几个三角恒等式

诚西郊市崇武区沿街学校第8课时：§

几个三角恒等式【三维目的】：一、知识与技能.能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进展简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.提醒知识背圻，培养学生的应用意识与建模意识..可以推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所理解.,能较纯熟地运用公式进展化简、求值、探究和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题..梳理公式体系，通过本章知识构造图，进一步加强对各公式之间内在联络的理解。.通过例题的解答，引导学生对变换对象目的进展比照、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进展公式变形，以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，进步学生的推理才能.二、过程与方法.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣：同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习，稳固所学知识..通过总结知识构造图，开展学生推理才能和运算才能，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的构造形式变换：角的变换；不同三角函数之间的变换。.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的根本才能。.进步三角变换的才能三、情感、态度与价值观.通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识：理解并掌握三角函数各个公式的灵敏变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵敏运用数学知识解决实际问题的才能..让学生经历数学探究和发现的欲望和信心，体验成功的感觉..通过公式的推导和应用培养学生严谨标准的思维品质和辩证唯物主义观点..通过知识构造图和公式应用使学生理解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联络，培养学生严谨，标准的数学思维品质，开展正向、逆向思维和发散思维才能。.通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探究和发现过程，激发数学发现的欲望和信心【教学重点与难点】：重点:三角恒等变形（梳理三角恒等变换公式体系，浸透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法:纯熟恒等变换公式，解决简单问题的应用）。难点：“和差化积”及“积化和差”公式的推导（公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的浸透）。【学法与教学用具】：.学法：（1）臼主+探究性学习：让学生Fl己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。（2）反响练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距..教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】:1课时【教学思路】：一、创设情景，提醒课题请回忆两角和与爰的余弦公式、正弦公式；问你能否用sin(a+/7)与sin(a-A)表示sina,cosP和cosCt•sin)3?类似地能否用cos(Cf+/?)与cos(£Z—p)来表示cosCC,cosP和sina,sin(3?二、研探新知.和差化积与积化和差公式的推导师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。师：通过类比，对任意两个角，sinx+siny应该等于什么？运用的公式加以推导验证。两式相加得：sin(a+4)+sin(a—尸)=2sinacospY+V X—V设a+/7=x,a-p=y.那么。^fl=--」，公式可以写成：2师：公式实际上还可以变形成两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。回忆两角和与差的三角函数公式：由公式(1)的推导过程，请学生进展类比，写出所有的积化和差的公式：师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式构造，不要求记忆。其特点是化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。由枳化和差公式，变形可以得到：siii(a+J3)+sin(a—/7)=2sinacospsin(a+p)-sin(a_0)=2cosasinp,

再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正［余)弦才能使用，它与积化和基公式相辅相成,配合使用。利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并订正。提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。.万能公式suia证明：(i)sma= 12sni—cos—「a2tan—2sin--+cos--, ,a+tan"—2cosacosa= 1suia证明：(i)sma= 12sni—cos—「a2tan—2sin--+cos--, ,a+tan"—2cosacosa= 1,a.,aCOS"--sui"—, ,a1-tair—2sir--+cos--, ，a1+tan"—2sincetana= cosar・aa

2sui—cos—2tail—2COS"-—SIR--, ,a1-tan"—2.常用的恒等式i.(i)sm3a=4sniasm(600-a)shi(600+a)分析：此题考察二倍角与和差角公式;类似的恒等式还有：cos3a=4cos6zcos(60°-a)cos(600+a)tan3a=4tailataii(60°-a)tan(600+a)三、质疑辩论，排难解惑，开展思维例1—<a<7t,—九<。<0,tan=——ttan=一9,求2+2 3 7c2tana3小 tan2a+tanB ,解：tan2a= ；—=——:.tan(2a+P)= -=-11-tail-a4 1-tan2atanp

3九r。又<0,tan<0/.——<2a<2几，2--<p<o2例3sincos,兀va<2兀，求tan一和tan2 2的值ra, 3九r。又<0,tan<0/.——<2a<2几，2--<p<o2例3sincos,兀va<2兀，求tan一和tan2 2的值ra, ，a। 2tan— 1—tan— 1解：Vsincos=-， 2 —=-2 2al2a21+tan—1+tan—2 2aotr八a-4±J16+12C,片化简得：tan~—f4tan 3=0.*•tan—= =-2±J72 2 2 2c 九 a a八 a 、 g兀vav2兀.*• 一 < — < 7i /•tan—<0即toil—=-2—J72 2 2 2例4coscos =—, sin sin =——»求sin( + )、tan( + )的值2 3C.a+B,a-B1解：Vcoscos,/.-2sni sm =一①2 2 21Ga+p.a-p1sinsin= ，/.—2COS Sill = ②3 2 2 323a+B—/•tan -2 2a+p2tan丁Asui(a+P)=-―E+tair -2-

3-29-4

X+

21，tan(a+P)=tan -2, 、a+。1-tair -22x22_1254例5求证：sin3sin3+cos3cos3=cos32证明：左边=(sin3sin)sin2+(cos3cos)cos21,

=—(cos42cos2)sin2——(cos4

2+cos2)cos21 1=—cos4sin2+—cos22 21

sin2+—cos4cos221+—cos2

2cos21 1 1=—cos4cos2+—cos2=—cos2(cos4+1)2 2 2=—cos22cos22=cos32=右边/•原式得证2

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一.、a 、a 、a例6试以cosa表示sur—,cos"—Jan"—.\o"CurrentDocument"2 2 2a 、a解：我们可以通过二倍角cosa=2cos2 1和cosa=l-2sm2一来做此题.2 2因为cosa=1—2sin2—，可以得到sin2—=--C0Sa；2 2 2八、a、 ,、 、al+cosa因为cosa=2cos- 1,可以得到cos--= .2 2 2.,asm"—i71-cosa又因为tan-= == .2cos2-l+3a2考虑：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子构造形式的变换.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有构造形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的爰异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联络，这是三角式恒等变换的重要特点.例7把以下各式化成积的形式：⑴COS36+COS。(2)SU154+sin220(3)sin5x-sin3x(4)cos40+cos52(5)cos40-cos52ABC例8a+b+c=180,求证：sillA+sniB+smC=4cos—cos—cos—2 2 2四、稳固深化，反响矫正lft简①Jl+sin80°；②Jl-cos80°:③Jl-sin2a+Jl+sin2a(OK