2安培环路定理

8.3安培环路定理一、安培环路定理静电场理论中，有“静电场的环路定理”：对于稳恒磁场，相应的“稳恒磁场的环路定理”?

——考虑到磁力线总是闭合曲线的特点，上式显然不会是0。等于穿过以闭合环路为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以1.安培环路定理表述在真空中的稳恒磁场中，磁感强度沿任一闭合环路的线积分一.安培环路定理公式表示证明（略）以长直电流为例进行验证

闭合回路在垂直直电流的平面内，且包围电流做一垂直直电流的平面，垂足为o在该平面上做一包围电流的任意形状的闭合曲线L在曲线上任取一点P，距o点距离为r在曲线上点P附近取一有向线元线元对点所张平面角为PldvrLPrLldv设P点磁感应强度为PrLldv

闭合回路在垂直直电流的平面内且不包围电流●在闭合曲线上任取一线元线元对o点平面角为此平面角必在闭合曲线上截得另一线元线元对o点所张平面角也为在垂直直电流的平面，做一不包围电流的任意形状的闭合曲线L，●设与夹角为长直电流在线元和处的磁感应强度分别为，设与夹角为●●L1L2在垂直长直电流平面内，任取一闭合回路（闭合回路包围电流）（闭合回路不包围电流）如果闭合回路不在垂直长直电流平面内，情况又如何？表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以如图，闭合曲线L不在垂直直电流的平面内沿平行电流方向和垂直电流方向分解此线积分为磁感应强度沿闭合曲线L在垂直直电流的平面内的投影曲线的线积分在曲线上任取一线元讨论

等式右边只是闭合回路所围电流，闭合回路外的电流对环流无贡献等式左边是空间所有电流产生的合磁感应强度，

是代数和，有正负正负：选定闭合回路绕行方向，如果所包围电流的正方向与闭合回路的绕行方向构成右手螺旋，则电流为正，反之为负I1I2LI1I2I3LI3=0<0IL

说明稳恒磁场不是保守场稳恒电流（闭合回路）产生的磁场。3）适用范围：>0——磁场是“有旋场”例：如图，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则下述各式中那一个是正确的?(B)(A)[D](C)(D)8.4利用安培环路定理求磁场的分布对于某些电流分布具有对称性的问题，可以通过取合适的环路L利用磁场的环路定理比较方便地求解场量。(具体实施，类似于电场强度的高斯定理的解题。)电流对称性磁场对称性选取合适回路安培环路定理求磁感应强度例无限长圆柱面电流的磁场半径为R的无限长导体圆柱面，沿轴向通以均匀的面电流，电流强度为I。求电流所产生磁场的磁感应强度分布解：在垂直圆柱面轴线的平面内，以轴线上点为圆心做一圆周，在圆周上任取两点P、Q，●●圆柱面上电流分布对点P、Q是相同的所以两点的磁感应强度的大小相等圆柱面上电流分布具有轴对称性在垂直圆柱面轴线的平面内，以轴线上点为圆心的圆周上，任意点的磁感应强度的大小相等考察点P的磁感应强度的方向在圆柱面上任取一平行轴线，宽为的窄条●当取得很小时，窄条可视为长直电流它在P点产生的磁感应强度为○●●●○●●●圆柱面上电流分布具有轴对称性在圆柱面上关于OP

对称的位置处，总能找到与大小相同的窄条在P点产生的磁感应强度为由图不难看出合磁感应强度的方向沿圆周的切线，并与电流方向构成右手螺旋在垂直圆柱面轴线的平面内，以轴线上点为圆心的圆周上，任意点的磁感应强度的大小相等方向沿圆周的切线，并与电流方向构成右手螺旋选取在垂直圆柱面轴线的平面内以轴线上点为圆心的圆周为闭合回路L设圆周半径为r，选取回路的绕行方向如图●根据安培环路定理●●思考题？求无限长载流圆柱体内外的磁场。求通电螺绕环的磁场分布。已知环管轴线的半径为R，环上均匀密绕N匝线圈，

设通有电流I。解：由于电流对称分布，与环共圆心的圆周上，各点B大小相等，方向沿圆周切线方向。取以o为中心，半径为r的圆周为L当R1<r<R2IR...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or例当R1<r<R2若r<R1若r>R2IR当R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or解：例无限大载流平面两侧的磁场分布已知电流线密度做一平行载流平面的平面在平面上任取两点P、Q，考察平面上任意点P的磁感应强度的方向电流分布具有面对称性●●载流平面上电流分布对点P、Q是相同的所以两点的磁感应强度的大小相等过P点做载流平面的垂线，垂足为O当取得很小时，窄条可视为长直电流它在P点产生的磁感应强度为电流分布具有面对称性●在平面上任取一平行电流方向，宽为的窄条在载流平面上关于OP

对称的位置处，总能找到与大小相同的窄条看下图●●●●●●●●●●●●●●●在平面上关于OP

对称的位置处，总能找到与大小相同的窄条在P点产生的磁感应强度为由图不难看出合磁感应强度的方向平行载流平面，并与电流方向构成右手螺旋选取一矩形闭合回路abcd，矩形回路所在平面垂直载流平面平行载流平面的平面上任意点的磁感应强度的大小都相等，其方向平行载流平面，并与电流方向构成右手螺旋ab，cd

垂直载流平面bc，ad平行载流平面选取回路的绕行方向如图abcd●●●●●●●●●●●●●●●选取回路的绕行方向如图●●●●●●●●●●●●●abcd段段●●●●●●●●●●●●●abcd根据安培环路定理已知电流线密度无限大载流平面两侧的磁场为匀强磁场方向例计算无限长均匀密绕螺线管的磁场分布（通电流为I）。由对称性分析：解：螺线管内外的磁感应线必为沿x方向的一系列平行直线。且同一条磁感应线上的磁场处处相等。对管内的场点P：——螺线管内为匀强磁场。可作矩形的闭合回路。ab由毕奥-萨伐尔定律可求得：其中：n为单位长度的导线匝数（匝密度）对管外的场点Q：亦可作矩形回路。cab（螺线管内）（螺线管外）管内：可证：对于任意形状横截面的无限长直螺线管，此式都适用。作业：8.138.148.178.19I0：被回路L包围（与L套连）的传导电流的代数和。安培环路定理条件：——适用于稳恒电流产生的磁场L对曲面S1：对曲面S2：8.5与变化电场相联系的磁场（稳恒磁场）电流必须是闭合、稳恒不变的。以电容器的充电过程为例。在非稳恒电流情况下的困难一、——电流是不连续的，上述安培环路定理无法适用。对曲面S1对曲面S2L非稳恒情况下代替安培环路定理的普遍规律是什么呢在非稳恒情况下L根据电荷守恒定律是积累在闭合曲面S内的自由电荷（就是分布在电容器极板表面的电荷）另一方面，按电场高斯定理有在非稳恒情况下LL也就是说：只要边界L相同，它在不同的曲面S1和

S2上的面积分相等L但是永远是连续的，这就是说，在非稳恒情况下虽然传导电流是不连续L因此认为变化的电场等效地也是一种“电流”

——称作位移电流麦克斯韦分析了上述情况后指出：对于非稳恒电路，在传导电流中断处必然发生电荷分布的改变，从而引起电场变化这变化的电场像传导电流一样能产生磁场L一.位移电流假说

麦克斯韦把称作位移电流密度，记作麦克斯韦认为变化的电场等效地也是一种“电流”

——称作位移电流电场中某一点的位移电流密度等于该点电场强度对时间的变化率的倍若有电介质代表通过某曲面的电通量通过某个面积的位移电流就是通过该面积的电通量对时间的变化率的倍通过任意曲面S

的位移电流记作若有电介质有了位移电流的假设上式可以写为传导电流和位移电流之和回到电容器充放电的问题L或者穿过以同一曲线L为边界的不同曲面S1和

S2

的传导电流和位移电流之和是相等的。表明：穿过以同一曲线L为边界的不同曲面的

传导电流和位移电流之和是连续的。全电流L也就是说穿过以同一曲线L为边界的不同曲面的全电流是相同的表明：全电流在任何情况下都是连续的二.全电流定律麦克斯韦把传导电流与位移电流代数和称作全电流全电流现在回到如何将安培环路定理推广到非稳恒情况的问题由于全电流具有连续性，所以很自然地可以想到，在非稳恒情况下应该用它来代替式右端的传导电流麦克斯韦假设：在非稳恒情况下，安培环路定理为或一般地，磁感应强度沿闭合回路L的线积分等于穿过以曲线L为边界的任意曲面的传导电流和位移电流的代数和——全电流定律传导电流位移电流全电流定律讨论

位移电流、全电流定律是作为假设提出来的它解决了安培环路定理在非稳恒情况下失效问题只有传导电流只有位移电流L虽然传导电流是不连续的，但全电流连续这样在电容器充放电过程中，在电容器极板表面上中断了的传导电流，被极板间隙中的位移电流接替下去，二者合在一起保持连续性L

如果，这时全电流定律为表示变化的电场产生磁场——电场的时间变化率的方向与其所激发的磁场之间满足右手螺旋关系位移电流的磁场仍应满足磁场的高斯定理：LSLS

传导电流和位移电流1）传导电流载流子定向运动2）位移电流电场的变化

其它方面均表现出不同位移电流不伴有电荷的任何运动所以谈不上产生焦耳热二者区别与联系：

仅仅是产生磁场这一效果相同而已例一圆形平行板电容器，两极板的半径为R=0.2m。设其正在充电I0=10A，忽略边缘效应。求：两极板间距轴线r=0.1m处和r=0.3m处的磁感应强度。解：平行板之间的电场：E=/磁力线与dE/dt

成右手螺旋关系在极板间取半径为r的同心圆环为积分回路r<R时：RRr>R

时：r<R时：例加平行板电容器板上的电压变化率1.0106V，电容器内产生1.0A的位移电流，求电容器的电容。解：两板的距离位移电流电容器的电容8.6两平行电流间的相互作用力12d考虑电流1在电流2处产生磁场电流

I2

的单位长度导线受力同理电流

I1

的单位长度导线受力电流2在电流1处产生磁场电流单位“A”的定义：令：I1=I2=I在国际单位制