第03课奇偶性周期性与对称性（学案）（原卷版）

第03课奇偶性、周期性与对称性2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案考试要求：1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.一、【考点逐点突破】【考点1】偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；图象关于y轴对称.【典例】判断函数f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的奇偶性．【考点2】奇函数:一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数;关于原点对称.【典例】函数f(x)＝eq\f(x＋2a＋3,x2＋8)为奇函数，则实数a＝()A．－1 B．1C．－eq\f(3,2) D．eq\f(3,2)【考点3】周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.【典例】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2023)＝________．【考点4】最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的最小正周期是π，且当x＝eq\f(π,6)时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________．【考点5】对称性【典例】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2,0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数【考点6】判断函数的奇偶性【典例】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)(2)f(x)＝log2(x＋eq\r(x2＋1)).【考点7】结合奇偶性求函数解析式【典例】已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.【考点8】已知函数解析式，判断函数奇偶性与单调性【典例】已知函数f(x)＝ln(2＋2x)＋ln(3－3x)，则f(x)()A.是奇函数，且在(0，1)上单调递增B.是奇函数，且在(0，1)上单调递减C.是偶函数，且在(0，1)上单调递增D.是偶函数，且在(0，1)上单调递减【考点9】利用奇偶性求参数的值【典例】若函数f(x)＝x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋a))为偶函数，则a的值为________．【考点10】函数奇偶性的综合应用【典例】已知函数f(x)＝eq\f(π,4)＋cosx·ln(x＋eq\r(1＋x2))在区间[－5，5]上的最大值是M，最小值是m，则f(M＋m)的值等于()A.0 B.10C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,2)【考点11】与年份有关的周期类型【典例】已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sineq\f(x,2)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023π,3)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)【考点12】函数的周期性与分段函数的结合【典例】在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,|2－x|，0≤x<1，))其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝()A．0.5 B．C．2.5 D．【考点13】周期性与奇偶性的简单问题【典例】函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.【考点14】对称性的简单应用【典例】已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋1的图象关于点(0,1)对称，且f′(1)＝4，则a－b＝________.【考点15】轴对称问题【典例】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于x＝2对称B．f(x)的图象关于(2,0)对称C．f(x)的最小正周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数【考点16】中心对称问题【典例】(多选)关于函数f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四个命题，其中正确的是()A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称D．f(x)的图象关于点(π，0)对称【考点17】抽象函数性质的综合问题【典例】已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.二、【考点教材拓广】【典例1】【教材第87页第12题】已知函数fx是偶函数,而且在0,+∞上单调递减,判断fx在-∞,0【典例2】【教材第87页第13题】我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数y=fx+a-b为奇函数.

(1)求函数fx=x3-三、【考点真题回归】【典例1】【2019·高考全国卷Ⅱ】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1【典例2】【2021·全国乙卷】设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1【典例3】【2022·全国乙卷】若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝______，b＝______.【典例4】【2021·新高考全国Ⅰ】已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.【典例5】【2023·贵阳市第一学期监测考试】已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，则f(5)＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2【典例6】【2023·咸阳模拟】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x>0))为奇函数，则a＝________.【典