二面角的练习和答案

.PAGE.二面角复习【根底训练】〔1〕正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为____；〔2〕将∠A为60那么二面角A-BD-C的余弦值是______；〔3〕正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1所成的为30°，那么二面角C1—BD1—B1的大小为______；〔4〕从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，那么二面角B-PA-C的余弦值是______；〔5〕二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，假设AB=AC=BD=1，那么CD的长______；〔6〕ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，那么面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为______。【例题选讲】：PBαCAEFD例1.空间三条射线CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=600PBαCAEFDDαCBAH例2.如图：Rt∠ABC中，斜边AB在平面α，Cα,AC、BC与α所成角分别为450和30DαCBAH例3.如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。BACA1B1C1D例4.正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为a，D为CC1的中点，过A、BBACA1B1C1D例5.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。例6矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．【稳固练习】1.如图1—122，山坡的倾斜度〔坡面与水平面所成二面角的度数〕是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？2．：如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．求P到AB的距离．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C4.如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF与底面A15.：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB与平面CPD相交BABACA1B1C1D6．如图，正方体AC1中，O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。〔1〕求异面直线B1O与AM所成角的大小。〔2〕求二面角B1—MA—C的正切值。〔14分〕7．在正方体AC1中，E为BC中点〔1〕求证：BD1∥平面C1DE；〔2〕在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE；〔3〕求二面角B—C1D—E的余弦值。〔14分〕【参考答案】〔答：〕〔答：〕〔答：〕〔答：〕〔答：2〕〔答：〕PBαCAEFD解：过PC上的点D分别作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连EF，∴∠EDF为二面角B-PC-APBαCAEFD∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=，解：过点C作CD⊥α于D，连AD、BD，∴∠DAC和∠CBD分别为AC、BC与α所成角，即∠DAC=450，∠CBD=300，过点D作DH⊥AB于H，连CH，∴CH⊥AB，即∠CHD为平面ABC与α所成角，设CD=a，∴AC=，BC=2a，AB=，CH=，∠CHD=600，即为平面ABC与α所成的角。〔∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，那么PF为面PCD与面PAB的交线……〕这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的"变〞与"不变〞．如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，那么折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变．但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直．由特征〔2〕可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角．另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了可能．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，解：CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3〔米〕．答：沿直道前进100米，升高约43.3米．注：在解题中要特别注意书写规．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．解：在β作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距离为20cm．分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1略解：如图10．在面BB1CC1，作EH⊥B1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱．在平面A1B1C1D1，作HK⊥GB1那么∠HKE为所求二面角的平面角．在平面A1B1C1D1，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt又在Rt△EKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．解：因为AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．所以AB∥平面CPD．又P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．因为AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以AB∥l．过P作PE⊥AB，PE⊥CD．因为l∥AB∥CD，因此PE⊥l，PF⊥l，所以

∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因为PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EF=BC=a．在△EFP