信号与系统常用变换与知识点

连续时间离散时间傅里叶级数FS傅里叶变换FT傅里叶级数FS傅里叶变换FT时域x(t)连续时间，在时间上是周期的x(t)连续时间，在时间上是非周期的x离散时间，在时间上是周期的x离散时间，在时间上是非周期的频域a离散频率，在频率上是非周期的X连续频率，在频率上是非周期的a离散频率，在频率上是周期的X连续频率，在频率上是周期的xtFSa周期为T，基本频率ωxtFT若：xnFSa周期为N，基本频率ωxnynFTXe线性性质AxAxFTAxAxFT时移性质xxxx频移性质ee对称X时间反转xxxx时域变换x(αt)x(αt)xFSxFT相乘xxxx卷积周期卷积：Tx周期卷积：r=<N>x时域微分dxdxxx频域微分txnx积分-∞（-∞txtdt-∞FTk=-∞k=-∞FT共轭对称x若xt为实函数，xxx帕斯瓦尔定理1一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和非周期信号帕斯瓦尔定理：-∞1一个周期信号的总平均功率等于它的全部谐波分量的平均功率之和非周期信号帕斯瓦尔定理:n=-∞拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于s来说，使得xte-σt的傅里叶变换收敛；或者因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。性质拉普拉斯变换z变换性质1Xs的收敛域是在s平面内由平行于jω轴的带状区域组成Xz的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环性质2对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。（因为在极点处，Xs为无限大，显然不收敛收敛域内不包含任何极点。(因为在极点处，Xz为无限大性质3如果xt是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个s平面。（xt有限可积，又因为e-σt为一固定常数，则如果xn是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面可能除去z=0和/或z=∞性质4如果xt是右边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么Res>σ0的全部s值都一定在收敛域内。如果xn是一个右边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么z>r0的全部有限z值都一定在这个收敛域内。性质5如果xt是左边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么Res<σ0的全部s值都一定在收敛域内。如果xn是一个左边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么满足0<z<r0的全部z值都一定在这个收敛域内。（x性质6如果xt是双边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么收敛域一定由s平面的一条带状区域组成，直线Res=σ0位于带中。（把如果xn是双边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含z=r0这一圆环的环状区域。（把x性质7如果xt的拉普拉斯变换Xs是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含X如果xn的z变换Xz是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，性质8如果xt的拉普拉斯变换Xs是有理的，那么若xt是右边信号，则其收敛域在s平面上位于最右边极点的右边；若xt是左边信号，如果xn的z变换Xz是有理的，并且xn是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，也就是半径等于Xz极点中最大模值的圆外边。而且，若xn是因果序列，即xn为如果xn的z变换Xz是有理的，并且xn是左边序列，那么收敛域就位于z平面内最里层的非零极点的里边，也就是半径等于Xz中除去z=0的极点中最小模值的圆里边，并且向内延伸到可能包括z=0。特别是，若xn是反因果序列，即xn为n>0因果性一个因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。对于一个具有有理函数的系统来说，系统的因果性就等于收敛域位于最右边极点的右半平面。一个离散时间线性时不变系统，当且仅当它的系统函数的收敛域在某个圆的外边，且包括无限远点时，该系统是因果的。一个具有有理系统函数Hz的线性时不变系统是因果的，当且仅当：（a）收敛域位于最外层极点外边某个圆的外边；并且（b）若Hz表示成z的多项式之比稳定性当且仅当系统函数Hs的收敛域包括jω轴，即Res=0时当且仅当Hs的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部极点都有负实部时，一个具有有理系统函数Hs一个线性时不变系统，当且仅当它的系统函数Hz的收敛域包括单位圆z=1时，一个具有有理系统函数的因果线性时不变系统，当且仅当Hz的全部极点的模均小于1单边拉普拉斯变换和z变换性质拉普拉斯变换Z变换变换X(任何单边拉普拉斯变换的收敛域总是位于某一右半平面，一个有理单边拉普拉斯变换的收敛域总是在最右边极点的右边X(任何单边z变换的收敛域总是位于某个圆的外边，一个有理单边z变换的收敛域总是位于最外层极点的外边。性质信号单边变换信号单边变换xxxXXXxxxXXX线性aaaxaS域平移(z域尺度变换eXeXzXaX时域尺度变换x1时延：xz超前：xzxX共轭xXxX卷积x1t*x2t假设t＜Xx1n*x2n假设n＜X时域微分dx(t)sx1-zS域微分-txdnx-z时域积分0Xk=01初值及终值定理若xt在t=0不包括任何冲激或高级奇异函数，xlim仅有初值定理：x

卷积的性质与卷积对：微分性质：δ't*xt=x-∞积分特性：ut*xt=求和特性：u卷积的时不变：x区分δt的筛选特性：xt取样特性：-∞+∞x常用卷积对：eλuu常用公式及概念：1、欧拉公式：(a)ejθ=cosθ-jsinθ;2、复数的表示方法：①笛卡尔坐标：z=x+jy;其中：实部x=Rez=rcos极坐标：z=rejθ;其中：z的模r=z3、洛必达法则若函数f(x)和g(x)满足下列条件：limx→af(x)=在点a的某去心邻域内两者都可导，且g'limx→af'(x)g则有lim4、等比数列求和等比数列通式：a等比数列求和公式：Sn=a15、有理函数与有理数有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。有理数：有理数是一个整数a和一个非零整数b的比。（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。）6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。系统的响应与未来值有关。对于线性系统，若是因果系统则满足：t<0时ht=7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。如果一个线性时不变系统的单位冲激响应ht或单位脉冲响应hn，在t≠0或n≠0时有ht=08、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足，hn*h9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是