2006年全国高中数学联合竞赛浙江预赛试卷评分标准

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准.选择题1.C2.C.填空题7.6.3-93.D4.B8..选择题1.C2.C.填空题7.6.3-93.D4.B8.n5.C6.B9.3401010.17~2 」2\1003(a b)11.-312..3f(123)f(123)-122232=14。记f1(n)=f(n)，详细解答如下:」.选择题TOC\o"1-5"\h\z3 一下列三数—,log1682,log27124的大小关系正确的是(C)23 3(A)log1682:：:log27124 (B)log27124：：：log16822 23 3(C)log27124log1682 (D)log2712^：：log1682::2 2解：因为Iog1682Iog1681=log2434=log23，3log27124：log27125=log335 log35。3令x=log23，则2-3。又因为22=、8：：：3=2乂，所以3 — 3再令y=log35，则3y=5，而32=27•5=3y，所以y：：：—。(A)20 (B) 4 (C) 42(D)145.2

(A)20 (B) 4 (C) 42(D)145.解：将f(2006)=40记做2006>40，于是有2006>40>16>37>58>89>145>42>20>4>16>从16开始，fn是周期为8的周期数列。故f2006(2006)=f2004(16)=f42508(佝=彳4(佝=145. 正确答案为D1设在xOy平面上，0：：：y^x2，0乞x乞1所围成图形的面积为-，贝U集合3M={(x,y)y-x<1},N={(x,y)yZx2+1}的交集MN所表示的图形面积为(B)。1 2 4(A)3(B)3(C)1 (B)3.解：MN在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此MN的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，MN的图形在第一象限的面积为A二---=丄。因此MN的2 3 6图形面积为2。 所以选(B)。3在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为(C)。222(A)2006 (B)10032 (C)10032-1003 (D)10032-1002.1解：正2n边形AA2…A2n，对角线共有—2n(2n-3)=n(2n-3)条。2计算与一边AA2平行的对角线条数，因AA2〃An1An.2，与2平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有 n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。因此正确选项是C。6.函数f(x)=sinxcosxtanxcotxsinxtanxcosxtanxsinxcosxtanxcotx在x.(6.函数f(x)=sinxcosxtanxcotxsinxtanxcosxtanx最小值为(B)。(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8解:f(x)=(sinxcosx)「1<sinx+tanx1解:f(x)=(sinxcosx)「1<sinx+tanx1 icosxcotx(tanxcotx)「1icosx+tanx(由调和平均值不等式)-(sinxcosx)( 4 、 Iisinx+tanx+cosx十cotx丿(tanxcotx)( 4 \ -(sinxcosx)( 4 、 Iisinx+tanx+cosx十cotx丿(tanxcotx)( 4 \ i<sinx+tanx+cosx+cotx丿=4要使上式等号成立，当且仅当sinx+tanx=cosx+cotx(1)tanx+cosx=cotx+sinx(2)(1)—(2)得至Usinx—cosx=cosx—sinx，即得sinx=cosx。因为x・(J),所以当x时，f(X)=f「)=4。所以minf(x)=4.因此应选(B)4 4二.填空题7.手表的表面在一平面上。整点1,2,…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上。从整点i到整点(i+1)的向量记作H-，则t1t2t2t3■t2t3-t3t^^':(1，t12t1■t1t2 6^/3-9 解：连接相邻刻度的线段构成半径为 2的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角2即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为2――sin一 _——。则2 12 \ 4 2 i-—2—J—!兀 2—和3J—t&以—=*十一—cos=2^^亠。共有12个相等项。所以求得数量积之V4 \ 6 4 2和为6、3-9。8.设qR(i=1,2, n),：「,R,且二小»皿丄0,则对任意xR，解: + 11axy(i)x 1aix a「)x1aix a^)xa(；)xaix■- + 解：已知.呼异ab将(1)解：已知.呼异ab将(1)改写成1=siinxco^sxa2 2 2 4 4 2 2而1=(sinxcosx)sinxcosx2sinxcosx。"aix-a(-)x1 ai(■-)xTaj1yx-a^)x-，n所以，、i41111®x r£x_£r'dF"=n.9在1,2，…，2006中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是3 。401厂解：三个数成递增等差数列，设为 a,ad,a2d，按题意必须满足a2d乞2006,d<1002。对于给定的d，a可以取1,2,，2006-2d。故三数成递增等差数列的个数为

1002'、•(2006_2d)=1003*1002.d4三数成递增等差数列的概率为10031002 3。Cd401010.设a,b是非零实数，R・4

sinx2

a4

cosxb**2a21b2，则.2008

sinx2006~a008cosx006~

b(1)(1)2・4 .a 4sinx2cosx。b1即-si

aa平sin2^bcOs2x 9也即・4 4sinxcosx4 4 ，将该值记为a bC。则由(1)知,a2Cb2C1a2b2于是有，C1.(ab)20082008工sinx而2006~

a008COSX2^502 2 502_/2 2、 12 2、1003(ab)2006~-aCbC-2 2、1003(ab)b (ab)11.已知A=*x,y)x所以有b2siIx-2sinxco所以有b2siIx-2sinxco2sxax,y)kx3,^R：。若A-B为单元素集，则k二3。

解由2222TOC\o"1-5"\h\zxy_2xcost*2（1sin：）（1-y）=0=（x-cos：）（y_1_sin：） 022=x=cos：,y=1sin：=x（y-1） 12B为单元素集，即直线八kx•3与x2(y-1)2=1相切，则k= 3.12.112.maxmin』一a,b,c于中 a解：设t=min』1,丄,A,a+b2+c3?，贝U0ct兰丄，0ct兰2,0小兰2，即有^abc : a b ca^1，b2兰1，c3兰1。所以有tEa+b2+c3兰？.于是可得t^J3，且当t t t ta=b2a=b2=c3t=（3.因此 max丄min』一a,b,c于十〔，占，A，ab2c3abc解答题在x轴同侧的两个圆：动圆G和圆4a2x2•4a2y2-4abx-2ay•b2=0外切(a,b^N,aH0)，且动圆G与x轴相切，求(1)动圆G的圆心轨迹方程L;(2)若直线4(、.7-1)abx-4ayb2a2-6958a=0与曲线L有且仅有一个公共点,求a,b之值。b 11解：(1)由4a2x24a2y2-4abx-2ayb2=0可得(x—)2(y一)2=(—)2,2a 4a4a由a,b・N，以及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，设动圆圆心坐标为(x,y),则有整理得到动圆圆心轨迹方程2y=ax「2y=ax「bxb24a（述）（5分）11y 为准线，且顶点4a （5分）①②③ （10分）④（n-71）2为8的倍数，所……（15分） （20分）b1另解由已知可得，动圆圆心的轨迹是以（°,1）为焦点，2a4a在（卫,0）点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程2a（X丄）2=1y，即y=ax2_bxb（x=b）2aa 4a2a（2）联立方程组y二ax2「bx—（x —）4a2a—224（、.7-1）abx-4ayba-695aS0消去y得 4a2x2-4.7abx-（a2-695a0=0，由,=167a2b216a2（a2-6958a）=0,整理得7b2a2=6958a从③可知7a2=7a0故令a=7Q，代入③可得22b2 7c=6958a1n7b2=7b.再令b=7b，代入上式得227b1-a1-99^ 同理可得，7a1,7b1。可令a=49n,b=49m，代入③可得7m2n2=142n对④进行配方，得 （n-71）27m^712,对此式进行奇偶分析，可知m,n均为偶数，所以7m2=712以4m。令m=4r，则112r2兰712nr2兰45。所以 |r|=0,1,2,3,4,5,6 仅当|r|=0,4时，712-112r2为完全平方数。于是解得a=6958, a=6272 a=686b=0（不合，舍去）b=784 b=784。

已知数列佝｝满足a1=1©1=an•2n(n=1,2,3…)，｛bn｝满足3=1,b2 1nbn1=bn L(n=1,2,3…)，证明： 1。2k£屮ak半bk*ka^-bk-k证明：记Inn证明：记Inn11-、 ，贝UI^-k=3甘ak1bkkak1〜bk-k 2::12vIn。n而In而In八k=1n n@k1-1)(bkk)1k"k.1-1ybkk。(5分)因为a1=1,因为a1=1,an1 =an2n,所以ak1-仁k(k1)(10分)从而有(1)从而有(1)又因为bk(bkk)所以1bk1——,bk(b又因为bk(bkk)所以1bk1——,bk(bk k) bk bkk即bk k bk1丄bk1从而有nZk4111丄一—<—=1o(2)bkkd bn1d(15分)由(1)和(2)即得In<1左边不等式的等号成立当且仅当1综合得到 In::1o2n=1时成立。(20分)六个面分别写上1,2,3,4,5,6的正方体叫做骰子。问共有多少种不同的骰子；骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V。在所有的骰子中，求V的最大值和最小值。解：1)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共6X4种。所以不同的骰子共有30种。 (5分)6*42)由1-6的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 (10分)与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v,则Vmax=(6+5+4)—(1+2+3)=9Vmin=1+1+1=3 (15分)因此Vmax—35—Vmin—32Vmin—35—Vmax