第2章 二进制数值和记数系统

第2章二进制数值和记数系统

目标

区分数字分类描述位置记数法把其他基数的数字转换成十进制把十进制数转换成其他基数的数字描述基数2、8和16之间的关系解释以2的幂为基数的计算的重要性

第1章计算机全景图2.1数字和计算2.2位置记数法2.1数字和计算数字：抽象数学系统的一个单位，服从特定的顺序法则、加法法则和乘法法则自然数：0或通过在0上加1得到的任何数 例如：100,0,45645,32负数：小于0的数，是在相应的正数前加负号 例如：-24,-1,-45645,-32整数：自然数，自然数的负数或0 例如：249,0,-45645,-322.1数字和计算有理数：整数或两个整数的商（不包括被0除的情况） 例如：-249,-1,0,3/7,-2/52.2位置记数法943这个数表示多少实体呢?9个100+4个10+3个1?Or900个1+400个1+3个1?2.2位置记数法基数：记数系统的基本数值，规定了这个系统中使用的数字量和数位位置的值6在基数为10的情况下（即10进制下），642表示为:

6x102=6x100=600 +4x101=4x10=40 +2x10º=2x1=2=642inbase10数值数位2.2位置记数法位置记数法：一种表达数字的系统，数位按顺序排列，每个数位有一个位值，数字的值是每个数位和位置的乘积之和。位置记数法更正式的定义是：记数系统的基数的多项式表示的值。6NR=(dndn-1…d1d0.)R

dn*Rn-1+dn-1*Rn-2+...+d2*R+d1

位置记数法实际上是多项式记数法省略各位权值和运算符号并增加小数点(小数点也称为基点)后的简记形式。例如：多项式记数法的表示式为NR=(rn-1rn-2…r1r0.r-1r-2…r-m)R

例如，十进制数(215.12)10的多项式表示式（也称按权展开式）为(215.12)10=102×2+101×1+100×5+10-1×1+10-2×2计算机系统采用二进制数字装置简单可靠二进制数运算规则简单数字电路既可以进行算术运算，也可以进行逻辑运算人类逻辑思维方式倾向于二值：真和假，有和无数制

数制(NumberSystem)是人类表示数值大小的各种方法的统称。迄今为止，人类都是按照进位方式来实现计数的，这种计数制度称为进位计数制，简称进位制。大家熟悉的十进制，就是一种典型的进位计数制。一种数制中允许使用的数符个数称为这种数制的基数(Radix)或基(Base)，R进制的基就等于R。设一个R进制数NR包含n位整数和m位小数，其位置记数法的表示式为NR=(rn-1rn-2…r1r0.r-1r-2…r-m)R

2.2.1进位计数制其中，ri为R进制数NR第i位的有效数符，ri

为“1”时所表示的数值大小称为该位的“权(power)”。“权”的概念表明，处于不同位置上的相同数符所代表的数值大小是不同的。例如十进制数(215.12)10，最高位和最低位均为2，但它们所代表的数值却分别为200（102×2）和0.02（10-2×2）；同样，次高位和次低位都为1，但它们所代表的数值却分别为10（101×1）和0.1（10-1×1）。2.2.1进位计数制12十进制计数符号:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.进位规则:逢十进一.例:

1987.45=1×103+9×102+8×101+7×100+4×10-1+5×10-22.2.1进位计数制13(3)十进制数按权展开式2.2.1进位计数制14二进制

二进制是数字电路中广泛使用的进位计数制。二进制数中有0、1两个数码，计数的基数为2，低位和高位之间的关系为“逢二进一”。 任何一个二进制数均可展开成如下的形式：

可以以此来求出二进制数对应的十进制数，例如：2.2.1进位计数制15二进制运算规则（1）加法规则0+0=00+1=11+0=01+1=0（向相邻高位进1）（2）减法规则

0-0=10-1=1（向相邻高位借1）1-0=11-1=0（3）乘法规则

0×0=00×1=01×0=01×1=1(4)除法规则

0÷1=01÷1=1

2.2.1进位计数制16二进制算术运算

【例1】已知X=(1011)2，Y=(1101)2，试计算X+Y的值。解二进制数的加法规则是逢2进1，由竖式加法得

X+Y=(11000)2其中，竖式上方的小圆点为相邻低位的进位。2.2.1进位计数制【例2】已知X=(1101)2，Y=(1011)2，试计算X-Y的值。解二进制数的减法规则是借1为2，由竖式减法得X-Y=(10)2其中，竖式上方的小圆点为相邻低位的借位。

【例3】已知X=(1011)2，Y=(100)2，试计算X×Y的值。解二进制数的乘法规则是1×1=1，1×0=0×1=0×0=0，由竖式乘法得

X×Y=(101100)2

同时，由竖式乘法也可以看出，二进制数乘法运算由加法运算和左移位操作组成。当乘数为2k时，将被乘数左移k位（右侧添0）即可求得乘积。1011100000000001011101100×

【例4】已知X=(10101)2，Y=(100)2，试计算X÷Y的值。解二进制数除法是乘法的逆运算。由竖式除法得：X÷Y=(101.01)2同时，由竖式除法也可以看出，二进制数除法运算由减法运算和右移位操作组成。20八进制

八进制数中有0~7八个数码，计数的基数为8，低位和高位之间的关系为“逢八进一”。

任何一个八进制数均可展开成如下的形式：

可以以此来求出八进制数对应的十进制数，例如：2.2.1进位计数制21十六进制

十六进制数中有0~9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)等16个数码，计数的基数为16，低位和高位之间的关系为“逢十六进一”。

任何一个十六进制数均可展开成如下的形式：

可以以此来求出十六进制数对应的十进制数，例如：2.2.1进位计数制22思考题：写出4位二进制数、4位八进制数和4位十六制数的最大数；写出与4位二进制数、4位八进制数和4位十六进制数的最大值等值的十进制数各为多少？2.2.1进位计数制23二—

十进制转换 将二进制数转换为等值的十进制数称为二—十转换。按如下式展开即可。

例如：2.2.2数制转换24十—二进制转换

十进制数转换为等值的二进制数时，需将待转换的数分成整数部分和小数部分。十进制数可表示为：

(N

)10=<整数部分>10.<小数部分> 10分别将整数部分和小数部分转换二进制表示，就可以写成：(N)2=<整数部分>2.<小数部分>22.2.2数制转换25十—二进制转换1.整数的转换 假设十进制数为S，等值的二进制数为knkn-1...k0，则有：该式表明，将十进制数除以2，得到的余数将是二进制整数的最低位。依次类推，将所到的商再除以2，就可以依次得到二进制整数的每