(完整版)吉林大学高职高专《高等数学》第05章

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理分式函数的不定积分1第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分二、不定积分的几何意义三、不定积分的基本公式四、不定积分的性质2

定义1

设函数f与F在区间I上有定义，若则称F为f在区间I上的一个原函数一、原函数与不定积分的概念问题：

（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？

（2）任意两个原函数之间有什么关系？3教材P984教材P985教材P99任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量①②6不定积分举例7教材P998教材P99例2.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的2倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为教材P999二、不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.过某个x0点做切线都平行y=F(x)的图形教材P10010三、不定积分的基本积分公式11教材P10012四、不定积分的性质13教材P1011415教材P10116教材P102习题5-13、第二节换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）二、第二换元积分法17教材P103第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有18一、第一换元积分法（凑微分法）19说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.20教材P103下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮助．21教材P1042223教材P104例1的一般情况：解:

令则故原式

=注:

当时24教材P10425教材P104【例4】

求解:

原式=【例6】

求想到解:(直接配元)26【例7】

求解:∴原式

=27【例8】

求解:令则想到公式28【例9】

求解:类似29例10.

求解法1同样可证或30解法23132教材P106二、第二换元积分法33教材P1073435教材P10736

解

被积函数中所含的两个根式的根指数分别为2和3，最小公倍数为6，故应设

=t(t>0)，才能把被积函数中所含的两个根式都去掉，则有【例15】【例16】

求解:

令则∴原式37【例17】

求解令38【例18】

求解令39

说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令4041教材P109【典型例题选讲】利用教材P105例6例142

43

44解:

原式例2想到公式【典型例题选讲】45求解:

原式=求解:

原式例3例4【典型例题选讲】46求解:

令得原式例5【典型例题选讲】47思考与练习1、下列积分应如何换元才使积分简便?令令令4849教材P111习题5-21、2、3、4、5第三节分部积分法问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式50例1.

求解:

令则∴原式思考:

如何求提示:

令则原式教材P1125152例2.

求教材P11353教材P113例4.

求解:

令则原式=教材P11354例5.

求解:

令则∴原式教材P11355解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例6.

求解:

令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数教材P11456例7

求积分解注意循环形式57教材P114例8.

求解:

令则原式令教材P1145859教材P1156061教材P115习题5-32、62第四节有理函数的不定积分一、一般有理函数的不定积分二、三角函数有理式的不定积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中都是非负整数；及都是实数，并且.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.63一、一般有理函数的不定积分1)简单分式的积分法6465662)化有理真分式为简单分式673)有理函数的积分法6869教材P11670教材P11771教材P117二、三角函数有理式的不定积分设表示三角函数有理