第二章杆件的内力截面法

第二章杆件的内力截面法第1页，课件共40页，创作于2023年2月§5-1杆件的拉伸或压缩时的内力受力特点：力或合外力沿轴线方向变形特点：沿轴向伸长或缩短——直杆的轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩的概念计算简图压杆拉杆材料力学电子课堂第2页，课件共40页，创作于2023年2月二、轴力与轴力图a）假想地将构件沿截面m-m处一分为二；b)取其中任一部分为研究对象;c)由平衡条件FN——分布内力系的合力—轴力符号规定：拉为正(+)，压为负(-)求得内力外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。对变形体而言，力是定位矢量。1、轴力注意材料力学电子课堂第3页，课件共40页，创作于2023年2月2、轴力图用平行于杆轴线的坐标

表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为

轴力图

。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。解:1)AB段：3)CD段轴力图2)BC段：由平衡方程得得由平衡方程材料力学电子课堂由平衡方程得第4页，课件共40页，创作于2023年2月轴力图2)BC段：解:1)AB段：得由平衡方程材料力学电子课堂由平衡方程得第5页，课件共40页，创作于2023年2月1、用截面法求轴力时，取留下的一部分作受力图时，在切开的截面上建议假设正的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正（拉力）；FN值为负，说明轴力为负（压力）。或。2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式；并注上符号注意材料力学电子课堂第6页，课件共40页，创作于2023年2月§5-2扭转的概念.扭矩与扭矩图一、扭转的概念1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。计算简图材料力学电子课堂第7页，课件共40页，创作于2023年2月二、外力偶矩的计算已知：P—传递的功率,（kw）

n—转速,（r/min）求：外力偶矩Me(N·m)由此求得外力偶矩：若传递功率单位为马力（PS)时,由于1PS=735.5N·m/sMeMe解：材料力学电子课堂第8页，课件共40页，创作于2023年2月三、扭矩与扭矩图1、扭矩扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）T称为截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。材料力学电子课堂注意第9页，课件共40页，创作于2023年2月2、扭矩图解：各轮上的外力偶矩：在BC段内，假想以截面1-1将轴分成两部分，取左半部分为研究对象例：已知：传动轴，n=300r/min，PA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW。试画出轴的扭矩图。同理，CA段：AD段：扭矩图材料力学电子课堂第10页，课件共40页，创作于2023年2月§5-3弯曲的概念.剪力与弯矩受力特点：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂直于杆件轴线方向作用横向力。变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。一、弯曲的概念以弯曲变形为主要变形的杆件。梁材料力学电子课堂第11页，课件共40页，创作于2023年2月对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲（或平面弯曲）。非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称为非对称弯曲。材料力学电子课堂纵向对称面对称轴轴线变形后的轴线第12页，课件共40页，创作于2023年2月二、梁的计算简图

简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座，如右图a所示。

悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如右图b所示。外伸梁：一端伸出支座之外的梁，如右图c所示。

静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。跨：梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。材料力学电子课堂第13页，课件共40页，创作于2023年2月三、弯曲内力

1、由梁的静力平衡方程求两端的支座反力FA、FB2、用假想截面m-m将梁分为两部分，并以左段为研究对象；FS称为横截面m-m上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。M称为横截面m-m上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。

FSMFSM材料力学电子课堂y第14页，课件共40页，创作于2023年2月剪力与弯矩的符号规定：弯矩：下凸为正，反之为负剪力：

“左上右下”为正，反之为负剪力对所取梁段内任意一点的矩为顺时针，为正剪力，反之为负（顺为正，逆为负）。固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。材料力学电子课堂第15页，课件共40页，创作于2023年2月解：1.求支座反力FSDMD得2.求截面1－1上的内力同理,对于C左截面：MC右FSC右对于C右截面：平衡方程求解内力的正负号表示假设方向与实际方向关系。在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。材料力学电子课堂例1如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。第16页，课件共40页，创作于2023年2月求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。建议第17页，课件共40页，创作于2023年2月解：1.求支反力2.求截面C的内力注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力3.求距A为x处截面的内力MCFSCMxFSx材料力学电子课堂例2如图所示的悬臂梁，求截面C及距A端为x处截面的内力。第18页，课件共40页，创作于2023年2月§5-4剪力图和弯矩图一、剪力、弯矩方程若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩,可以表示为x的函数，称为剪力和弯矩方程，即三、根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图的步骤第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出FS(x）和M(x)方程。在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点，对应的截面称为控制截面。

第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在坐标的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明的数值。二、剪力图及弯矩图

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分别称为剪力图和弯矩图第19页，课件共40页，创作于2023年2月例3试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力，由得2.列剪力、弯矩方程

在AC段内，在BC段内集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。材料力学电子课堂第20页，课件共40页，创作于2023年2月例4受均布载荷作用的简支梁，如下图所示，作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力2.列剪力、弯矩方程FAyFByFAyFSM材料力学电子课堂3.求控制截面处的剪力和弯矩4.作剪力图和弯矩图在梁段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。可见第21页，课件共40页，创作于2023年2月例5如图示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力，由2.求内力在AC段内在BC段内得3.画剪力图和弯矩图FAyFByFS1M1FAyFS2M2FBy在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为:而剪力图无改变材料力学电子课堂第22页，课件共40页，创作于2023年2月注意x取值范围等号的取法：1.在集中力作用处(剪力图中有突变)，剪力方程中x的取值没有等号；2.在集中力偶作用处(弯矩图中有突变)，弯矩方程中x的取值没有等号；3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有“＝”,即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。(0≤x≤a),(a≤x≤l)材料力学电子课堂第23页，课件共40页，创作于2023年2月集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。总结材料力学电子课堂第24页，课件共40页，创作于2023年2月

§5-5剪力、弯矩及载荷集度间的微分关系规定：分布载荷q向上为正。解：考虑dx段的平衡第二式中最后一项为高阶微量，可以略去，故得上式再对x一次微分，得第25页，课件共40页，创作于2023年2月

以上三式给出了q(x)、FS(x)、M(x)间的导数关系。它表明：1、剪力图上某点处的斜率等于梁在该点处荷载集度q(x)的大小。2、弯矩图上某点处的斜率等于梁在该点处剪力F(x)的大小。3、弯矩图上某点处的斜率变化率等于梁在该点处的分布载荷集度。4、利用导数关系，经过积分得

以上两式表明，在x=x2和x=x1两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。第26页，课件共40页，创作于2023年2月梁段上无荷载作用，即q(x)＝0时，剪力FS(x)=C(常数），剪力图为一条水平直线；xFS(x)oxoM(x)弯矩M(x)＝Cx

＋D,即弯矩为x的一次函数，弯矩图为一斜直线，当FS

>0时，弯矩图(/)；当FS

<0时，弯矩图(\)。xFS(x)oq(x)、FS(x)、M(x)间图三者间的关系xoM(x)第27页，课件共40页，创作于2023年2月剪力FS(x)为x的一次函数,剪力图为斜直线，而弯矩M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。若q(x)=常数，当q

<0（即q(x)为向下的均布荷载）,剪力图为一向右下方倾斜的直线，M(x)图为一向上凸的二次抛物线。当q

>0,剪力图为一向右上方倾斜的直线，M(x)图为一向下凸的二次抛物线。xFS(x)oxFS(x)oxoM(x)xoM(x)第28页，课件共40页，创作于2023年2月若某截面的剪力

，根据，该截面的弯矩为极值。在集中力F作用处，剪力图有突变,突变值等于集中力F的大小，弯矩图为折角点；在集中力偶M作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变值等于力偶矩M。FSmax出现的地方：①集中力F作用处；②支座处；Mmax出现的地方：①剪力FS=0的截面；②集中力F作用处；③集中力偶M作用处。第29页，课件共40页，创作于2023年2月利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1．求支座反力；2．分段确定剪力图和弯矩图的形状；3．求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4．确定和。第30页，课件共40页，创作于2023年2月一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置表5-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载无荷载集中力FC集中力偶mC上凸的二次抛物线在FS=0的截面一般斜直线或在C处有突变F在C处有尖角或在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面向右下倾斜的直线

水平直线

第31页，课件共40页，创作于2023年2月例6如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力2.画剪力图在AC段，q=0，该段剪力图(-)在AB段，q=C<0，该段剪力图(\)在A点，因有反力FA，剪力图有突变，突变值为=FA。3.画弯矩图在CA段，q=0，FS＜0，弯矩图(\)；在AB段，q=C<0,弯矩图(⌒)；在FS=0的截面处，M图取极值；在A点，因有力偶m，弯矩图有突变，突变值为=m

。第32页，课件共40页，创作于2023年2月例7如图示一外伸梁，试作出梁的剪力图和弯矩图。第33页，课件共40页，创作于2023年2月例9已知简支梁的剪力图如图所示。作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。

第34页，课件共40页，创作于2023年2月例8试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

第35页，课件共40页，创作于2023年2月

※§5-7平面刚架与平面曲杆的弯矩内力静定刚架:凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架的内力:剪力、弯矩、轴力平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节