF1<0，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE=SKIPIF1<0，∴BM=BE÷sin60°=2÷SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，设AP=x，则BQ=x，MQ=x-SKIPIF1<0，QF=MQ×sin60°=(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0AP×QF=SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0x×(x-SKIPIF1<0)×SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不合题意，舍去），∴AP=SKIPIF1<0．综上所述，AP的长为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．8．（2021·江苏）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）利用平行线等分线段定理证明直线l1平分AC；利用直角三角形的判定证明直线l1垂直AC；（2）以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．【详解】（1）解：如图①，连接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直线l1平分AC，由作图可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l2垂直AC，∵l1∥l2，∴l1垂直AC，即直线l1垂直平分AC．（2）如图②，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，与考查了尺规作图．9．（2021·湖南中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，SKIPIF1<0，将边SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转到SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后问题可求证；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，进而根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴根据三角形内角和可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·江苏中考真题）如图，将一张长方形纸片SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，使SKIPIF1<0两点重合．点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是等腰三角形；（2）求线段SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为折叠，SKIPIF1<0，即可得证；（2）设SKIPIF1<0用含SKIPIF1<0的代数式表示SKIPIF1<0，由折叠，SKIPIF1<0，再用勾股定理求解即可【详解】（1）SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为折叠，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰三角形（2）SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为折叠，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．11．（2021·贵州中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

（探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝SKIPIF1<0，∠ABC＝∠ADC＝SKIPIF1<0．求证：AD＋AB＝AC；（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝SKIPIF1<0，∠ABC＋∠ADC＝SKIPIF1<0．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，然后根据直角三角形中SKIPIF1<0是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造SKIPIF1<0证明△CFBSKIPIF1<0△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用SKIPIF1<0的正弦值求得SKIPIF1<0的长，然后根据SKIPIF1<0的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝SKIPIF1<0，∴∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，∵∠ADC＝∠ABC＝SKIPIF1<0，∴∠ACD＝∠ACB＝SKIPIF1<0，∴AD＝SKIPIF1<0．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝SKIPIF1<0，∠EDC＋∠ADC＝SKIPIF1<0，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝SKIPIF1<0，∴△CFBSKIPIF1<0△CEDSKIPIF1<0，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝SKIPIF1<0∴∠DAC＝∠BAC＝SKIPIF1<0，又∵AC＝10，∴CE＝ASKIPIF1<0，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．12．（2021·吉林中考真题）图①、图2均是SKIPIF1<0的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以SKIPIF1<0为顶点，SKIPIF1<0为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以SKIPIF1<0为顶点，SKIPIF1<0为底边，该SKIPIF1<0即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，此时底SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，因此四边形SKIPIF1<0即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．13．（2021·山东中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0；交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后问题可求证；（2）由题意易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∵BD平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键．14．（2021·内蒙古中考真题）如图，在山坡SKIPIF1<0的坡脚A处竖有一根电线杆SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0），为固定电线杆，在地面C处和坡面D处各装一根引拉线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们的长度相等．测得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，求点D到SKIPIF1<0的距离．【答案】SKIPIF1<0【分析】作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，利用三角函数及勾股定理求出AD的长，再利用三角函数求出答案即可．【详解】如图：作DE⊥AB于E，BF⊥AP于F，在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，AC=6，∴AB=8，∴SKIPIF1<0，在Rt△ABF中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在Rt△ADE中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴点D到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0米．．【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理的计算，正确理解题意引出辅助线构建直角三角形是解题的关键．15．（2021·吉林中考真题）如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的中线，点SKIPIF1<0为射线SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0的对应点为点SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0．直接写出SKIPIF1<0的长（用含SKIPIF1<0的代数式表示）；（2）若SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的异侧，连接SKIPIF1<0，如图②，判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；（3）若SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）菱形，见解析；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得SKIPIF1<0；（2）由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“直角三角形中SKIPIF1<0角所对的直角边等于斜边的一半”，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0是平行四边形，再由折叠得SKIPIF1<0，于是判断四边形SKIPIF1<0是菱形；（3）题中条件是“点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上一点”，因此SKIPIF1<0又分两种情况，即点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．【详解】解：（1）如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）四边形SKIPIF1<0是菱形．理由如下：如图②∵SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由折叠得，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是平行四边形；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是菱形．（3）如图③，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0异侧，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由折叠得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图④，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0同侧，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由折叠得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．16．（2021·内蒙古中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别是E、F，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交千点H．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0满足什么条件时，四边形SKIPIF1<0是正方形？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0满足∠BAC=90°时，四边形SKIPIF1<0是正方形，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；（2）只需证得四边形AEDF是矩形即可，【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，∴AD⊥EF；（2）SKIPIF1<0满足∠BAC=90°时，四边形SKIPIF1<0是正方形，理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形，又∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键．17．（2021·辽宁中考真题）如图，点A，D，B，E在一条直线上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】见详解【分析】由题意易得SKIPIF1<0，进而易证SKIPIF1<0，然后问题可求证．【详解】证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．18．（2021·辽宁中考真题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）找出与SKIPIF1<0相等的角并证明；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据三角形外角的性质直接求解即可；（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可证明SKIPIF1<0，进一步证明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等腰三角形且顶角相等，即可证明SKIPIF1<0；（3）由（2）可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0，列比例求出SKIPIF1<0，代入以上数据即可求得SKIPIF1<0的值．【详解】（1）根据题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如图，在BF上截取BP，使AE=BP，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等腰三角形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为顶角相等的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）又（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由此得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解题关键．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）在（1）的条件下，连接DE，证明SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于SKIPIF1<0MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；（2）依据SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进一步可得结论．【详解】解：（1）如图，SKIPIF1<0为所作SKIPIF1<0的平分线；（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到SKIPIF1<0．20．（2021·广西中考真题）已知在SKIPIF1<0ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将SKIPIF1<0AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到SKIPIF1<0EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）成立，证明见解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）结论SKIPIF1<0．证明SKIPIF1<0，可得结论．（2）结论成立．证明方法类似（1）．（3）首先证明SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性质求出SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可．【详解】解：（1）结论：SKIPIF1<0．理由：如图1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）结论成立．理由：如图2中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）如图3中，由旋转的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（2021·广西中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知SKIPIF1<0ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使SKIPIF1<0ADE∽SKIPIF1<0ACB．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0即可．（2）作SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0即为所求．【详解】解：（1）如图，点SKIPIF1<0即为所求．（2）如图，点SKIPIF1<0即为所求．【点睛】本题考查作图SKIPIF1<0相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（2021·江苏中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）将SKIPIF1<0沿直线l翻折得到SKIPIF1<0．①用直尺和圆规在图中作出SKIPIF1<0（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与l的位置关系是__________．【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行【分析】（1）根据“SAS”即可证明SKIPIF1<0；（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA为半径画画弧，两个弧交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0B，SKIPIF1<0C，即可；②过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0M⊥l，过点D作DN⊥l，则SKIPIF1<0M∥DN，且SKIPIF1<0M=DN，证明四边形SKIPIF1<0MND是平行四边形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵SKIPIF1<0，∴BC=EF，∵SKIPIF1<0，∴∠ABC=∠DEF，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）①如图所示，SKIPIF1<0即为所求；②SKIPIF1<0∥l，理由如下：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于直线l对称，∴SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0M⊥l，过点D作DN⊥l，则SKIPIF1<0M∥DN，且SKIPIF1<0M=DN，∴四边形SKIPIF1<0MND是平行四边形，∴SKIPIF1<0∥l，故答案是：平行．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．23．（2021·湖北中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）证明见详解；（2）1．【分析】（1）根据SKIPIF1<0证明即可；（2）根据（1）可得SKIPIF1<0，即由SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0求解即可．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．24．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）见详解；（2）4SKIPIF1<0-8【分析】（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；（2）由SKIPIF1<0以及勾股定理得AN=DM=4，AB=SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵在矩形SKIPIF1<0中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵SKIPIF1<0，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（AAS），（2）∵SKIPIF1<0，∴AN=DM=4，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AB=SKIPIF1<0，∴矩形SKIPIF1<0的面积=SKIPIF1<0×2=4SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积=4SKIPIF1<0-4-4=4SKIPIF1<0-8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角形全等，是解题的关键．25．（2021·吉林中考真题）图①、图②、图③均是SKIPIF1<0的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使SKIPIF1<0．（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使SKIPIF1<0．（3）在图③中，连结MA、MC，使SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=SKIPIF1<0，即可得点M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=SKIPIF1<0，AC=SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得SKIPIF1<0，由此即可确定点M的位置．【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．（2）如图②所示，点M即为所求．（3）如图③所示，点M即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．26．（2021·湖北中考真题）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

（1）如图1，当SKIPIF1<0时，作SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0；（2）如图2，当SKIPIF1<0时，作SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0即可；（2）先延长SKIPIF1<0，相交于点SKIPIF1<0，再连接SKIPIF1<0，相交于点SKIPIF1<0，然后连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0即可．【详解】解：（1）如图，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为所求．

（2）分以下三步：①延长SKIPIF1<0，相交于点SKIPIF1<0，②连接SKIPIF1<0，相交于点SKIPIF1<0，③连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为所求．

【点睛】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．27．（2021·黑龙江中考真题）（1）如图，已知SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一点，请用尺规作图的方法在边SKIPIF1<0上求作一点SKIPIF1<0．使SKIPIF1<0．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在上图中，如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长是_______SKIPIF1<0．【答案】（1）见解析；（2）9．【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；（2）根据（1）中可知SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0的周长．【详解】（1）作法：