章复变函数和解析函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。

——（英）R.培根10/10/1第1页教材及指导书一、教材：胡嗣柱等编著，《数学物理方法》，第二版，北京大学出版社，7月二、主要参考书：于涛等编《数学物理方法知识关键点与习题解析》，哈尔滨工程大学出版社，6月成绩测定：作业20%＋上课出席参加10%＋考试70%联络方式：zyx@10/10/2第2页课程讲授计划第一章复变函数和解析函数（5）第二章复变函数积分柯西定理和柯西公式（5）第六章点源和瞬时源函数（2）第七章傅里叶变换和色散关系（6）第八章线性常微分方程级数解法和一些特殊函数（8）第九章数学物理方程定解问题（6）第十章行波法和分离变量法本征值问题（6）第十一章积分变换法（4）第十二章球坐标下分离变量法（8）第十三章柱坐标下分离变量法Bessel函数（8）10/10/3第3页上篇复变函数论复变函数论（theoryofcomplexfunctions）目标：

把微积分延伸到复域。使微分和积分取得新深度和意义。10/10/4第4页主要内容:

1

复变函数和解析函数2复变函数积分柯西定理和柯西公式

3复变函数级数泰勒级数和洛朗级数等（自学）4解析函数（自学）

5定积分计算（自学）

6δ函数

其余拉普拉斯变换内容（自学）7傅立叶变换和色散8线性常微分方程级数解法和一些特殊函数10/10/5第5页第一章复变函数和解析函数虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。10/10/6第6页目标与要求：掌握复变函数基本概念和复函数可导必要条件、掌握解析函数概念、函数解析充要条件、复势概念。教学重点：柯西-黎曼条件、复变函数解析充要条件；教学难点：柯西-黎曼条件与复变函数可导充要条件、复变函数解析充要条件学习要求与内容提要10/10/7第7页莱昂哈德·保罗·欧拉（LeonhardPaulEuler，174月15日－1783年9月18日）是一位瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉在数学多个领域，包含微积分和图论都做出过重大发觉。他引进许多数学术语和书写格式，比如函数记法"f(x)"，一直沿用至今。另外，他还在力学、光学和天文学等学科有突出贡献。欧拉是18世纪出色数学家，同时也是有史以来最伟大数学家之一。他也是一位多产作者，其文学著作约有60-80册。法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾这么评价欧拉对于数学贡献：“读欧拉著作吧，在任何意义上，他都是我们大师”10/10/8第8页1.0问题提出负数有对数吗？Bernoulli：负数对数是实数Leibniz：不可能有负数对数只对正数成立Euler：在1747年指出差一常数1740年，Euler给Bernoulli信中说：和是同一个微分方程解，所以应该相等1743年，发表了Euler公式Euler把作为特殊数10/10/9第9页(1).复数代数形式对虚数单位要求:1.1复数基本概念显然，此方程在实数集中是无解。1。

2考虑解方程：-=x为了求出方程解,引入一个新数i,称为虚数单位.1复数及其代数运算i2=–110/10/10第10页定义i-虚数单位满足：i2=-1虚部记做：Imz=y实部记做：Rez=x{}

称为为复数集,,|RyxiyxzzCÎ+==.

,,

为复数称对于iyxzRyx+=Î"

;

,

0

,0

称为纯虚数时当iyzyx=¹=

.

,0

,

0

xixzy我们把它看作实数时当+==10/10/11第11页

两复数相等当且仅当它们实部和虚部分别相等.

复数

z

等于0当且仅当它实部和虚部同时等于0.说明两个数假如都是实数,能够比较它们大小,假如不全是实数,就不能比较大小,也就是说:设：z1=x1+i·y1

z2=x2+i·y2复数不能比较大小!!!10/10/12第12页（2）复平面表示与复数三角式复数矢量表示法

复数z=x+iy能够用平面上一个点（x,y）或一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚轴，而把这种用来表示复数平面叫复平面。oxyP(x,y)xy

10/10/13第13页显然由复数复平面表示，有以下各式成立

复矢量长度称为复数模或绝对值如图：那么复数（复矢量）能够表示为复数三角表示式oxyP(x,y)xy

10/10/14第14页说明幅角不确定.

.arg

,

,

,

0

=¹zzoPzz记作幅角称为为终边角弧度数向量以表示以正实轴为始边情况下在,0有没有穷多个幅角任何一个复数¹z

,是其中一个幅角假如全部幅角为那么

z

).(

π2arg为任意整数kkz+=

,0

,

0

,==zz时当特殊地oxyP(x,y)xy

10/10/15第15页幅角主值定义:复数三角函数表示式利用欧拉公式复数能够表示成复数指数表示式(3)复数指数函数表示

).(

π2arg为任意整数kkz+=在z(≠0)幅角中，把位于０<<2π

称为argz主值。而复数辐角与幅角主值间相关系10/10/16第16页设z1=x1+iy1和

z2=x2+iy2是两个复数加减z1±

z2=(x1+iy1)

±

(x2+i

y2)

=(x1±

x2)+i(y1±

y2)（4）复数运算规则(注:利用到实数特例时,能够与实数运算规则相符)乘法两个复数相乘等于它们模相乘，幅角相加10/10/17第17页除法两个复数相除等于它们模相除，幅角相减n次幂n次根幂迫近10/10/18第18页共轭共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反两个复数称为共轭复数.例1.1解结论：两个共轭复数积是实数.积与计算共轭复数yixzyixz-=+=

,

zz共轭复数记为.

,

iyxziyxz-=+=则若注意:10/10/19第19页共轭复数性质:以上各式证实略.10/10/20第20页例1.2

某化工厂计划修建两个深度相同方池，甲池面积为3平方米，乙池为立方池，其容积比甲池大1立方米。问方池深度应为多少？解：设方池深度为x。按设计要求有令代入上述方程有：其根为从而10/10/21第21页(1)初等解析函数指数函数这里ex是实指数函数实正、余弦函数.)sin(cos.指数函数为称设zyiyeeiyxzxz+=+=定义1复变函数及其导数1.2复变函数及其导数柯西—黎曼条件.,2cos.,2sin余弦函数正弦函数定义称为称为izizizizeezieez--+=-=三角函数10/10/22第22页.cossintan正切函数称为zzz=

例1.3

解方程解10/10/23第23页双曲函数.,2ch.,2sh双曲余弦函数双曲正弦函数定义称为称为zzzzeezeez--+=-=有理整函数(多项式)有理分式函数在复平面内分母不为零点是连续.

,

)(

)(

都是多项式和其中zQzP

;

都是连续对复平面内全部点z10/10/24第24页对数函数称为对数函数lnz主值。而.

,

,

一个分支称为可确定一个单值函数对于每一个固定zkln对数函数定义为：;ln

是一个无穷多值复变函数z10/10/25第25页幂函数定义

设α是任意复数，z幂函数定义为.0,0,==aazz时补充要求是正实数时当;,lnln.,

ln主值称为幂函数时取主值当是一个无穷多值函数普通说来aaaazezzzzz=注意10/10/26第26页例1.4解10/10/27第27页例1.5解10/10/28第28页

定义：当z=x+iy在复平面上改变时，假如对应于z每一个值，都有一个或几个复数值w与之对应。则称w为z复变函数,记作

w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)（2）复变量函数一个复变函数能够用两个二元实函数表示.10/10/29第29页(3)复数导数定义记为：10/10/30第30页{})(

).()()]([)6(zgwzgwfzgf=¢¢=¢其中求导公式与法则:

.

,0)()1(为复常数其中cc=¢

.,)()2(1为正整数其中nnzznn-=¢

因为复变函数中导数定义与一元实变函数中导数定义在形式上完全一致,而且复变函数中极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中求导法则都能够不加更改地推广到复变函数中来,且证实方法也是相同.10/10/31第31页可导：对任何方向，极限都存在并唯一。复变函数f(z)：

z沿任一曲线迫近零。2.柯西—黎曼条件（复变函数可导必要条件）0实数实变数f(x)：

x沿实轴迫近零。所以，复函数可导性是比实函数可导性条件强得多。是否存在复函数可导必须满足基本条件？复数10/10/32第32页

z沿实轴→0,

y0设f(z)在z点可导.下面分析

z分别沿平行于实轴（

y0）和平行于虚轴（

x0）趋于零特殊情况：柯西—黎曼条件10/10/33第33页柯西—黎曼条件或C-R条件因为f(z)在z点可导，要求沿不一样方向极限相等可导必要条件

z沿虚轴→,

x010/10/34第34页定理若存在且连续，则f(z)可导充要条件是f(z)满足柯西—黎曼条件。证：因为偏导数连续，依据偏导数定义,二元函数u

和υ增量可分别写为伴随则复变函数可导充要条件10/10/35第35页柯西—黎曼条件这一极限是与方式无关有限值，所以f(z)可导。导数定义式注意:单值初等函数在复平面上几乎处处可导.10/10/36第36页可导函数复共轭函数不一定可导。例1.6讨论复函数w=x+iy和其复共轭w'=x-iy可导性解:不满足柯西—黎曼条件10/10/37第37页1.复变函数可导必要条件：柯西—黎曼条件；2.复变函数可导充要条件：若存在且连续，则f(z)可导充要条件是f(z)满足柯西—黎曼条件。本讲小结与思考

3.单值初等函数在复平面上几乎处处可导,可导函数复共轭函数不一定可导.10/10/38第38页1.21.4(1)(5)(6)1.6§1.1和§1.2作业10/10/39第39页1区域

邻域定义：如图，由不等式(δ为任意正数)所确定平面点集(简称点集)，称为以z0为中心δ邻域或邻域。

所确定点集为z0去心δ邻域或去心邻域。类似于实变函数，下面介绍对应于复变函数：邻域、内点，外点，边界点和开集等概念。

由实变函数理论我们知道，函数定义域是一个满足一定条件平面点集，我们称之为区域D。邻域而称如图所表示不等式1.3解析函数10/10/40第40页z0设E为点集（如图），z0为E中一点。则：内点：假如存在z0一个邻域，该邻域内全部点都属于点集E，则称z0为E内点；外点：若点z0某一个邻域内点都不属于点集E，则称点z0为E外点。边界点：若在点z0任意一个邻域内，现有属于点集E

点，也有不属于E点，则称点z0为E边界点，点集E全部边界点称为E边界。注意

区域边界可能是由几条曲线和一些孤立点所组成。开集：

若点集E点皆为内点，则称E为开集。内点外点PE10/10/41第41页区域定义：点集E称为一个区域D，假如它满足：(1)E是一个开集；(2)E是连通，就是说E中任何两点z1和z2都能够用完全属于E一条折线连接起来。

通常称含有性质(2)集为连通，所以一个区域就是一个连通开集。区域D加上它边界C(p)称为闭区域或闭域，记为.D-区域内点10/10/42第42页单连通域与多连通域设D为复平面上一个区域，假如在其中作一条简单闭曲线（本身不相交闭合曲线），而曲线内部总属于D，则称D为单连通区域，不然称为多连通区域。单连通域多连通域10/10/43第43页2解析函数概念

若函数f(z)在点z0某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数说明：1.解析与可导不等价

函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然不过在区域D内解析函数则其解析性与可导等价.

例：函数只在z=0点可导，在z=0邻域内不可导，因而不解析10/10/44第44页2.称函数不解析点为奇点f(z)在点z0无定义或无确定值；f(z)在点z0不连续；f(z)在点z0不可导；f(z)在点z0可导,但找不到在其内处处可导邻域。3.解析函数充分必要条件设函数f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)

在区域D内解析当且仅当：(1)实部和虚部在D内每一点可导；(2)实部和虚部在D内每一点满足柯西—黎曼条件10/10/45第45页例1.7判断以下函数在何处可导,在何处解析:解（1）

因为u=excosy,υ=exsiny,柯西-黎曼条件成立,因为上面四个偏导数都是连续,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有

f'(z)=exp(x)(cosy+isiny)=f(z)这个函数就是指数函数ez.10/10/46第46页(2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,υ=xy,所以轻易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,所以在复平面内任何地方都不解析.10/10/47第47页由上述讨论可知，既然f(z)在区域D内解析，则存在且连续，其实部和虚部皆可导。由此我们能够利用柯西－黎曼条件由解析函数u或υ部分构建出一个解析函数。3解析函数应用从区域内固定一点（x0,y0）到(x,y)积分上式有同理，C为任意常数

10/10/48第48页10/10/49第49页

依据C-R条件

积分路径选为，则得到

依据条件，故得..10/10/50第50页1.4多值函数问题提出前面引入关于函数可导和解析概念皆是建立在单值复变函数基础上。对于多值函数，复平面上任一自变量对应多个函数值，函数本身不含有函数可导所含有“当z在z0邻域内沿一切方向、按任意方式趋于z0时，含有同一极限值”性质。

为了讨论多值函数可导和解析性，我们要使多值复变函数与自变量间一一对应。实现此目标方法是扩大自变量定义域。

这是本节讨论重点！

10/10/51第51页1.4多值函数1多值函数及分支点以以下多值函数为例

为了清楚地看出多值函数性质，现在先仔细分析n=2情况幅角主值：分析此例子，我们发觉z=a是一个特殊点，当z-a围绕z=a旋转一周时，w=f(z)函数值要改变。这么点称为多值函数支点。本例围绕支点一周不复原定义为一阶支点.幅角主值区10/10/52第52页现在（n=3）,z-a

围绕z=a点二周不复原故称z=a为函数w二阶支点.以这类推：应注意是无穷远点∞一样可能是多值函数支点。仍以n=2为例，令z-a=1/t,则z=∞是w支点。10/10/53第53页2黎曼面下面我们仍以子为例。10/10/54第54页10/10/55第55页10/10/56第56页10/10/57第57页3超越支点10/10/58第58页我们知道在区域D内，解析函数f(z)实部u(x,y)和虚部υ(x,y)满足柯西－黎曼条件，即§1.6解析函数物了解释复势得出1调和函数上式左边分别对x和y求偏导数10/10/59第59页定义称方程为拉普拉斯方程.满足此拉普拉斯方程函数称为调和函数.同理得无源、无旋标量场，比如，静电场、温度场和流场等，它们势满足拉普拉斯方程。上面分析表示，解析函数实部和虚部都是二维调和函数。我们称解析函数实部和虚部为共轭调和函数10/10/60第60页2解析函数实部和虚部梯度正交即由柯西—黎曼方程解析函数实部和虚部之梯度是相互正交。我们要问：解析函数上述性质在物理学研究中有何应用价值？10/10/61第61页

由电磁学我们知道：（1）静电场电势满足拉普拉斯方程

3平面静电场复势（3）由图可知：静电场等势线族（方向沿等势面切线方向）和电力线族（方向沿电场方向）是