2023新教材高中数学课时分层作业31对数的运算新人教A版必修第一册

课时分层作业(三十一)对数的运算一、选择题1．eq\f(log29,log23)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．eq\f(3,2)D．eq\f(9,2)B[原式＝log39＝log332＝2log33＝2．故选B．]2．已知3a＝2，则log38－2log36＝()A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1A[∵3a＝2，∴a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2．故选A．]3．若lgx－lgy＝a，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)等于()A．3aB．eq\f(3,2)aC．aD．eq\f(a,2)A[∵lgx－lgy＝a，∴lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgx－3lgy＝3a．故选A．]4．(多选)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是()A．logax2＝2logaxB．logax2＝2loga|x|C．loga(xy)＝logax＋logayD．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|AC[∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC．]5．已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则eq\f(x,y)的值为()A．1B．4C．1或4D．eq\f(1,4)或4B[由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，所以(x－2y)2＝xy，即x2－5xy＋4y2＝0，所以(x－y)(x－4y)＝0，所以eq\f(x,y)＝1或eq\f(x,y)＝4，又x－2y>0，x>0，y>0，所以eq\f(x,y)>2，所以eq\f(x,y)＝4．故选B．]二、填空题6．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝________．1[lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1．]7．若logab·log3a＝4，则b＝________．81[∵logab·log3a＝4，∴eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝4，即lgb＝4lg3＝lg34，∴b＝34＝81．]8．计算：log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________．－12[原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2·lg3·lg5)＝－12．]三、解答题9．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))；(4)lgeq\f(\r(x),y2z)．[解](1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz．(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz．(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz．(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz．10．计算：(1)eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg50－lg40)；(2)lgeq\f(1,2)－lgeq\f(5,8)＋lgeq\f(5,4)－log92·log43．[解](1)原式＝eq\f(lg\f(2×5,8),lg\f(50,40))＝eq\f(lg\f(5,4),lg\f(5,4))＝1．(2)法一：原式＝lgeq\f(\f(1,2),\f(5,8))＋lgeq\f(5,4)－eq\f(lg2,lg9)×eq\f(lg3,lg4)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)×\f(5,4)))－eq\f(lg2,2lg3)×eq\f(lg3,2lg2)＝lg1－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)．法二：原式＝(lg1－lg2)－(lg5－lg8)＋(lg5－lg4)－eq\f(lg2,lg9)×eq\f(lg3,lg4)＝－lg2＋lg8－lg4－eq\f(lg2,2lg3)×eq\f(lg3,2lg2)＝－(lg2＋lg4)＋lg8－eq\f(1,4)＝－lg(2×4)＋lg8－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)．1．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N)))，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至5000，则C大约增加了(附：lg2≈0.3010)()A．20% B．23%C．28% D．50%B[将信噪比eq\f(S,N)从1000提升至5000，C大约增加了eq\f(Wlog21＋5000－Wlog21＋1000,Wlog21＋1000)＝eq\f(log25001－log21001,log21001)＝eq\f(\f(lg5001,lg2)－\f(lg1001,lg2),\f(lg1001,lg2))≈eq\f(lg5,3)＝eq\f(lg\f(10,2),3)＝eq\f(1－lg2,3)≈0.233，所以C大约增加了23%．故选B．]2．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么()A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝acC．eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b) D．eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)AD[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝2，因为eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝eq\f(log6k,log9k)＋eq\f(log6k,log4k)＝eq\f(logk9,logk6)＋eq\f(logk4,logk6)＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；对于选项C，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log4k)＋eq\f(1,log6k)＝2logk4＋logk6＝logk96，eq\f(2,c)＝eq\f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq\f(2,c)≠eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)，即C错误；对于选项D，eq\f(2,b)－eq\f(1,a)＝eq\f(2,log6k)－eq\f(1,log4k)＝2logk6－logk4＝logk9，eq\f(1,c)＝eq\f(1,log9k)＝logk9，故eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)，即D正确．故选AD．]3．已知a2＝eq\f(16,81)(a>0)，则logeq\s\do6(eq\f(2,3))a＝________．2[由a2＝eq\f(16,81)(a>0)得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\s\do6(eq\f(2,3))eq\f(4,9)＝logeq\s\do6(eq\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝2．]4．已知函数f(x)＝alnx＋blgx＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＝4，则f(2021)＝__________．0[∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＝alneq\f(1,2021)＋blgeq\f(1,2021)＋2＝－aln2021－blg2021＋2＝4，∴aln2021＋blg2021＝－2．f(2021)＝aln2021＋blg2021＋2＝－2＋2＝0．]甲、乙两人解关于x的方程log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根eq\f(1,4)，eq\f(1,8)；乙写错了常数c，得到根eq\f(1,2)，64．求原方程的根．[解]原方程可变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0，∵甲写错了常数b，得到的根为eq\f(1,4)和eq\f(1,8)