2022-2023学年湖北省鄂西南三校高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省鄂西南三校高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.【详解】由题可得，，所以，且，，.故选：B.2．设，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.【详解】由得：，，.故选：A.3．已知向量，且，则实数=A． B．0 C．3 D．【答案】C【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.【解析】向量的坐标运算.4．如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（

）

A．面积为的矩形 B．面积为的矩形C．面积为的菱形 D．面积为的菱形【答案】C【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.【详解】，所以，故在原图中，，，所以四边形为菱形(如图所示)，，则原图形面积为.

故选：C.5．已知函数的图象过定点P，且角的终边经过点P，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得点，再利用三角函数的定义即求.【详解】∵函数，令，则，∴函数的图象过定点，又角的终边经过点P，∴.故选：A.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，即，所以，则，所以.故选：D7．“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（

）A． B．△ABC周长为C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为【答案】B【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可.【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径，即半径，故D错误；对于A：由正弦定理，可得，故A错误；对于B、C：由题意可得：，解得，因为，则，可知为锐角，可得，余弦定理，即，解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误；故选：B.8．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，结合题意得，结合即得解.【详解】，因为，所以，又，所以．故选：B．二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（

）A． B．的虚部为－2C．在复平面内对应的点在第四象限 D．的共轭复数为【答案】BC【分析】根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案.【详解】，，故A不正确；的虚部为－2，故B正确；在复平面内对应的点在第四象限，故C正确；的共轭复数为，故D错误.故选：BC10．若函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在上为增函数【答案】BD【分析】由三角函数的恒等变换化简，再由三角函数的平移变换可判断A；求出可判断B、C；先判断在上为增函数，即可判断在的单调性.【详解】由题意，．函数的图象向右平移个单位长度可得到，故A错误；，所以函数的图象关于直线对称，故B正确，C错误；函数在上为增函数，时，，故函数在上单调递增，所以函数在上为增函数，故D正确．故选：BD．11．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若的面积为，则c的最小值为2C．若，，则的面积为D．若，，则满足条件的有且仅有一个【答案】BC【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．【详解】∵，∴由正弦定理可得，即，对于A选项，由余弦定理可得，∵，∴，故A错误；对于B选项，由题可知，∴，由余弦定理可得，∴，当且仅当时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；对于C选项，由题可知，由正弦定理得，∴∴的面积为，故C正确；对于D选项，由余弦定理可得，即，，解得或，故D错误．故选：BC．12．如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（

）A．当时，EP//平面 B．当时，取得最小值，其值为C．的最小值为 D．当平面CEP时，【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置判断D作答.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，，则点，对于A，，，，而，显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；对于B，，则，因此当时，取得最小值，B正确；对于C，，于是，当且仅当时取等号，C正确；对于D，取的中点，连接，如图，因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，连接，连接，连接，显然平面平面，因此，平面，平面，则平面，即有，而，所以，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题13．若，则________．【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式计算可得答案.【详解】.故答案为：.14．已知是单位向量，，若A，B，D三点共线，则实数__________．【答案】5【分析】先由已知求出，再由A，B，D三点共线，可得，从而列方程组可求出的值【详解】解：由，得，因为A，B，D三点共线，所以令，即，所以，解得，故答案为：515．如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小值，在中，由余弦定理能求出的值．【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：则即为的周长的最小值，在中，，，由余弦定理得：．故答案为：.16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．【答案】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.【详解】由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，由任意角的三角函数的定义，设，，则，，，∴，∴令，，则，当时，，，，∴存在，使，即，∴当时，的最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知向量，．（）若与垂直，求实数的值；（）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先可求出、，然后根据即可得出结果；（2）本题首先可求出、，然后根据题意得出，解得，最后排除与平行的情况即可得出结果.【详解】（1）因为，，所以，，因为与垂直，所以，即，解得.（2），，因为与的夹角为钝角，所以，即，解得，当与平行时，，解得，此时与夹角为，故实数的取值范围为.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA为点P到平面ABCD的距离，，，，点E、M分别在线段AB、PC上，其中E是AB中点，，连接ME.(1)当时，证明：直线平面PAD；(2)当时，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.（2）根据，求出三棱锥的高，然后利用体积公式即可.【详解】（1）取PD中点N，连接MN、AN，是的中位线，MN//CD，且，又AE//CD，且，四边形AEMN为平行四边形，ME//AN又平面PAD，平面PAD，//平面PAD.（2），P到平面ABCD的距离为3，点M到平面ABCD的距离为1，.19．如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）因为，所以，化简得；（2）因为，，，所以，由图可知，又因为、、三点共线，所以，所以，当，即时，取最小值.20．设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.21．在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为6，.(1)求角的大小；(2)若是边的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的周长以及余弦定理求得，进而求得.（2）利用向量运算、三角形的周长以及（1）求得，从而求得三角形的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理可得又由，可得，整理得，所以又因为，所以；（2）因为是边的中点，所以.即又，，解得.所以的面积.22．已知分别为三个内角的对边，且，(1)求；(2)若，求的取值范围；(3)若为的外接圆，若分别切于点，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由题目条件可证得,可得为直角三角形，可求出.（2）由数量积的定义可求得，设，则，令，则，判断出的单调性，即可得出答案.（3）用分别表示出，结合均值不等式即可求出答案.【详解】（1）因