第二章几何与代数法模型

第二章几何与代数法模型第1页，课件共23页，创作于2023年2月

椅子在不平地面放稳模型第2页，课件共23页，创作于2023年2月问题提出把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可使四只脚同时着地，放稳了。这个看来与数学无关的现象能用数学语言给以表述，即建立有关数学模型，并用数学方法来证明吗?第3页，课件共23页，创作于2023年2月模型假设假设1.椅子四条腿等长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形。假设2.地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面，假设3.对于椅脚间的距离和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

第4页，课件共23页，创作于2023年2月假设说明假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。假设3是要排除这样的情况:地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，致使三只脚无法同时着地。第5页，课件共23页，创作于2023年2月模型构成中心问题：把椅子四脚同时着地的条件和结论用数学语言表示。即用恰当的变量表示椅子的位置；并把椅脚着地用数学符号表示出来。

第6页，课件共23页，创作于2023年2月首先要用变量表示椅子位置注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度

这一变量表示椅子的位置。第7页，课件共23页，创作于2023年2月y

B

B’

A’

C

Ax

O

C’

D’

D

图1变量表示椅子的位置第8页，课件共23页，创作于2023年2月

其次用数学符号表示椅脚着地状况如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么椅脚着地状况就是该距离为零。该距离是椅子位置变量

的函数。第9页，课件共23页，创作于2023年2月距离函数的设置虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记A、C两脚与地面距离之和为f(

)，B、D两脚与地面距离之和为g(

)显然，f(

)、g(

)

0。第10页，课件共23页，创作于2023年2月距离函数的分析由假设2，f和g都是连续函数。由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的

,f(

)和g(

)中至少有一个为零。当

=0时不妨设g(0)=0,f(0)>0.第11页，课件共23页，创作于2023年2月椅子平稳着地的数学模型

改变椅子位置使四脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题:已知f(

)和g(

)是

的连续函数，对任意

,f(

)g(

)=0，且g(0)=0，f(0)>0。则存在

0，使f(

0)=g(

0)=0。这就是椅子平稳着地的数学模型第12页，课件共23页，创作于2023年2月

易知，引入了变量

和函数f(

)、g(

)，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。第13页，课件共23页，创作于2023年2月模型证明模型有多种证明方法，这里介绍其中的一种。首先将椅子旋转90

(

/2)，对角线AC与BD互换。由g(0)=0和f(0)>0，可知g(

/2)>0和f(

/2)=0。令h(

)=f(

)-g(

)，则h(0)>0和h(

/2)<0.由f和g的连续性知，h也是连续函数,根据连续函数基本性质，必存在

0，(0<

0<

/2),使h(

0)=0，即f(

0)=g(

0)最后，因为f(

0)·g(

0)=0，所以f(

0)=g(

0)=0。第14页，课件共23页，创作于2023年2月评注

这个模型的巧妙之处在于：用一元变量

表示椅子的位置，用

的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90º并不是本质的。课后可以考虑四脚呈长方形情形由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验证就略去了

第15页，课件共23页，创作于2023年2月Fibonacci的生小兔问题模型第16页，课件共23页，创作于2023年2月问题与背景13世纪初，意大利的一位绰号为斐波那契(Fibonacci）的数学家伦纳德（1170~1250)在其《算盘书》的数学著作中提出一个有趣问题:假如养了初生的小兔一对，兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄)，试问一年后共有多少对兔子(如果生下的小兔都不死的话)?第17页，课件共23页，创作于2023年2月直接推算法我们来直接推算一下，第一个月:只有一对小兔。第二个月:小兔子未成熟不会生殖，仍只有一对。第三个月:这对兔子生了一对小兔，这里共有两对。第四个月:老兔子又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共有三对;如此下去，我们不难得出下面的结果:第18页，课件共23页，创作于2023年2月直接推算结果表从表中可知，一年后(第十三个月时)共有233对兔子，用这种办法推算，似乎有些"笨"，而且越往后越使人觉得复杂，有无简便方法呢?1123581321345589144233…兔子数(对)12345678910111213…月份数(n)第19页，课件共23页，创作于2023年2月裴波那契数列我们将表中兔子的对数用{Fn}表示，下标n表示月份数(这样兔子数可视为月份数的函数)。则{Fn}称为斐波那契数列，记{Fn}:1，1，2，3，5，8,13，21，34，…,且Fn称为斐波那契数。第20页，课件共23页，创作于2023年2月本问题的数学模型观察{Fn}，不难发现，第n+l个月时的兔子可分为两类:一类是第n个月时的兔子，另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔数恰好是第n-1个月时兔子数(它们到第n十l个月时均可生殖)。因此{Fn}之间有如下递推关系:Fn+1=Fn+Fn-1n=2，3,…F1=F2=1这就是本问题的数学模型,它是1634年(斐氏死后近四百年)数学家奇拉特发现的。第21页，课件共23页，创作于2023年2月数列的计算和性质由于该数学模型的发现，利用计算机进行简单的编程，就可计算出任意月份兔子的对数。由于人们继续对这个数列探讨，又发现了它的许多奇特的性质（可用归纳法证明）(l)Fm+n=Fn-1Fm十FnFm+1，（m、n为自然数）(2)Fn+1Fn-1-Fn2=(-1)n(3)Fn-kFm+k-FnFm=(-1)nFm-n-kFk

(4)Fn=第22页，课件共23页，创作于2023年2月斐波那契(Fibonacci)数列的应用由于{Fn}的越来越多的性质和应用