【解析】福建省莆田市仙游县第四道德中学2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

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一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．（2023八下·临沧期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．7，8，9

【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；

B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；

C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；

D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；

故选：B．

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

2．（2023八下·咸安期末）下列计算正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、原式，所以A选项错误；

B、原式，所以B选项正确；

C、原式，所以C选项错误；

D、原式，所以D选项错误.

故答案为：B.

【分析】掌握二次根式的运算性质是解题的关键，一般地，二次根式的乘法规定：；二次根式的加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，从而一一判断得出答案.

3．（2022九上·福州开学考）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）

A．中位数B．众数C．平均数D．方差

【答案】A

【知识点】常用统计量的选择

【解析】【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，

而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，

故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故答案为：A.

【分析】中位数是指将一组数据按大小顺序依次排列，把处于最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数不易受数据中极端数据的影响，故只需知道自己的分数和中位数就可以判断是否能进入前3名.

4．（2023八下·仙游期末）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）

A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣1

【答案】B

【知识点】一次函数图象与几何变换

【解析】【解答】解：直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为：y＝3x﹣1

故答案为：B.

【分析】根据上加下减的原则进行解答即可.

5．（2023·霞山模拟）下列判断错误的是（）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

D．四条边都相等的四边形是菱形

【答案】C

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；

B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项不符合题意；

C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项符合题意；

D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不符合题意．

故答案为：C

【分析】由平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定可得

6．（2023八下·涵江期末）如图，广场中心菱形花坛的周长是32米，，则、两点之间的距离为（）

A．4米B．4米C．8米D．8米

【答案】D

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD且相交于点O，

∵菱形花坛ABCD的周长是32米，∠BAD=60°

∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAC=30°，AD=8米

∴OD=AD=4（米），

∴AO=

∴AC=2OA=8.

故答案为：D.

【分析】连接AC、BD且相交于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAC=30°，AD=8米，由含30°角的直角三角形的性质可得OD，然后利用勾股定理可求得AO的值，进而得到AC.

7．（2023·汽开区模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

A．x2–3=（10–x）2B．x2–32=（10–x）2

C．x2+3=（10–x）2D．x2+32=（10–x）2

【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，

根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2.

故答案为：D.

【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立方程，据此判断即可.

8．（2023八下·涵江期末）如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象，则下列结论中错误的是（）

A．k＜0B．a＞0

C．b＞0D．方程kx+b=x+a的解是x=3

【答案】B

【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】∵一次函数y1=kx+b经过第一、二、三象限，

∴k＜0，b＞0，所以A、C正确；

∵直线y2=x+a的图象与y轴的交点在x轴的下方，

∴a＜0，所以B错误；

∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象的交点的横坐标为3，

∴x=3时，kx+b=x+a，所以D正确.

故答案为：B.

【分析】由一次函数y1的图象经过的象限可得k＜0，b＞0，据此判断A、C；根据直线y2的图象与y轴的交点在x轴的下方，可知a＜0，据此判断B；由两函数图象交点的横坐标可判断D.

9．（2023八下·仙游期末）如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：在Rt△ABF中，，

由折叠可知：AD=AF=BC=5，DE=EF，

∵BF=4，

∴CF=1，

∵CE+ED=CE+EF=3，

设CE为x，则EF长为（3-x）

在Rt△CEF中，，

解得：，

故答案为：A.

【分析】先根据勾股定理计算出AF长度，由折叠性质得AD=AF=BC，DE=EF，进而得到CF长度，设CE长为x，则EF长为（3-x），在三角形CEF中利用勾股定理列方程，求解即可.

10．（2023八下·仙游期末）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x+y=0，则把点A叫做“零点”，例如M(1，-1)，N(2，-2)都是“零点”．当-1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”，则的取值范围是（）

A．-3≤m≤9B．-9≤m≤3C．-9≤m≤-3D．3≤m≤9

【答案】B

【知识点】一次函数的图象；定义新运算

【解析】【解答】由题意得：当-1≤x≤3时，，直线y=2x+m上有“零点”，

∴直线y=2x+m与线段MN有交点，

∵，

∴当直线y=2x+m经过时，m=3，

当直线y=2x+m经过时，m=-9，

∴m的取值范围为：-9≤m≤3，

故答案为：B.

【分析】由题意得：当-1≤x≤3时，，直线y=2x+m上有“零点”，则直线y=2x+m与线段MN有交点，求出直线经过M、N两点时m的值即可.

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上.

11．（2023八下·仙游期末）化简：＝．

【答案】5

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】【解答】解：

故答案为：5.

【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可.

12．（2023八下·仙游期末）已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x图象上的两个点，则y1y2（填＞，＜或＝）．

【答案】＞

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x的比例系数k=-3＜0，

∴y随x增大而减小，

∵1＞-2，

∴y1＞y2，

故答案为：＞.

【分析】根据一次函数的比例系数k的符号，判断y随x的变化规律，即可判断出y1，y2大小关系.

13．（2023八下·仙游期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是的中点，连接，则的长为．

【答案】2.5

【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC=3，BO=OD=4，AO⊥BO，

，

∵O，E分别为AC和BC的中点，

∴，即：，

故答案为：2.5.

【分析】根据菱形的性质计算出AB的长度，再根据三角形中位线定理计算出OE的长度即可.

14．（2023八下·仙游期末）小明在计算方差时，使用公式，则公式中的x＝．

【答案】4

【知识点】方差

【解析】【解答】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：2、3、3、8；

∴，

故答案为：4.

【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可.

15．（2023八下·新罗期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．

【答案】76

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：设将延长到点，连接，

根据题意，得，．

，即

这个风车的外围周长是．

故答案为：76．

【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．

16．（2023八下·仙游期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，连接EF，则EF长的最小值为．

【答案】

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：当x=0时，，则B(0，3），故OB=3.

当y＝0时．，则x=-4，那么A（-4，0），故OA=4.

设，则.

①当P不与A、B重合，，

∴，

∵PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，x轴⊥y轴，

∴∠FPE=90°，

∴，

∵，

∴当

②当P在A点时，此时EF=OA=4，

③当P在B点时，此时EF=OB=3，

∵，

∴EF最小值为，

故答案为：.

【分析】经分析，P点可能在A点或在B点或在线段AB上（除去端点），那么EF会产生不同的情况，故需分类讨论，进而确定EF的最小值.

三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.

17．（2023八下·福州期末）计算：．

【答案】解：原式=

=2.

【知识点】实数的运算

【解析】【分析】分别化简各项，再作加减法.

18．（2023八下·仙游期末）已知：如图，E，F为中的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE∥CF．

【答案】证明：连接AC交BD于点O，连接AF，CE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，OA＝OC，

∵BE＝DF，

∴OB﹣BE＝OD﹣DF

即OE＝OF．

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF．

【知识点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】连接AC交BD于点O，连接AF，CE．根据平行四边形性质得OB＝OD，OA＝OC，即可推出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证.

19．（2023八下·仙游期末）已知直线l1和l2的表达式分别为y＝2x﹣3和y＝kx﹣5，这两条直线相交于点A（﹣2，n）．

（1）求n和k的值；

（2）若直线l3的表达式为y＝﹣6x﹣19，试说明：直线l1，l2，l3相交于同一个点．

【答案】（1）解：依题意，得

解得：

（2）解：由（1）得：直线l1与l2相交于点A（﹣2，﹣7）．

∵当x＝﹣2时，y＝﹣6x﹣19＝﹣6×（﹣2）﹣19＝﹣7，

∴直线l3也过点A（﹣2，﹣7），

∴直线l1，l2，l3相交于同一个点A（﹣2，﹣7），

【知识点】两一次函数图象相交或平行问题

【解析】【分析】（1）将点A（﹣2，n）分别代入y＝2x﹣3和y＝kx﹣5中，解方程组即可，求得n和k的值；

（2）根据直线l1和l2相交于点A（﹣2，-7），把x=-2，y=-7代入y＝﹣6x﹣19，即可判断直线l1，l2，l3相交于同一个点A（﹣2，-7）.

20．（2023八下·仙游期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，O为AC中点．

（1）用尺规完成基本作图：过O作AC的垂线l，分别交AD，BC于点E和F，连接CE，AF（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作图形中，猜想四边形AECF的形状，并证明你的猜想．

【答案】（1）解：如图，AC的垂线l即为所求；

（2）解：猜想：四边形AECF是菱形

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵O为AC中点，

∴AO=CO，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF，

∵ADBC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；

（2）根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得证.

21．（2023八下·仙游期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.判断的形状，并说明理由.

【答案】解：是直角三角形，理由如下：

由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴是直角三角形.

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】先根据勾股定理计算出的三边长度，再利用勾股定理判断的形状.

22．（2023八下·仙游期末）端午假期刚过，白塘龙舟队又开始新的一轮训练，为更加有效训练队员，白塘龙舟队决定公开招聘教练，经过笔试后筛选出甲、乙两位教练进行面试和体测，两人的成绩如表．

体测面试

甲9088

乙8492

（1）当体测成绩权重为6，面试成绩权重为4，请问甲、乙两人谁的成绩高？

（2）当体测成绩权重为a，面试和体测各有权重，并且权总和为10，请问当a取什么范围，乙成绩比甲高？

【答案】（1）解：甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），

所以甲的成绩高；

（2）解：若体测成绩的权重为a，则面积成绩的权重为（10﹣a），

根据题意，得：，

解得a＜5，

所以当a＜5时，乙成绩比甲高．

【知识点】加权平均数及其计算

【解析】【分析】（1）利用加权平均数的定义计算，再比较大小即可；

（2）根据题干：面试和体测各有权重，并且权总和为10，请问当a取什么范围，乙成绩比甲高，列不等式，求解即可.

23．（2023八下·福州期末）小林经营一家水果店，准备对店里的旺季水蜜桃开展一周的礼盒包装促销活动，其中8斤装的礼盒单价为60元，10斤装的礼盒单价为68元.若每斤水蜜桃的进价为5元，每个礼盒的包装成本为2元．预估这两种包装的水蜜桃礼盒均有顾客购买，且会售出30盒，其中8斤装的礼盒数不多于10斤装的礼盒数的一半．

（1）设8斤装的礼盒有x盒，这30盒水蜜桃售出的利润为y元，求y与x的关系式；

（2）在（1）的情况下，8斤装的礼盒数x为何值时这30盒水蜜桃售出的利润最大并求出利润的最大值：

【答案】（1）解：由题意可得，

y=（60-8×5-2）x+（68-10×5-2）（30-x）=2x+480

（2）解：由题意可得，x≤（30x），

解得x≤10，

由（1）知y=2x+480，

∵2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=10时，y有最大值，y最大=2×10+480=500．

答：x=10时这30盒水蜜桃售出的利润最大，利润的最大值为500元．

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【分析】（1）设8斤装的礼盒有x盒，则10斤装的礼盒有（30-x）盒，根据“利润=售价-成本”即可得出y与x的关系式；（2）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．

24．（2023八下·仙游期末）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象经过点

（1）求一次函数的解析式；

（2）无论取何值，一次函数（为常数，且）的图象必经过一个固定的点.

①求点的坐标；

②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：解：将A（3，0）代入y=mx-m+4

得3m-m+4=0

2m=-4

m=-2

∴一次函数的解析式为y=-2x+6

（2）解：①在y=mx-m+4中

y=（x-1）m+4

根据题意得x-1=0

x=1

则当x=1时，y=4

所以B（1，4）

②过点B作BC⊥x轴于点C

因为B（1，4）

∴BC=4

则C（1，0）

∴OC=1

∵A（3，0）

∴OA=3

∴AC=OA-OC=2

Rt△ABC中AB=

当AB=AP=2时

OP=AP+OA=2+3或OP=AP-OA=2-3

∴点（3+2，0）（3-2，0）

当BA=BP时

∵BC⊥AP

∴AC=CP=2

∴（-1，0）

当PA=PB时

设PA=PB＝m

PC=AP-AC=m-2

在Rt△PBC中，

∴

解得

∴OP=AP-OA=5-3=2

∴OP=2∴（-2，0）

综上所述满足条件的P点坐标为：（3+2，0）、（3-2，0）、（-1，0）（-2，0）.

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质

【解析】【分析】（1）将A点坐标代入解析式即可求解；

（2）①由题意，y=mx-m+4=（x-1）m+4，令x-1=0，得x=1，y=4，则得到B点坐标；

②根据等腰三角形的性质分三种情况讨论①时，②时，③时，建立方程求解.

25．（2023八下·仙游期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E、F分别在AB，BC上．

（1）若n＝1．

①如图1，AF⊥DE．求证：AE＝BF；

②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG＝AG；

（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF，求的值．（结果用含n的式子表示）

【答案】（1）解：①证明：∵四边形ABCD是矩形，AD＝nAB，n＝1，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝90°＝∠ABC，

∴∠DAF+∠BAF＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠DAF+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

而AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，

∴△ADE≌△BAF（ASA），

∴AE＝BF；

②过点A作AF⊥HD交BC于点F，如图：

由①可知：AE＝BF，

∵AH＝AD，AF⊥HD，

∴∠HAF＝∠DAF，

∵AD∥BC，

∴∠DAF＝∠AFG，

∴∠HAF＝∠AFG，

∴AG＝GF，

∵GF＝GB+BF，

∴AG＝GB+BF＝GB+AE；

（2）解：过点E作EH⊥DF于H，连接EF，如图：

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE＝AB，

∵∠ADE＝∠EDF，EA⊥AD，EH⊥DF，

∴AE＝EH，AD＝DH＝nAB，

∴BE＝EH，而EF＝EF，

∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），

∴BF＝FH，

设BF＝x＝FH，则FC＝BC﹣BF＝nAB﹣x，

∵DF2＝FC2+CD2，

∴（nAB+x）2＝（nAB﹣x）2+AB2，

∴x＝＝BF，

∴FC＝nAB﹣x＝AB，

∴＝4n2﹣1．

【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质

【解析】【分析】（1）①由”ASA“可证△ADE≌△BAF，可得AE=BF；

②过点A作AF⊥HD交BC于点F，由等腰三角形的性质和平行线的性质，可得∠HAF＝∠AFG=∠DAF，可得：AG=FG，即可得证；

（2）过点E作EH⊥DF于H，连接EF，由角平分线的性质可得：AE＝EH＝BE，由”HL“可证Rt△BEF≌Rt△HEF，可得：BF=FH，由勾股定理可求解.

1/1福建省莆田市仙游县第四道德中学2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．（2023八下·临沧期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）

A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．7，8，9

2．（2023八下·咸安期末）下列计算正确的是（）

A．B．C．D．

3．（2022九上·福州开学考）在“我的中国梦”演讲比赛中，有5名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前3名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这5名学生成绩的（）

A．中位数B．众数C．平均数D．方差

4．（2023八下·仙游期末）将直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）

A．y＝3x+1B．y＝3x﹣1C．y＝x+1D．y＝x﹣1

5．（2023·霞山模拟）下列判断错误的是（）

A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B．四个内角都相等的四边形是矩形

C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

D．四条边都相等的四边形是菱形

6．（2023八下·涵江期末）如图，广场中心菱形花坛的周长是32米，，则、两点之间的距离为（）

A．4米B．4米C．8米D．8米

7．（2023·汽开区模拟）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）

A．x2–3=（10–x）2B．x2–32=（10–x）2

C．x2+3=（10–x）2D．x2+32=（10–x）2

8．（2023八下·涵江期末）如图是一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象，则下列结论中错误的是（）

A．k＜0B．a＞0

C．b＞0D．方程kx+b=x+a的解是x=3

9．（2023八下·仙游期末）如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝3，BF＝4，则CE的长等于（）

A．B．C．D．

10．（2023八下·仙游期末）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x+y=0，则把点A叫做“零点”，例如M(1，-1)，N(2，-2)都是“零点”．当-1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”，则的取值范围是（）

A．-3≤m≤9B．-9≤m≤3C．-9≤m≤-3D．3≤m≤9

二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上.

11．（2023八下·仙游期末）化简：＝．

12．（2023八下·仙游期末）已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x图象上的两个点，则y1y2（填＞，＜或＝）．

13．（2023八下·仙游期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，点是的中点，连接，则的长为．

14．（2023八下·仙游期末）小明在计算方差时，使用公式，则公式中的x＝．

15．（2023八下·新罗期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．

16．（2023八下·仙游期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，连接EF，则EF长的最小值为．

三、解答题：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤.

17．（2023八下·福州期末）计算：．

18．（2023八下·仙游期末）已知：如图，E，F为中的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE∥CF．

19．（2023八下·仙游期末）已知直线l1和l2的表达式分别为y＝2x﹣3和y＝kx﹣5，这两条直线相交于点A（﹣2，n）．

（1）求n和k的值；

（2）若直线l3的表达式为y＝﹣6x﹣19，试说明：直线l1，l2，l3相交于同一个点．

20．（2023八下·仙游期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，O为AC中点．

（1）用尺规完成基本作图：过O作AC的垂线l，分别交AD，BC于点E和F，连接CE，AF（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作图形中，猜想四边形AECF的形状，并证明你的猜想．

21．（2023八下·仙游期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，为格点（每个小正方形的顶点叫格点）.判断的形状，并说明理由.

22．（2023八下·仙游期末）端午假期刚过，白塘龙舟队又开始新的一轮训练，为更加有效训练队员，白塘龙舟队决定公开招聘教练，经过笔试后筛选出甲、乙两位教练进行面试和体测，两人的成绩如表．

体测面试

甲9088

乙8492

（1）当体测成绩权重为6，面试成绩权重为4，请问甲、乙两人谁的成绩高？

（2）当体测成绩权重为a，面试和体测各有权重，并且权总和为10，请问当a取什么范围，乙成绩比甲高？

23．（2023八下·福州期末）小林经营一家水果店，准备对店里的旺季水蜜桃开展一周的礼盒包装促销活动，其中8斤装的礼盒单价为60元，10斤装的礼盒单价为68元.若每斤水蜜桃的进价为5元，每个礼盒的包装成本为2元．预估这两种包装的水蜜桃礼盒均有顾客购买，且会售出30盒，其中8斤装的礼盒数不多于10斤装的礼盒数的一半．

（1）设8斤装的礼盒有x盒，这30盒水蜜桃售出的利润为y元，求y与x的关系式；

（2）在（1）的情况下，8斤装的礼盒数x为何值时这30盒水蜜桃售出的利润最大并求出利润的最大值：

24．（2023八下·仙游期末）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象经过点

（1）求一次函数的解析式；

（2）无论取何值，一次函数（为常数，且）的图象必经过一个固定的点.

①求点的坐标；

②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

25．（2023八下·仙游期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E、F分别在AB，BC上．

（1）若n＝1．

①如图1，AF⊥DE．求证：AE＝BF；

②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG＝AG；

（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF，求的值．（结果用含n的式子表示）

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；

B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；

C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；

D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；

故选：B．

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

2．【答案】B

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A、原式，所以A选项错误；

B、原式，所以B选项正确；

C、原式，所以C选项错误；

D、原式，所以D选项错误.

故答案为：B.

【分析】掌握二次根式的运算性质是解题的关键，一般地，二次根式的乘法规定：；二次根式的加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，从而一一判断得出答案.

3．【答案】A

【知识点】常用统计量的选择

【解析】【解答】解：因为5位进入决赛者的分数肯定是5名参赛选手中最高的，

而且5个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有3个数，

故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故答案为：A.

【分析】中位数是指将一组数据按大小顺序依次排列，把处于最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数不易受数据中极端数据的影响，故只需知道自己的分数和中位数就可以判断是否能进入前3名.

4．【答案】B

【知识点】一次函数图象与几何变换

【解析】【解答】解：直线y＝3x沿y轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为：y＝3x﹣1

故答案为：B.

【分析】根据上加下减的原则进行解答即可.

5．【答案】C

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；

B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项不符合题意；

C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项符合题意；

D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不符合题意．

故答案为：C

【分析】由平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定可得

6．【答案】D

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD且相交于点O，

∵菱形花坛ABCD的周长是32米，∠BAD=60°

∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAC=30°，AD=8米

∴OD=AD=4（米），

∴AO=

∴AC=2OA=8.

故答案为：D.

【分析】连接AC、BD且相交于点O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAC=30°，AD=8米，由含30°角的直角三角形的性质可得OD，然后利用勾股定理可求得AO的值，进而得到AC.

7．【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，

根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2.

故答案为：D.

【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立方程，据此判断即可.

8．【答案】B

【知识点】一次函数与一元一次方程的综合应用；一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】∵一次函数y1=kx+b经过第一、二、三象限，

∴k＜0，b＞0，所以A、C正确；

∵直线y2=x+a的图象与y轴的交点在x轴的下方，

∴a＜0，所以B错误；

∵一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象的交点的横坐标为3，

∴x=3时，kx+b=x+a，所以D正确.

故答案为：B.

【分析】由一次函数y1的图象经过的象限可得k＜0，b＞0，据此判断A、C；根据直线y2的图象与y轴的交点在x轴的下方，可知a＜0，据此判断B；由两函数图象交点的横坐标可判断D.

9．【答案】A

【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：在Rt△ABF中，，

由折叠可知：AD=AF=BC=5，DE=EF，

∵BF=4，

∴CF=1，

∵CE+ED=CE+EF=3，

设CE为x，则EF长为（3-x）

在Rt△CEF中，，

解得：，

故答案为：A.

【分析】先根据勾股定理计算出AF长度，由折叠性质得AD=AF=BC，DE=EF，进而得到CF长度，设CE长为x，则EF长为（3-x），在三角形CEF中利用勾股定理列方程，求解即可.

10．【答案】B

【知识点】一次函数的图象；定义新运算

【解析】【解答】由题意得：当-1≤x≤3时，，直线y=2x+m上有“零点”，

∴直线y=2x+m与线段MN有交点，

∵，

∴当直线y=2x+m经过时，m=3，

当直线y=2x+m经过时，m=-9，

∴m的取值范围为：-9≤m≤3，

故答案为：B.

【分析】由题意得：当-1≤x≤3时，，直线y=2x+m上有“零点”，则直线y=2x+m与线段MN有交点，求出直线经过M、N两点时m的值即可.

11．【答案】5

【知识点】二次根式的化简求值

【解析】【解答】解：

故答案为：5.

【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可.

12．【答案】＞

【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x的比例系数k=-3＜0，

∴y随x增大而减小，

∵1＞-2，

∴y1＞y2，

故答案为：＞.

【分析】根据一次函数的比例系数k的符号，判断y随x的变化规律，即可判断出y1，y2大小关系.

13．【答案】2.5

【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC=3，BO=OD=4，AO⊥BO，

，

∵O，E分别为AC和BC的中点，

∴，即：，

故答案为：2.5.

【分析】根据菱形的性质计算出AB的长度，再根据三角形中位线定理计算出OE的长度即可.

14．【答案】4

【知识点】方差

【解析】【解答】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：2、3、3、8；

∴，

故答案为：4.

【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可.

15．【答案】76

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：设将延长到点，连接，

根据题意，得，．

，即

这个风车的外围周长是．

故答案为：76．

【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．

16．【答案】

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：当x=0时，，则B(0，3），故OB=3.

当y＝0时．，则x=-4，那么A（-4，0），故OA=4.

设，则.

①当P不与A、B重合，，

∴，

∵PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，x轴⊥y轴，

∴∠FPE=90°，

∴，

∵，

∴当

②当P在A点时，此时EF=OA=4，

③当P在B点时，此时EF=OB=3，

∵，

∴EF最小值为，

故答案为：.

【分析】经分析，P点可能在A点或在B点或在线段AB上（除去端点），那么EF会产生不同的情况，故需分类讨论，进而确定EF的最小值.

17．【答案】解：原式=

=2.

【知识点】实数的运算

【解析】【分析】分别化简各项，再作加减法.

18．【答案】证明：连接AC交BD于点O，连接AF，CE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，OA＝OC，

∵BE＝DF，

∴OB﹣BE＝OD﹣DF

即OE＝OF．

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF．

【知识点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】连接AC交BD于点O，连接AF，CE．根据平行四边形性质得OB＝OD，OA＝OC，即可推出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证.

19．【答案】（1）解：依题意，得

解得：

（2）解：由（1）得：直线l1与l2相交于点A（﹣2，﹣7）．

∵当x＝﹣2时，y＝﹣6x﹣19＝﹣6×（﹣2）﹣19＝﹣7，

∴直线l3也过点A（﹣2，﹣7），

∴直线l1，l2，l3相交于同一个点A（﹣2，﹣7），

【知识点】两一次函数图象相交或平行问题

【解析】【分析】（1）将点A（﹣2，n）分别代入y＝2x﹣3和y＝kx﹣5中，解方程组即可，求得n和k的值；

（2）根据直线l1和l2相交于点A（﹣2，-7），把x=-2，y=-7代入y＝﹣6x﹣19，即可判断直线l1，l2，l3相交于同一个点A（﹣2，-7）.

20．【答案】（1）解：如图，AC的垂线l即为所求；

（2）解：猜想：四边形AECF是菱形

理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵O为AC中点，

∴AO=CO，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF，

∵ADBC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

【知识点】菱形的判定

【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可完成作图；

（2）根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得证.

21．【答案】解：是直角三角形，理由如下：

由勾股定理得：，

∵，

∴，

∴是直角三角形.

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】先根据勾股定理计算出的三边长度，再利用勾股定理判断的形状.

22．【答案】（1）解：甲的成绩为（分），乙的成绩为（分），

所以甲的成绩高；

（2）解：若体测成绩的权重为a，则面积成绩的权重为（10﹣a），

根据题意，得：，

解得a＜5，

所以当a＜5时，乙成绩比甲高．