2022-2023学年黑龙江省大庆市学高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省大庆市高一下学期期中数学试题一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.【详解】.故选：C2．已知向量，，，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】由题意，得，所以，解得，所以.故选：C.3．若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（

）A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于，，，则，即，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D．4．在中，角的对边分别为，若，则（

）A． B． C．： D．【答案】D【分析】由题知，再根据求解即可.【详解】解：因为在中，，所以，，所以，由正弦定理得故选：D5．已知复数z满足，则等于（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据复数的除法运算可求得，再结合的周期性运算求解.【详解】由题意可得：，可得：，则故．故选：B．6．在中，若，则点G是的（

）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【分析】化简已知得，即得解.【详解】因为，所以，化简得，故点G为三角形ABC的重心故选：D【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出的值，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由向量，，可得，故向量在方向上的投影向量为，故选：D8．设△的三边长为，，，若，，则△是（

）．A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设，△的内切圆半径为r，如图所示，

法一：∴①；②.①÷②，得：，即．于是，，，从而得或，∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，

，从而得．又，代入①式，得，即，上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，∴△为等腰直角三角形．（2）当时，易得．代入②式，得，此式恒成立，综上，△为直角三角形．法二：利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.∴③；④.由③和④得：，即，，因为为三角形内角，∴或，即或．（1）若，代入③得：⑤又，将其代入⑤，得：．变形得，即⑥，由知A为锐角，从而知．∴由⑥，得：，即，从而，．因此，△为等腰直角三角形．（2）若，即，此时③④恒成立，综上，△为直角三角形．故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．对任一非零向量，是一个单位向量B．两个非零向量、，若，则与共线且反向C．若，则存在唯一实数使得D．若是三角形的重心，则【答案】ABD【分析】利用单位向量的定义可判断A选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；取，，可判断C选项；利用重心的几何性质可判断D选项.【详解】对于A选项，对任一非零向量，，即是一个单位向量，A对；对于B选项，两个非零向量、，若，则，可得，所以，，则，因为，所以，，故与共线且反向，B对；对于C选项，若，且，，对任意的，，则，C错；对于D选项，若为的重心，延长交于点，则为的中点，如图所示：则，因为，所以，，D对.故选：ABD.10．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（

）A．若，则只有一解B．若，则是锐角三角形C．若，则.D．若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】ACD【分析】对于A，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C，利用正弦定理直接进行判断；对于D，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.【详解】对于A，由正弦定理，则，因为，所以，只有一解，故A正确；对于B，若，则，则为锐角，无法确定，不一定是锐角三角形，故B错误；对于C，由正弦定理，又，可得，故C正确；对于D，已知，由正弦定理可得，因为，所以，即，则，解得或，所以，或，所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选：ACD.11．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；B．若是的外接圆圆心，则C．若，且，则D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.【答案】BD【分析】对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B，如图，设为的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C，当时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D.【详解】对于A，设，则，因为点在直线上，且，所以或，则或，所以或，解得或，所以或，故A错误；对于B，如图，设为的中点，则，则，故B正确；对于C，当时，，满足，则与不一定相等，故C错误；对于D，因为，所以，所以，同理可得，所以是的垂心，故D正确.故选：BD.12．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心【答案】ABC【分析】根据，计算可判断A；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断B；设中点为，进而结合正弦定理得可判断C；设中点为，根据题意计算得，进而得可判断D.【详解】解：对于A选项，因为，，又因为为的垂心，所以，所以，故正确；对于B选项，因为且，所以，整理得：，即，设为中点，则，所以三点共线，又因为，所以垂直平分，故，正确；对于C选项，由正弦定理得，所以，设中点为，则，所以，所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确；对于D选项，因为，设中点为，则，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误.故选：ABC三、填空题13．若为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为．【答案】【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.【详解】因为为纯虚数，所以，，解得.故答案为：.14．边长为的正三角形中，为的中点，在线段上且，则．【答案】【分析】以为基底可表示出，由向量数量积定义和运算律可求得结果.【详解】，，.故答案为：.15．已知，且⊥，则．【答案】【分析】利用得到，可得，再通过倍角公式以及同角之间三角函数关系变形，然后“弦化切”即可得出答案。【详解】由，可得，则，即【点睛】本题综合考查了推出，同角之间三角函数关系，“弦化切”等基础知识，考查了计算能力，属于中档题。16．在中，过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是．【答案】【详解】试题分析：由题意可知，，，三点共线，故设，而，∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，故的最小值是．【解析】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）若三点共线，求实数的值；（2）若直线与直线垂直，求实数的值.【答案】（1）或或；（2）或.【分析】（1）由已知得到，由向量共线可构造方程求得；（2）根据向量垂直的坐标表示可构造方程求得.【详解】（1）由题意得：，，三点共线，，即，解得：或或；（2）由题意知：，，即，解得：或.18．已知，(1)求的值；(2)求与的夹角.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可【详解】（1）因为，，所以，，得，所以（2）因为，，所以，因为，所以，即与的夹角为19．已知向量，，记函数.(1)将化为形式，并求最小正周期T；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据余弦和角公式、二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据三角函数周期公式求得最小正周期；（2）利用三角函数整体代换法直接求解值域即可.【详解】（1），所以最小正周期.（2）当时，，所以，所以，即函数在区间上的值域为.20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据同角的三角函数关系式中的商关系，结合两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可；（2）根据三角形内角平分线的性质，结合三角形面积公式、余弦定理进行求解即可.【详解】（1），又，则，即，

又，则；（2）由BD平分得：则有，即

在中，由余弦定理可得：又，则联立

可得解得：（舍去）

故.21．记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．【详解】（1），由倍角公式得，由余弦定理，，化简得，则，由，得.（2）由正弦定理得︰，∴，，，，由，，∴，即（当且仅当时，等号成立），从而周长的取值范围是22．已知函数的部分图象如图所示，A，B分别为的图象与y轴，x轴的交点，C为图象的最低点，且，，．(1)求的解析式；(2)若函数（，且），讨论在上的零点个数．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据，可求得及周期，从而可得，代入可得，即可求解；（2）在上的零点个数即为函数与在的交点个数，作出函数的图象，再结合图象分类讨论，从而可得出答案.【详解】（1）由可得，，所以，由可得，由可得，代入可得，即，因为，结合图象可得，所以；（2）由（1）可得，令，即，故在上的零点个数可看作是函数与在的交点个数，作出的图象，如图012020①若时，由图可知，当，即时，函数与在有个交点，即在上有个零点，当，即时