人教版九年级数学上册 （圆周角）教育教学课件

24.1.4圆周角人教版数学九年级上册第二十四章圆

前言学习目标1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。重点难点重点：理解并掌握圆周角定理及推论。难点：圆周角定理的证明。特征：顶点在圆上，两边都与圆相交。将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？OACB情景引用概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的特征：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。·ABCDEO你能指出右图中存在的圆周角吗？圆周角的概念

在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你能得出什么结论？经过测量，同弧所对的圆周角度数等于所对圆心角的一半。OACB圆心角和圆周角之间存在的关系下面我们分以下三种情况验证上述猜想：圆心角和圆周角之间存在的关系

123

=>证明二：OA=OC=>∠1＝∠2∠3＝∠1＋∠2

符号“=>”读作“推出”，“A=>B”表示由A条件推出结论B.圆心角和圆周角之间存在的关系

123456

D连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D圆心角和圆周角之间存在的关系

123456D连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D

=>圆心角和圆周角之间存在的关系

作直径ADD15234

=>圆心角和圆周角之间存在的关系综上所述,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系是:即∠BAC=∠BOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角和圆周角之间存在的关系

在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？·OABB1A1将弧AB绕圆心O旋转，使弧AB与弧A1B1重合∴点A与A1重合，B与B1重合∴射线OB与OB1重合，射线OA与OA1重合∴∠AOB＝∠A1OB1而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半∴它们所对应的的圆周角相同。即同弧或等弧所对的圆周角相等。⌒⌒C圆心角和圆周角之间存在的关系·ABC1OC2C3

证明：90°的圆周角所对的弦是直径？圆心角和圆周角之间存在的关系如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

解：∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.

圆心角和圆周角之间存在的关系O

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。ADCB圆内接多边形概念圆内接四边形的四个角之间有什么关系？OADCB

⌒⌒⌒⌒思考1、填空1）如果∠A=45°,则∠BOC=____,∠OBC=

。2）如果∠BOC=46°,则∠A=____。3）如果BC的度数是46°，那么这条弧所对的圆心角和圆周角分别等于

，

。4）n°弧所对的圆心角是

，所对的圆周角是

。OABC23°46°23°n°n°90°45°⌒随堂测试2.如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，求证：CD=BD.

随堂测试3.如图，在半径为5cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长．

随堂测试感谢各位的聆听指导人教版数学九年级上册圆周角

如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图，

学完今天的课程，你们就会知道答案了！玻璃弧AB表示圆弧形玻璃窗．他们的视角相同吗？乙、丙分别站在其他靠墙的位置D和E，同学甲站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，圆周角你还记得圆心角的定义吗？顶点在圆心的角，叫做圆心角．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．练习判断下列各图中的角是不是圆周角，为什么？分别测量图中弧AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB，它们之间有什么关系？改变C点的位置，再次测量∠ACB

和∠AOB，这个关系还成立吗？改变B点的位置，再次测量∠ACB

和∠AOB，这个关系还成立吗？探究猜想同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．分析为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会出现三种情况：在圆周角的一边上在圆周角内在圆周角外证明（1）折痕在圆周角的一边上∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A证明（2）折痕在圆周角内圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（1）的结果，有证明（3）折痕在圆周角外圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

什么是圆周角？怎么证明圆周角定理？圆周角练习如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4∠5=∠8∠2=∠7∠3=∠6方法点拔：由同弧来找相等的圆周角练习求圆中角α的度数．35°120°练习如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？答案：∠ACB=2∠BAC．练习如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角，若∠BCD=25°，则∠AOD=

_______．130°练习如图，AB是⊙O的直径，∠A=30°，则∠BOD=_____．60°练习在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A．提示：连接AC

答案：50°思考题如图，在⊙O中，AB为直径，

，弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E．求证：BE=EC．提示：连接BC等弧对等角基于圆周角定理，我们很容易得到如下推理：同弧或等弧所对的圆周角相等

等弧对等角的具体含义是什么？等弧对等角练习如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．60°120°练习如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，∠BDC=____．60°直径对直角如果圆周角定理中的圆弧变成了半圆，就会有如下推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角反过来，也成立90°的圆周角所对的弦是直径直径对直角的具体含义是什么？怎么证明？直径对直角例题如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．解：连接OD，AD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，BC=

=8（cm）例题如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD．∴AD=BD．在Rt△ABD中，例题求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，且

，求证：△ABC为直角三角形.

证明：以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=

×180°=90°.∴△ABC为直角三角形.练习如图，已知△ABC内接于圆O，AB=AC，∠A=36°，CD是圆O的直径，求∠ACD的度数．答案：18°．总结：看到直径就要想到直角．知识回顾圆周角定理及其推论是什么？半圆（或直径）所对的圆周角是直角90°的圆周角所对的弦是直径.

同弧或等弧所对的圆周角相等

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．知识回顾判断正误：1．同弧或等弧所对的圆周角相等（）2．相等的圆周角所对的弧相等（）3．90°圆周角所对的弦是直径（）4．直径所对的角等于90°（）

圆内接多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆内接多边形多边形的外接圆圆内接四边形如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆．圆内接四边形的四个角之间有什么关系？对角互补圆内四边形对角互补猜想：圆内四边形对角互补证明：∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°圆的内接四边形的对角互补

什么是圆内接多边形？怎么证明圆内接四边形对角互补？圆内接四边形如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______，∠B+∠ADC=_______；若∠B=80°，则∠ADC=____．练习180°180°100°练习四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100°，则∠B=______，∠D=______.

50°130°练习四边形ABCD内接于⊙O，∠A:∠C=1:3，则∠A=_____．45°练习若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（

）A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶3C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1B练习如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是 上的一点，则∠APB=________．120°练习如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD=130°，则∠BCD的度数是______．115°练习如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BAD及∠BCD的度数．答案：50°，130°练习如图，已知四边形ABCD内接于圆O，点O在∠D内部，∠OAD+

∠OCD=50°，则∠B=______．130°提示：连接AO练习如下图左，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ABD=30°，则∠BCD的度数为多少？答案：120°练习如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于E、F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=______．40°练习梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B=75°，则∠C=_____．75°圆的内接梯形一定是______梯形．等腰练习已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形并且ABCD是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．提示：证明∠A=∠B即可．练习1.判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：练习2.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么?练习3.如图，OA,OB,OC,都是

O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.练习4.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.练习5.如图，四边形ABCD内接于

O，E为CD延长线一点.若∠B=110°，∠ADE的度数.思考题已知：△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上的点（不与A，C重合），延长BD到E．求证：AD的延长线平分∠CDE．提示：圆内接四边形的外角等于内对角；同弧所对圆周角相等．思考题如图⊙O

与⊙O

都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O

交于点C，与⊙O

交于点D．经过点B的直线EF与⊙O

交于点E，与⊙O

交于点F．求证：