数字电子线路逻辑电路

2逻辑函数及其化简2.1

基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式2.3

逻辑函数的代数变换和化简2.4逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法2.5用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数

1)熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则。2)掌握逻辑代数的变换、化简（代数法和卡诺图法）基本要求:作业：2.6奇数，2.8，2.10偶数，2.13奇数，2.21偶数，2.23（1）、（2）电子技术基础精品课程——数字电子技术基础*逻辑运算:

当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。

逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数。逻辑运算的描述方式:逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（HDL)等。*逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0和1两个可取值，它们分别用来表示完全两个对立的逻辑状态。

在逻辑代数中，有与、或、非三种基本的逻辑运算。2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础1）非运算：

L与A相反小圆圈“。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。LALVA非运算实例R0110LA非实例的真值表不亮闭亮断灯状态A非实例的状态1AL非运算符号2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮S1S2灯电源

2）与运算

(1)与逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

逻辑真值表ABL001010110001与逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式与逻辑：L=A·Ｂ=AB

与逻辑符号ABL&ABL

（2）与运算运算法则：有0即0,全1为1。2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础电路状态表开关S1开关S2灯断断灭断合亮合合断亮合亮

3）或运算

(1)只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。S1灯电源S2或逻辑举例2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础逻辑真值表ABL001010110111或逻辑举例状态表开关S1开关S2灯断断灭断合灭合合断灭合亮逻辑表达式或逻辑：

L=A+Ｂ

或逻辑符号ABLBL≥1A

(２)或运算运算法则：有1即1,全0为0。2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

两输入变量与非

逻辑真值表ABL001010111110ABLAB&L与非逻辑符号5)几种常用复合逻辑运算与非逻辑表达式L=A·B(1)与非运算2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础两输入变量或非

逻辑真值表ABL001010111000ABL≥1BAL或非逻辑符号(2)或非运算L=A+B或非逻辑表达式2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

(3)异或逻辑若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。异或逻辑真值表ABL000101011110BAL=1ABL异或逻辑符号异或逻辑表达式L=A

B相同为0，相异为12.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

(4)同或运算

若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。同或逻辑真值表ABL001010111001B=ALABL同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式相同为1，相异为02.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路L=AB+=A

B

O∙异或与同或之间的关系？电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

1）基本公式交换律：A+B=B+AA·B=B·A结合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互补律：2.2.1逻辑代数的基本公式、定律和恒等式2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础重叠律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律：

其它常用恒等式：

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式冗余项定律：电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

2.2.2逻辑代数的基本规则

1）代入规则

在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC

代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围。2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式----用于扩充公式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。（运算符、变量、二值逻辑值都变化）2）反演规则例2.1.1试求的非函数解：方法一：直接对单个变量用反演规则，得：

2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式----用于求反函数方法二：先对函数子式、再对单个变量，逐层用反演规则得：

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：

（1）保持运算的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)，必要时加括号表明，如上例。

（2）变换中，如果直接针对单个变量应用反演率时，多个变量（一个以上）的公共非号保持不变。2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式例如：

解：

方法一：直接针对单个变量应用反演定律电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：

（1）保持运算的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)，必要时加括号表明，如上例。

（2）变换中，如果直接针对单个变量应用反演率时，多个变量（一个以上）的公共非号保持不变。2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式例如：

解：

方法二：先对函数子式，再对单个变量逐次利用反演定律电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

对于任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。（运算符、二值逻辑值变化）例:逻辑函数的对偶式为3）对偶规则对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。

利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式----用于扩充公式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础abcdAB～1）真值表表示开关

A灯下下上下上下上上亮灭灭亮开关

B开关状态表例如，楼道开关电路----罗列逻辑函数因变量与自变量所有可能数值关系的数表。

2.3逻辑函数的代数变换和化简

2.3.1逻辑函数的表示方法已知逻辑事件步骤：a.列状态表电子技术基础精品课程——数字电子技术基础abcdAB～

逻辑真值表ABL001100010111

2.3逻辑函数的代数变换和化简1）真值表表示

2.3.1逻辑函数的表示方法(4种)c.列真值表b.逻辑抽象：A、B:向上—1向下--0L:亮---1;灭---0确定变量、函数，并赋值开关:变量A、B灯:函数L电子技术基础精品课程——数字电子技术基础2）逻辑函数表达式表示逻辑真值表ABL001100010111

逻辑表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。例：已知某逻辑函数的真值表，试写出对应的逻辑函数表达式。

2.3逻辑函数的代数变换和化简把真值表中L为1的项相或，得电子技术基础精品课程——数字电子技术基础用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图。3）逻辑图表示方法将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来，就得到图电路所对应的逻辑图。

例：已知某逻辑函数表达式为，试画出其逻辑图。

2.3逻辑函数的代数变换和化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

真值表ABL000101011110

4）波形图表示方法用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。

2.3逻辑函数的代数变换和化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础“或-与”表达式“与非-与非”表达式

“与-或-非”表达式“或非－或非”表达式“与-或”表达式

2.3逻辑函数的代数变换和化简1)逻辑函数的最简单形式的定义

在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中，将其中包含的与项数(乘积项)最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。

2.3.2逻辑函数的代数化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础2)逻辑函数的代数化简法

化简的主要方法

（１）公式法（代数法）

（２）图解法（卡诺图法）代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。

并项法:

利用

2.3.2逻辑函数的代数化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础吸收法：

利用

A+AB=A

消去法：利用

配项法：利用

2.3.2逻辑函数的代数化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础要求：(1)最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；

（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。

解：例2.1.7已知逻辑函数表达式为

2.3.2逻辑函数的代数化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例2.1.8试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：

2.3.2逻辑函数的代数化简电子技术基础精品课程——数字电子技术基础1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：2.4逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法电子技术基础精品课程——数字电子技术基础*最小项：(1)n个输入变量的最小项是n个因子的(与式)乘积；、

而，、A(B+C)等则不是最小项。例如，A、B、C三个逻辑变量的最小项有（23＝）8个，即1)逻辑函数的最小项表达式2.4.1

逻辑函数的标准形式(2)每个乘积项中的输入变量可以是原变量，或反变量；(3)同一输入变量的原、反变量不同时出现在同一乘积项中；(4)n个变量的最小项应有2n个。

*最小项表达式：由最小项构成的与--或形式的逻辑函数式。某逻辑函数的最小项表达式是唯一的。(5)最小项用mi表示，i=0~n-1,称为编号。电子技术基础精品课程——数字电子技术基础*最大项表达式：由最大项构成的或---与形式的逻辑函数式。某逻辑函数的最大项表达式是唯一的。最大项：(1)n个变量的最大项是n个变量的或(和)项；例如，A、B、C三个逻辑变量的最大项有（23＝）8个，即2)逻辑函数的最大项表达式2.4.1

逻辑函数的标准形式A(B+C)，等则不是最大项。

而，

(2)或项中的变量可以以原变量或反变量形式出现；(3)相同变量的原、反变量不能同时出现在同一个或项中。(4)n个变量的最大项有2n个。

(5)最大项一般用Mi表示，i=0~n-1。(本教材用Ni表示)电子技术基础精品课程——数字电子技术基础(3)对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。(1)对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；(2)对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；三个变量的所有最小项的真值表

最小项的性质

输入变量的不同取值

2.4.1

逻辑函数的标准形式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础最小项的编号

三个变量的所有最小项的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m

表示最小项,下标i为最小项的编号，对应于最小项的变量取值。2.4.1

逻辑函数的标准形式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项(与式)都是最小项。例1将化成最小项表达式=m7＋m6＋m3＋m5

逻辑函数的最小项表达式：2.4.1

逻辑函数的标准形式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例2将

化成最小项表达式a.去掉非号b.去括号2.4.1

逻辑函数的标准形式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例如，4个变量的最小项：结论：变量个数相同，项编号一致的最小项表达式与最大项表达式互为反函数。3)

最小项表达式与最大项表达式的关系2.4.1

逻辑函数的标准形式又，4个变量最小项表达式：电子技术基础精品课程——数字电子技术基础1)卡诺图卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m62.4.2

用卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础0100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三变量卡诺图四变量卡诺图AB1010两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB2.4.2

用卡诺图化简逻辑函数

m0

m1

m2

m300011110AB电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

(1)n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；(2)任何两个相邻的方格变量的取值只有一个发生变化。称为相邻项;(3)上述相邻项的特点可以扩展到任何相邻的2m个方格;2)卡诺图的特点-----卡诺图具有循环邻接的特点2.4.2

用卡诺图化简逻辑函数(4)最上一行与最下一行之间为相邻项，但最上一行的项必须是相邻的项，最下一行的项也必须是相邻的项，且上下位置对称。如四变量卡诺图m1,m3,m9,m11是相邻项。(5)最左一行与最右一行之间为相邻项，但最左一行的项必须是相邻的项，最右一行的项也必须是相邻的项，且左右位置对称。如四变量卡诺图m4,m12,m6,m14可以合并，而m4,m8,m6,m10则不是相邻项。电子技术基础精品课程——数字电子技术基础3)已知逻辑函数画卡诺图

当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例1：画出逻辑函数L(A,B,C,D)=(0,1,2,3,4,8,10,11,14,15)的卡诺图2.4.2

用卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础卡诺图的应用：化简逻辑函数。方法：函数表达式中包含最小项的相应方格填入1，不包含最小项的对应方格填入0或空着。00011111100000110001111000CDAB011110例2:L（A,B,C,D）则其卡诺图为：=∑m(0,1,6,8,12,13,14,15)2.4.2

用卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例3画出下式的卡诺图00000解:1)利用最大项表达式与最小项表达式之间的关系，2)填写卡诺图2.4.2

用卡诺图化简逻辑函数将最大项表达式化为最小项表达式电子技术基础精品课程——数字电子技术基础1)化简的依据2.5

用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数卡诺图的相邻项特点是其化简逻辑函数的依据。可以用相邻项的性质进行并项，并且消去多余因子。

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础1)化简的依据卡诺图的相邻项特点是其化简逻辑函数的依据。可以用相邻项的性质进行并项，并且消去多余因子。

卡诺图化简逻辑函数的原理:（1）2个相邻的最小项相或，可以消去1个取值不同的变量而合并为包含三个相同变量的l项。（2）4个相邻的最小项相或，可以消去2个取值不同的变量而合并为包含2个相同变量的l项。（3）8个相邻的最小项相或，可以消去3个取值不同的变量而合并为包含1个相同变量的l项。2.5

用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础2)化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：(4)将所有包围圈对应的乘积项相加。(1)将逻辑函数写成最小项表达式(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。(3)合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。本书中包围圈用虚线框表示。2.5

用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础画包围圈时应遵循的原则：

（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（4）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。（1）包围圈内的方格数一定是2n个。合并相邻项后，一个包围圈对应一个与项，包围圈越大，所得的与项变量数就越少，包围圈的个数越少，合并后的与项也越少，所得到的逻辑表达式才是最简式。2.5

用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例4:用卡诺图法化简下列逻辑函数（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式

解：(1)由L画出卡诺图(0，2，5，7，8，10，13，15)2.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

2.5

用逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数电子技术基础精品课程——数字电子技术基础合并相邻项L的最简式为：例5：L(A,B,C,D)00011111100000110001111000CDAB011110还有其他结果吗？函数式的非最小项表达式不是唯一的。2.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础0111111111111110例6:用卡诺图化简0111111111111110方法二：对原函数的卡诺图圈0进行化简得到反函数的化简结果，再求出原函数。方法一：对原函数的卡诺图圈1进行化简。2.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例7:已知一个逻辑函数的真值表，试先写出逻辑函数表达式，再利用卡诺图化简，并转换为与非-与非式。解：

L(A,B,C,D)=∑m(0,4,5,8,10,12,15)将真值表中所有使输出为1的项相或

2.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础最简与非—与非式：10010101001100010001111000CDAB0111102.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例、用卡诺图化简下列逻辑函数：解：这类题考查用卡诺图化简逻辑函数的能力。则：F3=∑m(1,3,4,5,8,9,13,15)111111110001111000CDAB011110L1如果，则：如果，哪种方法更恰当？2.5.1已用最小项表示逻辑函数的卡诺图化简

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例：

化简逻辑函数00000解:利用最大项表达式与最小项表达式之间的关系，将最大项表达式化为最小项表达式2.5.2未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图化简法

化简得：电子技术基础精品课程——数字电子技术基础11111111001010110001111000CDAB011110例：解：方法一、2.5.2未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图化简法

方法一：直接化为最小项表达式，或将原函数变形为与或式，再用相邻项合并后的与式反推填写卡诺图。

方法二：将原函数分成若干个子式，先分别画出子式的卡诺图，再将子式的卡诺图进行相应的“与”或者“或”运算

由卡诺图化简得：电子技术基础精品课程——数字电子技术基础例：解：方法二、令则：

2.5.2未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图化简法

方法二：将原函数分成若干个子式，先分别画出子式的卡诺图，再将子式的卡诺图进行相应的“与”或者“或”运算

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础合并相邻项后的逻辑函数:

2.5.2未用最小项表达的逻辑函数的卡诺图化简法

电子技术基础精品课程——数字电子技术基础

对不允许出现的输入变量取值组合加以约束条件，而使约束条件为1的所有输入变量组合所表示的逻辑函数的最小项即为约束项。2.5.3含无关项的逻辑函数的卡诺图化简2)任意项

逻辑函数输入变量的某组取值，使逻辑结果是任意（0或1都可以）；或者这些变量的取值根本不会出