《探索勾股定理》同步习题2020-2021年数学北师大新版八

《1.1探索勾股定理》同步习题2020-2021年数学北师大新版八

（上）

一.选择题（共10小题）

1.如图，在RtAABC中，ZC=90%AC=5,BC=\2,则AB=()

C.14D.15

3c=6,则他的长为()

C.2币D.28

3.如图RtAABC中，N班C=90。，分别以边回，CA,8C向外作正方形，正方形钻出

的面积为25,正方形ACFG的面积为144,则正方形8DEC的面积是（）

A.130B.119C.169D.120

4.直角三角形的两直角边的长分别为3,5,第三边长为（）

A.4B.AC.4或后D.4和后

5.在RtAABC中，ZC=90%AB=2AC,若AC=6,则的长为（）

A.8B.12C.6GD.12>/3

6.在直角三角形中，若两条边的长分别是la”、2cm,则第三边的长为（）

A.3cmB.\/5cmC.2cm或小cmD.6ctn或后cm

7.设一个直角三角形的两直角边分别是a,b,斜边是c.若用一把最大刻度是20a”的直

尺，可一次直接测得c的长度，则“，人的长可能是（)

A.a=12,0=16B.a=ll,b-VlC.a=10,/?=18D.a=9,Z?=19

8.将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点8在即上，AB//CF,

=ZACB=9Q°,NE=45。，ZA=60°.AC=10,则C£>的长度是（）

A.5B.5石C.10-5>/3D.15-56

9.如图，在RtAABC中，ZC=90°.比>平分NABC,AB=5cm,BC=3cm,贝ijAD的

10.如图，在RtAABC中，44cB=90。，分别以AB,AC,BC为斜边作三个等腰直角,

MCE,MiCF,图中阴影部分的面积分别记为S,S2,S,,S4,若已知RtAABC的面积,

则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）

A.S4B.Sj+S4-53C.S,+S,+S4D.S[+S,—S3

填空题（共5小题）

11.在RtAABC中，/C=90。，a,b,c,为三边长，若a=6,c=10,则RtAABC的面积

为—,

12.若一个直角三角形的三边长为6,8,x,则犬=.

13.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形钻8,中间阴影部分是一个小正方

形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则正方形EFG”的面积

14.如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,分别以AC,BC,AB为直径作半圆，面积

分别记为S2,S,,若邑=9万，则鸟+邑等于.

o

ZADE=4509BE=—,8=1,则3C

2

16.如图，AABC中，AB=4板，ZABC=45°,。是3c边上一点，且若

BD-DC=\.求£>C的长.

ZC=90°,AC=8,AB=10,4?的垂直平分线分别交回、AC

18.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点尸从点台出发沿射线BC

以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.

(1)求边的长；

(2)当AA3尸为直角三角形时，求/的值.

19.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形.例

如：某三角形三边长分别是5,6和8,因为6+T=4x5?=100,所以这个三角形是常态三

角形.

(1)若A48c三边长分别是2,垂)和4,则此三角形—常态三角形(填''是"或“不是”

)；

(2)若RtAABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为—(请按从小到大排列)；

(3)如图，RtAABC中，ZACB=90°,BC=6,点力为A3的中点，连接C£),若ABC。

是常态三角形，求AABC的面积.

20.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向

外侧作多边形，它们的面积邑，魇之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究：

(1)如图2,在RtAABC中，8c为斜边，分别以AB,AC,8c为直径，向外侧作半圆,

则面积s「s2,邑之间的关系式为;

推广验证：

(2)如图3,在RtAABC中，BC为斜边，分别以舫，AC,3c为边向外侧作AA如，AACE,

MCF,满足N1=N2=N3,NZ)=NE=NF,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成

立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用：

(3)如图4,在五边形中，ZA=ZE=ZC=105°,ZABC=90°,AB=2^3,DE=2,

点P在AE上，ZABP=30°,PE=0,求五边形ABCOE的面积.

参考答案

选择题（共10小题）

1.解：在RtAABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=^52+122=13.

故选：B.

2.解：RtAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,

根据勾股定理知，AB=y/AC2+BC2=y/s2+62=10.

故选：B.

3.解：在RtAABC中，ABAC=90°,

由勾股定理得：AB2+AC2=BC2,

•••正方形ABIH的面积为25,正方形ACFG的面积为144,

/.AB2=25,AC2=144,

BC2=AB2+AC2=25+144=169,

正方形BDEC的面积为BC2=169.

故选：C.

4.解：•.•直角三角形的两直角边的长分别为3,5,

由勾股定理得：

第三边的长13?+52=癌.

故选：B.

5.解：•.,AABC为直角三角形，且NC=90。，

/.AB2=AC2+BC2,

.AB=2AC,

.-.3AC2=BC2=108,

解得8c=66,

故选：C.

6.解：①若直角边长分别为1cm、1cm,

则由勾股定理可得斜边长为：=石（5）；

②若斜边为2c〃?，则第三边为直角边，由勾股定理得：

J2?-F=瓜cm）.

综上，第三边的长为VSCMI或\[5cm.

故选：D.

7.解：•.•4=12,匕=16,

斜边c=y/a2+b2=^122+162=20,

•.•£2=11,b=17,

斜边c=yja2+b2=Vll2+172=>/410>20,

\,a=l0,/?=18,

斜边c=yla2+b2=Vio2+182=7424>20,

,.,々=9,b=19,

^^c=yla2+b2=^92+192=5/442>20,

•.•最大刻度是20s的直尺，可一次直接测得c的长度,

一.a=12,h=\6f

故选：A.

DC

在AAC8中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=10,

:.ZABC=30°,BC=10xtan60°=10V3,

-.-AB//CF,

.•.BM=BCxsin30°=10员工=5G，

2

CM=BCxcos30°=15,

在△£田中，N产=90。，ZE=45°,

,-.ZEDF=45°,

:.MD=BM=5也,

:.CD=CM-MD=\5-5.

故选：D.

9.解：法一、如图，过点。作。EL钙于点E,

平分ZAfiC,ZC=90°.DELAB,

DE=DC,

在RtABCD和RtABED中,

DC=DE

BD=BD

RtABCD三RtABED(HL),

:.BE=BC=3cm,

AB=5cm，

/.AE=AB-BE=2cm，

在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

:.AC^y/AB2-BC2=4cm,

设AD-xcm,则DE=DC=AC-AD=(4-x)cm,

在RtAADE中，AE2+DE2=AD\BP22+(4-x)2=x2,

解得x=2.5,

/.AD=2.5cm.

故选：A.

法二、如图，过点。作。石，AB于点石,

B

由法一可知，DE—DC，BE=BC=3cm,

RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,

由勾股定理可得AC=4cm,

设DE=tcm,则CD=tcm,

/.AD=(4-t)cm,

v=-ABDE=-ADCD,

：.ABDE=ADCD,即5f=3(4-。，

解得，=1.5,

/.AD=2.5cm,

故选：A.

10.解：设AC=a,BC=b,

SMBC=；ab,

AB=4AC'+BC2=4a1+h2,

在等腰直角三角形中，

22

-

AE=EC=血2

与

生-

CF=BF=力2

在RtAAED中,

'a2+b2a2应，

ED=>]AD2-AE2==——b,

22---2

5

DC=EC-ED=—(a-b),

1忆板」-11,IC

A.S.——A.E,ED=—•—b♦—a=—cib=一,一cib=—,S^

22224222AA"ftr

已知RtAABC的面积，可知邑，

故54能求出确切值;

B：设AC与BD交于点M,

则$3+53=5.”《CDAEf争…、去=早,

2,2222

■-(SS^)-(SS^)=S-S=^-a-ab_b+ab_b1

t+DM3+DMliF———4—~~4+2SSABC，

则S「S3与b有关,

.♦•求不出确切值：

C：设AC交B£)于点M,则48ra,=[尸£>BF=J・巫a史。=生

由22224

cc1y/2应1/2u\

••SMW+S3=2•方-(〃-〃)•《-。=w("一")’

2

S&BCM+S3=S2CD=^-CDBF=^~(a-b)--b=^(ab-b),

S瓯M+SI=S“BC9

1b2b2

S.=-BF2—•—=—

22224

9

S2+S3+S4=S梯形AEF8_SAAB。_&ABC+*^i

S2+S34-S4=S1

*/S[无法确定，

无法确定c；

D：由B选项过程得$3=2詈，

又「S=--—b2,

222

2

得到：S]+S2-S3+；必=g〃

此时B+S2-S3与有关，无法求出确切值.

故选：A.

二.填空题（共5小题）

11.解：在RtAABC中，ZC=90°,a=6,c=10,

由勾股定理得：b=\Jc2—a2=A/102—62=8,

RtAABC的面积=k“xA=k6*8=24,

22

故答案为：24.

12.解：当8为直角边时，由勾股定理可得：X=V62+8=210,

当8为斜边时，由勾股定理可得：X=V82-62=277,

故答案为：10或2疗.

13.解：直角三角形直角边的较短边为J10?-8?=6,

正方形EFG//的面积=10x10-8x6+2/4=100-96=4.

故答案为：4.

14.解：•••NACB=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

c_,AC、21c_,BC、21c_“21

S|=^(—)X->S2=?r(—)x-,S3=^,(―)X-,

,AC、，1,BC、,1AB.10

..c514-c52=^r(--)x-+^r(—)x-=^(—)x—=5»

乙乙乙乙乙乙3

,/$3=9万,

S、+S『9兀，

故答案为：9万.

15.解：作NABC的平分线8尸交AC于尸，连接。尸交54的延长线于H,

所以设NAB/7=NC8/7=x,

所以N8AO=90—x,

ZADB=90-x

所以Nfi4D=NAD8,

所以AB=8Z),

又因为NAED=45+x,

ZEDH=45+x,

所以ZAED=/EDH,

所以EH=HD,

在AAFH和ADFC中，

因为"77=/。©,AF=FD,ZHAF=ZFDC,

所以MFH=ADFC(ASA),

所以AW=CD=1,HF=CF,AF=FD,

设AE=in,

g

所以A5=3£>=m+—,

2

所以3C=m,

2

AC=HD=HE=m+l,

在RtAABC中，由勾股定理得：

Q11

(m+—)2+Q%+1)2=(m+—)2,

解之得小=3,

所以8c=8.5,

故答案为：8.5.

H

三.解答题（共5小题）

16.解：过点A作AE_L5C于点£,如图所示.

\AD=AC,AEA.BC,

:.ZAEB=90°,DE=CE.

­.ZABC=45°,

.•.ZS4E=45。，

AE=BE.

在RtAABE中，AB=46,

：.AE2+BE2=AB2,即8炉+3炉=（4夜尸，

:.BE=4,

:.BD+-DC=4.

2

又YBD-DC=l,

DC+l+-DC=4,

:.DC=2.

BDEc

17.解：在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,AB=[0,

BC=^AB2-AC2=V102-82=6,

连接BE,

D

E

CB

•.,•DE垂直平分45,

：.AE=BE,

i^AE=BE=x,则CE=8-x,

在RtABCE中，VBC2+CE1^BE1,

62+(8-x)2=x2,

解得x=至，

4

-25

A.E=—♦

4

18.解：(1)在RtAABC中，

由勾股定理得：BC2=AB2-AC2=52-32=16,

/.BC=4cm.

①当/记3为直角时，

如图①，点P与点C重合，

BP=BC=4cm,

/.r=4：

②当NfiAP为直角时，

如图②，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,

在RtAACP中，AP2=AC2+CP2^32+(t-\)2,

在RtABAP中，AB2+AP2=BP2,

即52+32+(r-4)2=/，

解得公竺.

4

答：当AABP为直角三角形时，/=4或生.

4

19.解：⑴2?+4?=4x(@2=20,

.•.AA8C三边长分别是2,石和4,则此三角形是常态三角形.

故答案为：是；

(2),.•RtAABC是常态三角形，

设两直角边长为：a,b,斜边长为：c,

则。2+后=/,a2+c2=4b2,

则2a2=3凡

故a:〃=6：&.

.,.设a=Gx,h=J2x,

则c=加x,

.••此三角形的三边长之比为：近:6:非.

故答案为：应:退：6;

(3)•.♦RtAABC中，ZACB=9O°,8C=6,点。为A8的中点，ABC£)是常态三角形,

.,.当AD=3£>=£>C,CEr+BEr=4x62Eft，

解得：BD=DC=6立,

则AB=120,

故AC=J(120)2-6?=6#j,

则AABC的面积为：1x6x6币=18币.

2

当AD=BD=DC,CD2+BC2=4xBD2,

解得：BD=DC=26,

则AB=4G

故AC=2X/5,

贝ljAABC的面积为：-X6X2>/3=6A/3.

2

故AA8c的面积为18币或6G.

20.解：类比探究

(1)S,+s2=s3.

证明如下：

S-,=_TTC->S,—_7tci~,S,=_7rh~,

381828

S,+S,=-7rCl~4--兀b?——7tC~=Sa；

1-8883

(2)结论仍然成立，

理由如下：•.♦/1=N3,ZD=ZF,

.SM。®_(ABy,

S*BFCAC

同理可得：&