福建省龙岩市永定区2023-2024学年高二上学期暑期教学测试数学试题（Word版含答案）

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数学试卷

（考试时间：120分钟总分：150分）

注意事项：

1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。

3．答题结束后，学生必须将练习卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列1，，2，，4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（）

A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项

2．已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（）

A．B．C．D．

3．记是公差为4的等差数列的前n项和.若，则（）

A．4B．24C．30D．32

4．等比数列的前n项和为，已知，则（）

A．B．C．9D．10

5．已知数列的前项和满足，有结论：

①若，则；

②数列是常数列.

关于以上两个结论，正确的判断是（）

A．①成立，②成立B．①不成立，②成立

C．①成立，②不成立D．①不成立，②不成立

6．等差数列中，若，则n的值为（）

A．14B．15C．16D．17

(

高二数学

试卷第

1

页，共

3

页

)

7．已知是数列的前项和数列是公差为1的等差数列，则（）

A．480B．479C．291D．290

8．用［x］表示不超过x的最大整数，如,，数列满足,(),若，则的所有可能取值构成的集合为

A．B．C．D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知数列的前n项和是，则下列说法正确的有（）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则，，成等差数列

D．若是等比数列，则，成等比数列

10．已知等差数列的前项和为，，，则（）

A．B．

C．的最小值为D．的最大值为

11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）

A．等差数列一定是等差比数列

B．等差比数列的公差比一定不为0

C．若，则数列是等差比数列

D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

12．记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，点在函数的图像上，则下列结论正确的是（）

A．数列递增B．

C．D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．数列的前项和为，已知，且任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为．

14．在数列中，，且，则.

15．若成等差数列；成等比数列，则等于.

16．已知数列满足，数列的前n项和为，若，则k的最大值为．

四、解答题:共70分。第17题10分，第18题至第22题均12分/题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

18．已知等差数列满足：，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设等比数列满足，，求的前6项和.

19．已知数列满足，且．

(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

20．已知数列中，，，令.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前14项和.

21．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.

(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；

(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，

22．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.

已知数列的前n项和为，，且满足__________.

(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)设，数列{}的前n项和为.

（i）求；

（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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数学试卷参考答案：

1．D【详解】根据规律可得，令，可得，故16是该数列的第9项．故选：D.

2．B3．C4．D【详解】因为，可得，设数列的公比为q，则．所以．故选：D．

5．C【详解】由，得时，，

两式相减得：，

，故①成立，由以上可知，当时，，

当时，，即，即，只有当时，，此时数列是常数列，当时，，此时数列不是常数列，故②不成立，故选：C

6．B【详解】由等差数列下标和性质知：，，

因为，故，又，

故，所以.故选：B.

7．A8．B【详解】对两边取到数，整理得；

所以

由得，即数列为增函数，因为，所以；因此，其整数部分为0；，其整数部分为1；

故的所有可能取值构成的集合为.

9．ABC【详解】若，当时，,

时，，,，是等差数列，故A正确；若，当时，,，

时，，，是等比数列，B正确；

设等差数列的公差为，首项是,

，同理，因此则，，成等差数列，C正确；若等比数列的公比，则不可能成等比数列，D错误；故选：ABC.

10．ABD【详解】设等差数列的公差为，则，解得.

对于A选项，，A对；

对于B选项，，B对；

对于C选项，，故当或时，取最小值，C错；

对于D选项，，

故当时，取得最大值，D对.故选：ABD.

11．BCD【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；

若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；

若等比数列是等差比数列，则，

，所以D选项正确.故选：BCD

12．ABD【详解】由题意知，选项A：所以，故，

若存在，则有，即存在，

当时，，与矛盾，当时，由得，若，有，则或，

若与且矛盾；若时有，递推可得，与矛盾，

综上，不存在，所以，故数列递增，故A正确．

选项B：数列递增，，故，故，所以与同号，因为，所以，即．综上，，故B正确．

选项C：由选项B知，所以，即，故C错误．选项D：由题意，可视为数列的前n项和，因为，所以，

又递增，所以，故，即，故D正确．

故选：ABD.

13．【详解】试题分析：∵恒成立，∴，当时，，即，，当时，．

考点：等比数列的前n项和、恒成立问题．

14．【详解】因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以.故答案为：

15．/【详解】∵成等差数列，∴，

又∵成等比数列，∴，

又∵，∴，则，故答案为：.

16．43【详解】因为，

当时，则，两式相减得，即；

令，则，满足，综上所述：，．

则，所以，又∵，即，整理得，解得，

且，，所以k的最大值为43．故答案为：43.

【点睛】1.裂项相消的规律（1）裂项系数取决于前后两项分母的差．

（2）裂项相消后前、后保留的项数一样多．

2.数列与不等式的综合问题的常见题型数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．

17．【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，

故.。。。。。。。。。。。。。5分

（2）由（1）知，则，所以.。。。10分

18．【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，，

∴数列的通项公式为；6分

（2）由（1）知：，，

∴数列的公比，

∴的前6项和为12分

19．【详解】（1）证明：，所以，，

即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，

所以，，解得．6分

（2）解：，①

∴，②

①②，得

，所以，．12分

20．【详解】（1）当时，，又，得，由①

得②，①②两式相除可得，则，且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故6分

（2）当n为奇数时，；

当n为偶数时，，

.

所以数列的前14项和为

12分

21．【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和.

则，故.

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元6分

（2）设王先生每月还货额为元，则有

，

即，

故.

因为，故王先生该笔贷款能够获批12分

22．【详解】（1）证明:若选①，由得，

两式相减得，整理得，所以，

两式相减得，所以，所以是等差数列.…………2分

由得，所以，又，所以的公差，

则.…………4分

若选②.由