圆锥曲线几何性质总汇

圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质x2+y2=1（a﹥b﹥0）为例）（以a2b2y1、⊿ABF2的周长为4a(定值)A证明：由椭圆的定义FoAFAF2aBF2AFAFBFBF4a12BFBF2a121212即C4aABF22、焦点⊿PF1F2中：（1）S=b2•tan⊿PF1F22y（2）（S⊿PF1F2）max=bcP（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大证明：（1）在<AFF中F1o12F∵cosPF2PF24c2122PFPF12∴2PFPFcosPFPF22PFPF4c2121212∴PFPF2b21cos12∴S12b2cos1tansinb2PF1F221cos2（S）max=12chbc（2）⊿PF1F22maxPF2PF24c2aexaex4c24a24c2cos222a22e2x21（31200122a2e2x2000

,.xx当x=0时cos有最小值a22c2即∠F1PF2最大a203、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，感谢阅读M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长FM交FP于F，连接OM1 2由已知有PFFPM为FF中点11OM12FF=12PFPF=a122感谢阅读所以M的轨迹方程为 x2y2a24、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切精品文档放心下载证明：取PF的中点M，连接OM。令圆M的直径PF，半径为r谢谢阅读1 1∵OM=1PF12aPFa1PFar222121∴圆M与圆O内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切感谢阅读5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，精品文档放心下载则 ∣IR∣：∣IP∣=e证明：证明：连接FI,FI由三角形内角角平分线性质有谢谢阅读1 2∵IRFRFRFRFR2cPI1212ePFPFPFPF2a1212

,.yMPFoxFyPFoFxyPIF1oRFx∴ PIIRe,.6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。yA证明：令Ax,y,Bx,y到准线的距离为d,d112212以为直径的圆的圆心为M到准线的距离为d。FoFxBAFed∵21AFBFeddBFed221222R1AB2Redd2edd1212d1dd2120pep1Rpd∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣证明：连接AP,AF,PFy11∵APPFAP2aPF2aAPPF211P∵AFAPPFAFA111F·ox∴2aAFAPPF2aAF1FP121∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣精品文档放心下载（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣y8、A为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则PFA（∣PA∣+）min=A到右准线的距离·2eoF证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PFedPFdePF）min=PAd∴（∣PA∣+2=A到右准线的距离.emin9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线x=±a上。证明：令☉I与⊿PFF三边所在的直线相切于M、N、A12∵PMPNFNFAy22MPFPNFM∴P11IFFFNFAN1221∵FMFAFoFA2x11∴PFPNFFFN1122FNFA2 2∴ PFPNFNFFFNFA谢谢阅读1 2 1 2 2 2FNFA22a2c2FA2∴ acFA 即为椭圆顶点。2

,.x,.∴ 焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q证明：令P,Q到准线的距离为d,dy12PFeE2dPFQFPFd12221FQFeddQFdPFPKx21222od2FQFQKK22dPKQP1dQK2由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q谢谢阅读y11、112a(定值)AFBFb2证明：令Ax,y,Bx,yBFx1122o当AB的斜率存在时，设直线AB方程为ykxcykxcA∵y2b2x2a2(k2x22k2cxc2k2)a2b20x2a2b2(b2a2k2)x22a2k2cxa2k2c2a2b20精品文档放心下载∴xx2a2k2cxxa2k2c2a2b212b2a2k212b2a2k2∴AFaex11112aexxa2aexx12e2xxBFaex1AFBFaexaex12121222ae2a2k2c2ac2a2k2cb2a2k2=ab2a2k22a2k2ca2k2c2a2b22a2k2cca2k2c2a2b2a2aea2ae(e2b2a2k2a)2b2a2k2b2a2k2b2a2k22a3k22ab22ak2c22ak2a2c22ab22ak22aa4k2a2b22a2k2c2c4k2b2c2k2b4a2b2b2c2k2b2a2c22ak212ab2b2k21当AB的斜率存在时，11aa2aAFBFb2b2b2112a(定值)AFBFb2yB P

,.AF x12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，b2则KAB•KOPa2（定值）

o证明：令Ax,y,Bx,y，Px,y112200xxxyy则12212y020x2y2111xx.xxyy.yy∵a2b2121212120x2y2a2b2221a2b2yyb2xxx1x2a2y1y2精品文档放心下载1 2 1 2yyy∵kABx1x2，kOPx0120,.1b2∴kABka2OP∴b2kABkOPa213、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别感谢阅读交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣=a2感谢阅读证明：B0,b,B0,b,Nx0,Px,y,Mx0精品文档放心下载12uuuuuv1002uuuuvx,b∴BPx,yb,BM00222BPx,yb,BNx,b10011∵由于B、P、M共线2∴xybxbx000xb2yb20uuuruuuur、P、N共线∵由于PFcx,y,PFcx,y100200∴xybxbx000xb1yb10∴OMONx2b2x2b2AB0000∵x2y21x2b2y2b2x2000b20a20a2b2a2b2y20OMONa214、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，精品文档放心下载则M、N与对应准线的焦点张角为900a2a2x,y，Aa,0A1证明：令M,y,N,y,Pc1c2001a,02uuuruuuurAPxa,y,APxa,y,100200∴uuuura2uuuura2AMca,y,ANca,y1122

yB2Po xN MB1yPMoA2xFN∵ 由于A、P、M共线12x0ay0yy0(ca)感谢阅读a2ay1xa01c∵ 由于A,P,N共线2

,.∴xay0y0ya22ca2y(a2a)∴yy0cxa12

y0

y(a2a)0 ca0a2(ca)y2a4a2c20000x2y21xy2b2∵0000∴yyb2a4a2c2b412a2c2c2uuuura2FMcc,yuuuuruuurb4∵1yyuuura2FMFNc212FNc,y2cuuuuruuur0∴FMFN∴ M、N与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过精品文档放心下载该准线对应的焦点。a2,y证明：设Mc0a2x则AB的方程为cyy10a2b2xy0y1必过点c,0cb2精品文档放心下载

yA MFo xB,.16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。谢谢阅读证明：设Px,y，则过P点的切线l：xxyy1，直线l的法线x交轴于Q0000a2b2直线lrxy的法向量为：n0,0a2b2uuuruuuurm∵PFcx,y,PFcx,y100200yP∴PF2c2x2y22cx2000b2x2lF2c2x22cxb2ox000a2F1a4c2x22a2cxa2cx2000a2a2a2cx2同理PF2a201ruuurcxx2y2cxx2b2b2x2a2cx∵nPF00000001a2b2a2a2a2ruuuura2cx同理nPFa202ruuuura2cxnPF01∴cosFPQa2uuuur2rrcx2PFna2n2n0a2ruuuura2cxnPFa201cosFPQuuuur2rrr2PFna2cxn2na20FPQFPQ1 2即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质（均以x2y21a,b0a2b2

为例：）P,.（1）焦点三角形面积：S b2cot感谢阅读 2(2)、过作∠FPF的内角平行线的重线垂足M的轨迹是x2y2a212yP•F1x•F2M（2）(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与x2y2a2内切，小的圆与x2y2a2外切。谢谢阅读yPF1 F2

x(3)yA(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交F1 F2

,.xB(4)(5)、焦点⊿PF1F2的内切圆心横生标为±a即与实轴的切点一定是实轴端点 y感谢阅读PIxF1 F2(5),.（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值∠MCN＝2arccos1感谢阅读eyBMF1

C xN F2A(6)y(7)、A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=PA+PF＝AF－2aA2min1PxF1F2(7),.(8)、如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，PA＋1PF等于A到右准线的距离e2minyPABxF1F2(8)yP（9）、焦点到渐近线的距离等于bxF1 F2(9)yAPx,.(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值a2b2精品文档放心下载c2（11）、P是弦AB中点K．K＝b2定值yABopa2PBAxOF1F2(11)（12）、P为双线上任一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值1ab感谢阅读2yMPO xF1 F2,.(13)、过P的切线平分∠F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点精品文档放心下载yP12•Fx•F21M（13）,.y（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分①双曲线上的点x2y21渐近线上的点x2y20③③②xa2b2a2b2F1②F2区域①的点x2y2x2y2①1区域②的点1(14)a2b2a2b2区域③的点0x2y21a2b2过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域①的点作切线分别谢谢阅读在两支上，过区域③的点作切线切点在同一支上，过区域②的点没切线，双曲线的切线斜率kba，区域①、②的精品文档放心下载点可作弦的