行列式及其应用论文

PAGEI目录1.引言 22.行列式的概念 22.1排列与逆序 22.2n阶行列式的定义 22.3行列式的基本性质 32.4行列式按行（列）展开定理 42.5重要公式与结论 52.6范德蒙德行列式的性质 63.行列式的若干应用 63.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用） 63.2行列式在初等代数中的几个应用 73.2.1用行列式分解因式 83.2.2用行列式证明不等式和恒等式 83.3.行列式在解析几何中的几个应用 83.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） 83.3.2用行列式表示三角形面积 83.3.3用行列式表示直线方程 94.范德蒙德行列式的若干应用 104.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用 104.2范德蒙德行列式在微积分中的应用 104.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 124.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用. 12结论 13致谢 14PAGE1行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则TheDeterminantsandTheirApplicationsAbstract:Thedeterminantisoneoftheelementarytoolsinlinearalgebra.Wefirstintroducethecorrespondingconceptionsofthedeterminants,suchasthedefinition,theproperties,theordinaryformulasandconclusions,thenwediscussindetailtheapplicationsofthedeterminantsinlinearequations,elementaryalgebra,andanalyticgeometryandsoon,wealsodiscusstheapplicationsoftheVandermondedeterminantincalculusandvectorspace.Finallywesummarizetheadvantagesofthedeterminants.Keywords:Determinant;Vandermondedeterminant;Cramerrule（6）将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.（7）分块行列式的值等于其主对角线上两个子行列式的值的乘积.例2.3.1（1）设是矩阵,为矩阵,且，,求?（2）设是矩阵,,把按列分块为,其中是的第列,求.（3）设是方程的三个根,求行列式?解（1）.（2）,对于,第一列和最后一列对应元素成比例,故其值为零,而.（3）由根与系数的关系知,于是.2.4行列式按行（列）展开定理定义4在阶行列式中,把元所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元的余子式,记作.,叫做元的代数余子式.引理1一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和;推论3行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即或例2.4.1设,求,其中为元素,的代数余子式.解.例2.4.2设阶行列式,求中所有元素的代数余子式之和.解中所有元素的代数余子式,即中的所有元素.而中的所有元素的代数余子式之和,即的所有元素之和为2.5重要公式与结论（1）设为阶方阵,则(或)表示对应的行列式,记为（“”,”’”均表示转置）（2）设方阵可逆,则（3）设为的伴随矩阵,为的代数余子式.,则.（4）,(为阶方阵).（5）,其中为阶方阵,为阶方阵.（6）范德蒙德（Vandermonde）行列式2.6范德蒙德行列式的性质利用行列式的性质容易推得：（1）若将范德蒙德行列式逆时针旋转,可得：（2）若将范德蒙德行列式顺时针旋转,可得：（3）若将范德蒙德行列式旋转,可得：3.行列式的若干应用3.1行列式在线性方程组中的一个应用线形方程组克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零。即那么，方程有唯一解：利用行列式求解元线性方程组得,其中例3.1.1设曲线通过四点,求系数.解把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组其系数行列式是一个范德蒙德行列式,,而因此按克拉默法则,得唯一解.即曲线方程为.3.2行列式在初等代数中的几个应用3.2.1用行列式分解因式例3.2.1.1分解因式.解原式.3.2.2用行列式证明不等式和恒等式例3.2.2.1已知,求证.证明令,则.例3.2.2.2已知求证.证明令,则.3.3.行列式在解析几何中的几个应用3.3.1用行列式表示公式设函数在的某一领域内有定义,在处有阶导数,则有3.3.2用行列式表示三角形面积例3.3.2.1已知平面中不共线的三点，由这三点构成的三角形面积为.证明如下图所示令,则因此有可以看出的大小与无关.现在取即.则有即,得证.3.3.3用行列式表示直线方程例3.3.3.1直线方程通过两点和的直线的方程为.证明由两点式,我们得直线的方程为.将上式展开并化简,得,此式可进一步变形为此式为行列式按第三行展开所得结果.原式得证.4.范德蒙德行列式的若干应用4.1范德蒙德行列式在行列式计算中的应用例4.1.1求解把上式等号右边的行列式的最后一行依次与前面的行交换,共交换3次,得此为4阶范德蒙德行列式,得.4.2范德蒙德行列式在微积分中的应用例4.2.1确定常数使.当时为最高阶的无穷小,并给出其等价表达式.解对的各项利用泰勒公式,有当时,若最高阶无穷小在6阶以上,则有方程组其系数行列式为范德蒙德行列式,由于.故以为未知数的方程组只有零解.;从而.这显然不合题意.故以下考虑当时,最高阶无穷小为6阶的情形.令,这等价于此时为未知数的线性方程组,其系数行列式为范德蒙德行列式方程组有唯一一组依赖于的解：,从而在的领域内的最高阶无穷小,有下述形式的表达式：例4.2.2设至少有阶导数,对某个实数有证明.其中表示证明由已知条件,要证明,只要将写成与的线性组合即可.利用泰勒公式其中.这是关于的线性方程组.其系数行列式为后一行列式为范德蒙德行列式,其值为,故,于是可从方程组(1)把写成与的线性组合.我们只要证明即可.事实上,设，于是在此式中,分别令和令.则得4.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用例4.3.1设是数域上的维向量空间,任给正整数.则在中存个向量,其中任取个向量都线性无关.证明因为,所以只须在中考虑即可.取令.则是范德蒙德行列式,且.所以线性无关.4.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用例4.4.1设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值,则（1）与可交换的的线性变换都是的线性组合,这里为恒等变换.（2）线性无关的重要条件为,这里.证明（1）设是与可交换的线性变换,且则是的不变子空间,令且.则由以下方程组（*）因为方程组（*）的系数行列式是范德蒙德行列式,且所以方程组（*）有唯一解,故是的线性组合.（2）充分性:因为，所以并且,所以是可逆矩阵.又因为是的一组基，线性无关.必要性:设是分别属于的特征向量,则构成的一个基,因而有.若.则是的属于的特征向量,故结论成立.若存在使，不防设全不为零.而.因而有.则利用范德蒙德行列式可知有一个阶子式不为零,所以.从而.又因为线性无关,所以线性无关,矛盾.从而这里.结论在我们计算行列式时，可以根据行列式的性质进行化简繁杂的行列式，熟悉掌握某些特殊行列式的运用,比如范德蒙德行列式，若注意到行列式的行（列）含有从高到低或从低到高的幂次,可以考虑使用范德蒙德行列式.在解决线性方程组时,我们可以考虑克拉默法则的应用,在某些证明题中我们也可以利用行列式进行证明,只要我们熟练掌握行列式在数学中的应用方法,可以帮助我们解决好多繁杂的问题,由于行列式本身运算的简便性及可移植性,使得行列式的应用成为未来的研究领域.参考文献:[1]同济大学数学系著.工程数学线性代数[M].高等教育出版社,2003.[2]同济大学数学系著.线性代数附册学习辅导与习题全解[M].高等教育出版社,2003.[3]华东师范大学数学系著.数学分析[M].高等教育出版社,2001.[4]邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉大学出版社,2001.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993.[6]吴良森,毛羽辉,宋国栋,魏木生.数学分析习题精解[M].科学出版社,2002.[7]毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].湖南大学出版社,1987.[8]杨儒生,朱平天.线性代数习题集[M].江苏教育出版社,1996.[9]王贵保.泰勒公式的行列式表示与应用[J].张家口师专学报,2003,19(3):150-153.致谢衷心感谢我的指导老师程智