高等数学微分中值定理教学省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

第三章导数应用第一节微分中值定理

第二节函数性质第三节洛必达法则

第1页第一节微分中值定理

本节主要内容:

一.罗尔中值定理二.拉格朗日中值定理三.柯西中值定理第2页一、罗尔中值定理

费马（Fermat）引理函数y=f(x)在N(x0,

)有定义，y=f

(x0)存在，f(x)

f(x0)(f(x)

f(x0))

定义3.1.1

导数等于零点称为函数驻点（或稳定点、临界点)．第3页引理直观意义:可导函数极值点处切线平行于x

轴.第4页

定理3.1.1（罗尔中值定理）设函数y=

f(x)在区间[a,b]上有定义，假如（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；（3）函数f(x)在区间两端点处函数值相等，即f(a)=f(b)；则在（a，b）内最少存在一个点a<

<b，使得f

(

)=0.比如,第5页因为函数

f(x)在区间[a,b]上连续，函数f(x)在闭区间[a,b]上必能取到最大值M

和最小值m,考虑两种可能情况：

(1)若m=M,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M(或m),因而在(a,b)内处处有f

(x)=0，所以可取(a,b)内任意一点作为ξ而使得f

(ξ)=0成立。定理证实第6页

(2)若m<M，因为

f(a)=f(b)，所以m、M不可能同时是两端点函数值，即最小值m

和最大值M最少有一个在开区间(a,b)内部取得，不妨设

f(ξ)=M，ξ∈(a,b).

由条件(2)和费马定理推知f

(ξ)=0.第7页

罗尔定理几何意义：假如连续函数除两个端点外处处有不垂直于x轴切线，而且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上最少存在一点

，在该点处切线平行于x

轴(以下列图）。第8页

1.罗尔定理中ξ是(a,b)内某一点，定理仅从理论上指出了它存在性，而没有给出它详细取值；

2.罗尔定理条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分确保结论成立。但假如三个条件不全满足，则定理结论可能成立也可能不成立。看以下例子：两点说明：第9页例连续内可导连续内可导第10页例连续内可导第11页例1

验证罗尔中值定理对函数f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上正确性，并求出

．解得令f

(x)=3x2+8x-7=0（1）

f(x)=x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；（2）

f

(x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；（3）f(-1)=f(2)=0；所以f(x)满足定理三个条件.则就是要找点，显然有f

(ξ)=0.解第12页例2

证实方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1正实根．存在性：令f(x)=x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上连续f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：最少存在一点x0∈(0,1),使f(x0)=0，x0即为方程小于1正实根.唯一性：设另有x1∈(0,1),x1≠x0,使f(x1)=0因为f(x)在x1，x0之间满足罗尔定理条件所以最少存在一点ξ(在x1，x0之间),使得f

(ξ)=0但f

(x)=5x4-5<0,x∈(0,1),矛盾,所认为唯一实根.证实第13页例3

不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)导数，说明方程f

(x)=0有几个实根．

函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足罗尔定理条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别最少有一实根；又f(x)=0是二次方程,至多有二个实根；所以方程f(x)=0有且仅有两个实根,它们分别落在区间（1,2)

（2,3)内．解第14页

定理3.1.2（拉格朗日中值定理）设函数

y=f(x)满足（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在(a，b)内最少存在一点

(a<

<b)，使得

f(b)-f(a)=f

(

)(b-a)或二、拉格朗日中值定理第15页注意到,Rolle定理是Lagrange定理特殊情况。证实思想结构辅助函数法

因为证实这个定理，当前只有Rolle定理可用，所以想若能结构一个辅助函数

(x),使其满足Rolle定理条件，同时想方法靠近要证实结论.第16页则函数j(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理条件(1)(2)

又作辅助函数所以，由罗尔中值定理，在(a,b)内最少存在一点

,使即

f(a)-f(b)=f

(

)(b-a)定理证实第17页拉格朗日中值公式又称有限增量公式.

1.拉格朗日中值定理两个条件是使结论成立充分无须要条件；

2.当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；

3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+

x∈(a,b)则有几点说明：第18页拉格朗日定理几何意义：当曲线方程满足拉格朗日定理要求时，在区间内最少存在一点

，使得该点切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))连线，其斜率为第19页

推论1

设y=f(x)在[a,b]上连续，若在(a,b)内导数恒为零，则在[a,b]上f(x)为常数.

推论2

假如函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内导数处处相等，即f

(x)=g

(x)，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C．第20页

设f(x)=arcsinx+arccosx,由推论1知

f(x)=C所以例4

证实：又因为即证实则f(x)在[0,1]上连续，又第21页

设f(x)=ln(1+x),则f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件，即由于因为0<

<x，所以例5

证实：当x>0时，所以上式变为即证实第22页

定理3.1.3（柯西中值定理）设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g

(x)在(a,b)内恒不为零，则最少存在一点

∈(a,b)，使得

注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时一个特例。三、柯西中值定理第23页分析:问题转化为证结构辅助函数证:

作辅助函数且第24页使即由罗尔定理知,最少存