2023-2025年辽宁中考数学试题分类汇编：圆及计算综合 （解析版）

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专题05同及计算综合

考点（）1圆相关小题

1.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，AC8C为（0的两条弦，D,G分别为AC3C的中点，。的半径为

2.若NC=45。，则0G的长为（）

3

A.2B.>/3C.—D.^/2

【答案】D

【分析】连接aA8,圆周角定理得到NAO5=2NC=90。，勾股定理求出48,三角形的中位线定理,

即可求出Z）G的长.

【详解】解:连接04,43,

•・•O的半径为2.ZC=45°,

・•・OA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,

JAB=dol+OB。=25/2，

VD,G分别为AC8C的中点,

・•・OG为VA8C的中位线，

・•・DG=-AB=42.

2

故选D.

【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理.熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键.

2.（2023•辽宁阜新•中考真题）如图，A,B,。是上的三点，若NAOC=90。，Z4CB=25°,则的

【答案】C

【分析】先利用恻周用定理求出NAQ8=50°,然后利用角的和差关系进仃计算，即可解答.

【详解】解：•••NAC8=25。，

JZAO8=2ZACB=50°,

•・•^AOC=90°,

・•・Z.BOC=ZAOC-ZAOB=40。,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

3.（2023・辽宁锦州•中考真题）如图，点A,B,C在。上，Z4BC=40°,连接。4,OC.若的半径

33

【答案】D

【分析】先利用圆周角定理求出NAOC的度数,然后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：•・・N/WC=40。，

ZAOC=2ZABC=8()°,

又。的半径为3,

・•・扇形AOC（阴影部分）的面积为策包=2乃.

360

故选：D.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心处的一半

是解题的关健.

4.（2023•辽宁沈阳•中考真题）如图，四边形ABCO内接于（O,。的半径为3,ZD=I2O°,则4c的长

C

2

-7TC.24D.44

【答案】C

【分析】根据圆内接四边形的性质得到/8=60。，由圆周角定理得到NAOC=120。，根据弧长的公式即可得

到结论.

【详解】解：四边形ABC。内接于O,ZD=120°,

.•.ZB=60°,

.\ZAOC=2ZB=120°,

..IZ120乃x3

・•.AC的长=2乃.

故选：c.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是

解题的关键.

5.（2023•辽宁营口・中考真题）如图所示，A。是0。的直径，弦BC交AD于点E,连接A8AC,若

/胡0=30。，则NAC3的度数是（）

B

A.50°B.40°C.70°D.60°

【答案】D

【分析】如图所示，连接CO,先由同弧所对的圆周角相等得到/8CZ）=NB4O=30°,再由直径所对的圆周

角是直角得到ZACD=^r,则ZACB=ZACD-ZBCD=60°.

【详解】解：如图所示，连接C。，

•・•ZBAD=30°,

:./BCD=NBAD=3（f,

TA。是。的直径，

・•・ZACD=90°,

・•・ZACB=ZACD-/BCD=60°,

故选D.

【点睛】本题主要考查了同弧所灯的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出NACDN3C£）的

度数是解题的关键.

考点02圆的综合-求弧长

6.（2025•辽宁♦中考真题）如图，在VA3c中，AC=BC,以48为直径作：O,与AC相交于点。.连接OC,

与。。相交于点E.

（2）如图2,若点。为AC的中点，且AC=6,求OE的长.

【答案】（1）135。

⑵京

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公

式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.

（1）连接0。，先证明一。40.。8c（SSS）,得到NAOC=N4（＞C=90。，由等腰三角形性质得到

Z0AD=ZODA,ZODE=ZOED,设NQAO=NODA=x,NOO£=NO£O=y,在四边形。AOE中，由四边

形内角和等于360。计算即可；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明△ADO为等边三角形，则可求NOOE度数，再由弧长公式即

可求解.

・•..OAC0,OAC(SSS),

・•・ZAOC=ZBOC,

•・•ZAOC+ZBOC=180°,

:.Z4OC=N3OC=90。，

•：OA=OD=OE,

・•・Z.O\D=4)DA,NODE=4OED,

设AOAD=ZODA=x,NODE=ZOED=y,

在四边形O4OE中，•・•NQ4D+Z4OE+NQED+NAOC=360。

・・・x+x+y+y+900=360。，

・•・/LADE=^ADO+Z.ODE=x+y=135°；

(2)解：连接0£>,

•・・/AOC=90°,。为AC中点,

0O=AO=2AC=』x6=3,

22

：.OD=OA=AD=3,

・•・A4OO为等边三角形，

JZ4OD=60°,

・•・ZDOE=90°-60°=30°,

30^x3_1

DE的长为:

180-2

7.(2024•辽宁•中考真题)如图，GO是VABC的外接圆，A8是的直径，点。在5C上，AC=BDE

在册的延长线上，ZCE4=ZC4D.

(1)如图1,求证：CE是，。的切线；

(2)如图2,若NCE4=2ND4B,04=8,求80的长.

【答案】(1)见详解

⑵2乃

【分析】（1）连接CO,则4=N2,故N3=N1+N2=2N2,由AC=8O,得至iJ/4=N2,而/4C8=90°,

则/C4£）+2N2=90°,由NC"=NC4力，得NCE4+2/2=90°,因此NCE4+N3=90。，故NECO=900,

则CE是GO的切线；

90°

（2）连接CO,。。，可得Z3=2N2=2N4=NCE4,则/3=/。£4=亏=45。，故N4=22.5。，由BD=BD，

得NOO3=2/4=45。，那么长为院f=2乃.

180

【详解】（1）证明：连接C。，

•：OC=OB,

：•Z1=Z2,

:.Z3=Z1+Z2=2Z2,

,**AC=BD^

:.N4=N2,

•・•A8为直径，

・•・Z4cB=90°,

/.ZC4D+Z4+Z2=90°,即NC4O+2/2=90。，

•・•ACEA=ZCAD,

・•・NCE4+2/2=900,

:.NCE4+Z3=90°,

/ECO=90°,

AOC1CE,

・・・CE是O的切线：

（2）解：连接CO,。。,

由⑴得Z3=2N2=2N4,

•・•4CEA=2NDAB,

・•・NCE4=N3,

,//ECO=90。，

90。

・•.N3=NCE4=——=45°,

2

・•・4=22.5。，

,BD=BD»

/./OO8=2/4=45。，

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正

确添加辅助线是解决本题的关键.

8.（2023・辽宁•中考真题）如图，VA8C内接于。。，48是（。的直径，CE平分NACB交。于点E,过

点E作耳〃48,交C4的延长线于点尸.

⑴求证：EF与。相切；

（2）若NC48=30°,48=8,过点E作EG_LAC于点M,交©O于点G,交A8于点N,求的长.

【答案】（1）见解析

（2）T

【分析】（1）连接OE，由AA是。的直径可得NACB=90。，进而可得乙ACE=4ZAC8=45"再根据圆

周角定理可得N4OE=2NACE=90°,进而可证OEJ.A8,OELEF,即可证明E/与：。相切；

(2)连接OG,OC,先证△O8C是等边三角形，推出NAOC=l80O-NCOA=120°,再根据圆周角定理证

明/GOC=24/EC=90。，进而可得NAOG=30。，再根据弧长公式即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接。E,

ZACB=90°,

CE平分/AC8交O于点E,

ZACE=-ZACB=45°,

2

ZAQE=2ZACE=90°,

OEJ.AB,

EF//AB,

OEA.EFt

0E是：。的半径，

•••EF与:O相切；

(2)解：如图，连接OG,OC,

/8=60°,

OB=OC,

「•△O8C是等边三角形,

•••"08=60。，

ZAOC=180°-ZCOB=120°,

ZACE=45°,EGLAC,

ZA/EC=45°,

ZGOC=2ZMEC=90°,

•••ZAOG=ZAOC-ZGOC=30°,

A8=8,A8是］。的宜径,

OA=OG=4,

30兀x42兀

AG=----------=—.

1803

即AG的长为年.

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定

理是解题的关键.

考点03的综合..求阴影面积

9.(2023•辽宁阜新•中考真题)如图，A8是O的直径，点CD是。上异侧的两点，DE工CB,交

8的延长线于点石，且平分/A班:.

(1)求证：DE是。的切线.

(2)若NA3C=60。，A8=4,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析

(?.)——x/s

【分析】(1)连接OO,根据08=00,得出NO8£)=NOD8.根据80平分/ABE,得出NOBD=/EBD,

则NE8拉=NOO5.根据OE_LC6得出NE8£>+N£7M=90。，进而得出NOD8+N£7M=90。，即可求证;

(3)连接OC,过点。作O尸_LBC于点F,通过证明△04C为等边三角形，得出N8OC=60°,

OB=OC=BC=2.求出Of=O8sin600.最后根据疝影=S成用。此一15c即可求解.

【详解】(1)解：连接

OB=OD,

：.LOBD=Z.ODB.

•；BD平分NABE，

・•・/OBD=/EBD,

・•・/EBD=NODB.

'：DE工CB,

:.NE8O+NEOA=90。，

：・/ODB+NEDB=900,IODIDE,

：・DE是。的切线.

(2)解：连接0C,过点。作NJ.8C于点F,

AB=4,

：.OR=-AB=2.

2

•：()B=OC,NA8C=60°,

・•・△08C为等边三角形，

/.ZBOC=60°,OB=OC=BC=2.

•:/A4c=60。，OF±BC,013=2,

J。尸=08.sin60。=2x正=6

2

【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积,，解题的关

键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式s=Q.

360

考点04圆的综合..切线证明与三角函数值

10.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，已知"是O的直径，4。是。的弦，点尸是外的一点，PC1AB,

垂足为点3尸。与3。相交于点，连接夕。，且PD=PE,延长夕。交84的延长线于点尸.

p

(1)求证：PD是。的切线；

74

(2)若£)尸=4,PE=—,cosZPFC=—,求比的长.

【答案】(】)见解析

⑵石

(分析］(I)根据PD=PE,得出/PED=NPDE,进而得出NPDE二NBEC,易得ZB=NODB,根据尸CJLA8,

得出N8+N8EC=90。，则NODS+NP£>£=90。，即可求证PO是O的切线；

7154

(2)易得尸。=尸石=一，W«JPF=PD+DF=—根据cosNQFC=二，求出。“一〃「cosN〃，C—6,

225f

DF9

OF=-^--=5,^OC=CF-OF=\,根据勾股定理求出00=3,尸C=《，进而求出BC=2,CE=1,

cosZ.PFC2

最后根据勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：；PD=PE,

:."ED="DE,

,:"ED=/BEC,

・•・"DE=NBEC,

♦：OB=OD,

・•・a=/ODB,

,:PCIAB,

・•・ABCP=90°,则N8+4BEC=90°,

J/ODB+4PDE=90°,即NODP=90°,

:.PD是。的切线；

(2)解：•・•PD=PE,PE=g

：.PD=~,

2

■:DF=4,

・•・PF=PD+DF=—,

4

•・•cosZPFC=-

5

154

・•・CF=PFCGSNPFC=—X-=6,

25

•・・P。是。的切线，

：,ODA.PD,则NOD”=90。，

,OF二°F/

•.cosZPFCf,

5

AOC=CF-OF=6-5=1,

______________i-------------9

根据勾股定理可得：oo=后广=PC7PF?-CF2=3,

：.OB=OD=3,

97

:.BC=OB-OC=3-T=2,CE=PC-PE=-——=1,

22

J根据勾股定理可得：BE=slCE2+BC2=\l\2+22=>/5-

【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半

径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤.

11.(2023•辽宁盘锦•中考真题)如图，VABC内接于QO,A8为。。的直径，延长AC到点G,使得CG=CB,

连接GB,过点C作。O〃G8,交AB于点F,交点：。于点。，过点。作0E〃A8.交GB的延长线于点

E.

G

(1)求证：DE与。相切.

(2)若AC=4,8c=2,求选:的长.

【答案】(1)见详解

(2)|x/2

【分析】(1)连接OO,结合圆盾角定理，根据CG=C8,可得NCGB=NCBG=45。,再根据平行的性质

Z4CD=ZCG/?=45°,即有ZAOD=2ZACD=90。，进而可得NODE=ZAOD=90。，问题随之得证；

（2）过C点作CK_LA8于点K,先证明四边形尸是平行四边形，即有应：=£＞「，求出

人2

AB=>IAC2+BC2=25/5»即有0O=AO=O8=GA8=«,利用三角形函数有sin/ABC=旬=个，同

2AD，5

i423

理cosZ4BC=宝,即可得KC=8CxsinN44C=/KB=BCxcosNABC=忑，进而有OK=0B-KB=金,

OF=OD=2/5=5与％R

再证明式水户s”x)/7,可得FK-CK一4一；，即可得。尸=3OK=2X二=2,在Rtz^OQ/中，有

45993

DF=7OD2+OF2=|V2,问题随之得解.

【详解】（I）连接0D,如图,

/.ZAC8=90°,

JZGCB=90°,

'：CG=CB,

・•・NCG8=NC8G=45。，

♦：CD〃GB,

・•・ZA8=NCG8=45。，

AZ4OD=2Z4CD=90°,即OOJLAA,

•・•DE//AB,

JZODE=ZAOD=90°,

，半径

:・DE与O相切；

（2）过C点作CK_LA5于点K,如图,

•:CD〃GB,DE//AB,

・•・四边形BEDF是平行四边形,

/.BE=DF，

VAC=4,BC=2,

；・AB=ylAC2+BC2=275，

OD=AO=OB=-AB=>/5t

2

,:CKiAB,

NCK8=90。=ZAC8,

4c2

在RtAACT，sin/.ABC=——=,

A4V5

同理COS/A8C=2,

•・•在RLKC8中，CB=2,

KC-BCxsinzLABC=-i,KB-BCxcosZAfiC=

N/5亚

3

・•.OK=OB-KB=^t

CK±AB,ODlABt

：,0D//CK,

:・CKFS.DOF,

OFOP4^_5

**•TxcF--4，

而

.OF_OF_5

^~FK+OF~~OK~9,

・•・OF=-OK=-x^==—t

99753

・••在Rt^OD/中，DF=y]OD2+OF2=^>/2,

・•・BE=DF=）丘.

3

【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的为定，相似三角形的判定与性质，平行四边

形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的为定以及相似三角形的判定与性质，是解答

本题的关键.

12.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，四边形内接于1O,AB为的直径，过点。作DF_L8C,

交5c的延长线于点凡交创的延长线于点E,连接BD.若NE4。+N6D尸=180。.

⑴求证：F.F为。的切线.

（2）若8E=10,sinZfiDC=-,求C。的半径.

【答案】（1）见解析

（2）00的半径为4

【分析】（1）连接0。，根据同角的补角相等，得到々。/二/胡。，等角的余角相等，得至ljNO“=Z/V?。,

等边对等角，得至I]NDB尸=ZABD=N0DB,推出。。〃4尸，得到/。£>£=/尸=90°,即可得证；

（2）连接4C,推出NE=NB4C=NBDC,利用锐角三角函数求出质的长，设。的半径为「，证明

&0DEs_BFE,列出比例式进行求解即可.

【详解】（1）证明：连接OO,

•・•/LEAD+ZBDF=180°,ZEAD+ZBAD=180°,

4BDF=/BAD,

•：AB为。的直径，DF1I3C.

・・・ZAO8=90。，ZBFD=90°,

/.乙BD卜+4DBk=N班"+ZABD=90。，

/./DBF=NABD,

•：OB=OD,

・•・ADBF=ZABD=4)DB,

：・0D〃BF,

/.ZODE=ZF=90°,即：OD1EF,

又。。为SO的半径，

：・EF为SO的切线；

(2)连接AC,则：NBAC=/BDC,

•・・A8为。的直径，

・•・ZACB=90°=ZF,

AACEF,

・•・4E=/BAC=/BDC,

2

在RtA^：中，BE=\0,sinE=sin^BDC=-

・•・BF=BEsinE=\Ox-=—

33t

设。的半径为「，则：OD=OB=r,OE=BE—OB=K)—r,

•：OD〃BF,

..ODEsBFE,

r_10-r

*变=竺即:20=-uF

BFBET

・•・r=4；

：•。的半径为4.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和

性质.题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

13.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，AE为0。的直径，点。在。。上，48与。。相切于点A,与OC延

长线交于点8，过点B作BDLOB,交AC的延长线于点O.

（1）求证：AB=BD；

3

⑵点尸为《Q上一点，连接E/,BF,M与AE交于点G.若/E=45。，AB=5ftan/A4G=1,求（。

的半径及A。的长.

【答案】（1）见解析

（2）O的半径为与；AD=4>/5

4

（分析］（I）根据A8与〔。相切十点A得到NQ4C+/BAD=9（T,再根据BD1OB得到N8S+NO=90°,

再根据OA=OC得到NOAC=NOC4即可根据角的关系解答；

（2）连接。/，过点。作OM/A8,交AB延长线于点M,在RtZ\A8G等多个直角三角形中运用三角函

数的定义求出。半径r=:,再根据勾股定理求出8W=3,0M=4即可解答.

4

【详解】（1）证明：如图，

♦：AE为。的直径，A8与。相切于点A,

J0A1AB,

・•・NOW=90。，

・•・ZOAC+ZBAD=90°,

BDLOB,

・•・NOBO=90。,

・•・ZBCD+ZD=90°,

•・・OA=OC,

^OAC=ZOCA,

•・•NBCD=NOCA,

・•・NOAC=NBCD,

・・・ZaAD=ZD,

JAB=AD.

(2)连接Ob,过点。作OMIA8,交48延长线于点M,如图,

在RtZ\A8G中，ZG4B=90°,

・•・tanZABG=—=-,

AB7

AG=AB-tanZ.ABG=—,

7

,:NE=45。，

・•・Z4OF=2ZE=90°,

ZAOF=NOAB,

・•・OF//AB,

・•・/OFG=ZABG,

・•・(anZOFG=tanNABG=-,

7

设：)O的半径为r,

r-15

・•・7二3,

r-7

.r=15

'*4'

・•・tanZOBA=—=-,

AB4

,:DMJ.AB,

AZM=90°,

"DM+ZDBM=90P,

BD工OB,

・•・ZO/?D=90°,

・•・NOBA+/DBM=90°,

・•・Z.BDM=NOBA,

3

即tanZ.BDM=tanNOBA=',

・••设6M=3x,DM=4x,

在中，ZM=90°,

VBM2+DM2=HD2BD=AB=5,

・•・(3x『+(4x『=52,解得x=].

，BM=3,DM=4,

：.=AB+BM=S,

・'・AD=dAM、DM?=4>/5•

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用

数学结合思想.

14.（2023•辽宁沈阳・中考真题）如图，/W是。的直径，点C是。上的一点（点C不与点A,8重合）,

连接AC、BC,点D是AB上的一点,AC=AD,的交CD的延长线于点E,且BE=BC.

⑴求证：BE是。的切线：

（2）若。。的半径为5,tanE=l.则碇的长为

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判

定定理解答即可得出结论；

DR1

（2）利用直角三角形的边角关系定理得到,=：，设。8=工，则8E=2x,利用x的代数式表示出线段

BE2

4C,AC,再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.

【详解】(1)证明：他是CO的直径，

/.NACS=90°,

:.ZACD+ZBCD=90°,

vAC=AD,

ZACD=ZADC,

ZADC=/BDE,

ZACD=NBDE,

BE=BC,

;.NBCD=/E,

:.ZBDE+ZE=90°,

NDBE=180°(NBDEIZE)=90°,

即。

・・・48为(。的直径，

「.BE是］。的切线；

(2)解：.YanE」，tanE=—,

2BE

DB1

/.——=—,

BE2

设D8=x,则8后=21，

/.BC=BE=2x,AD=AB—I3D=}0—x,

AC=AD,

AC=\0-x,

那是6Q的直径，

..48=9(尸，

AC2+BC2=AB2,

/.(I0-X)2+(2X)2=102,

解得：x=()(不合题意，舍去)或x=4.

/.BE=2x=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切

线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

15.（2023•辽宁营口・中考真题）如图，在VABC中，AB=BC,以BC为直径作【与AC交于点。，过点

D作力石工钻，交C8延长线于点孔垂足为点E.

4

（2）若8E=3,cosC=-,求防的长.

【答案】（1）见详解

75

（2）BF=y

【分析】（1）连接。。，。8,根据圆周角定理证明4。_LAC,再根据“三线合一”证明5。平分N7MC,即

有/ABD=NDBC='NBAC,进而可得/8OO=ND8A,根据可得N曰M+NO/M=90°,问题得

2

证；

4

（2）先证明NA=NAC3,ZEDB=ZACB,即有cosNEOA=cos/4=cos/AC4=:，在RjOBE中结合勾

5

股定理，可求出BD=5,即同理在Rt-OBE中，可得A8=」25，进而有8C=48=2，5，BO=1-CB=2—5,

3326

即DO=8O=一2s，证明.。竹/二所尸，即有RE一=R一F，即B一F=---R-F----,问题即可得解.

6DO卜ODOBF+BO

【详解】（1）连接。0,DB,

VBC为。的直径,

・・・ZBDC=9(r,

・•・BD1AC,

•・•在VAAC中，AB=BC,

・•・BD平分NBAC,

:./ABD=NDBC=-NBAC,

2

•・•BO=ODt

・•・乙BDO=zlDBC,

J乙BDO=/DBA,

'：DE±AB,

:.NEDB+NDBA=900,

/.^EDB+/ODB=90。,

・•・半径。OJ■。尸，

：・DF为。的切线：

（2）,・•在V48c中，AB=BC,

・•・ZA=ZACB,

在（1）中，AEDB+ZDBA=90°=ZACB+ZDBC,ZABD=NDBC,

・•・NEDB=ZACB,

cosC=—,

5

4

cosZEDB=cosZA=cosZACB=—,

4

•・•在RJ0BE中，BE=3,cosNEDB不

4

・•・DE=-BDf

ABDI2={-BE>\+3],解得：BD=5（负值舍去），

15>

即同理在中，可得=

25

・•・BC=AB=—,

3

I?525

ABO=-CB=—f即。0=S0=N

266

VABIDF,DOA.DF,

・•・DO//AB,

:・DOFs.EBF，

,BEBFBEBF

••---=----,即an----=---------J

DOFODOBF+BO

3_BF

A25=„_25,

---nr*+

66

解得：BF吟（经检验，符合题意），

75

即BF=y.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理

等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键.

16.（2023・辽宁・中考真题）如图，A8是。的直径，点C,E在（O上，NC48=2NE48,点尸在线段A8的

延长线上，且=

（1）求证：EF与O相切：

4

（2）若4尸=l,sin/A〃£=m，求8c的长.

【答案】（1）见解析

（2）BC=^.

【分析】（1）利用圆周角定理得到NEO8=2NE4B,结合已知推出NC4B=NEO8,再证明△0尸於4八3。，

推出/。£万=/。=90°,即可证明结论成立；

（2）设。半径为x,则Ob=x+1,在Rt^O所中，利用正弦函数求得半径的长，再在RtAABC中，解

直角三角形即可求解.

【详解】（1）证明：连接OE,

•・,BE=BE，,4EOB=2/EAB，

,//C4B=2NE43,

KAB=/EOB,

,:A8是。。的直径，

・•・ZC=90°,

•・•ZAFE=ZAI3C,

:.dOFEsAABC,

・•・ZOEF=ZC=90°,

,：OE为。半径，

・・・E尸与］O相切;

（2）解：设（O半径为x,则。F=x+1,

4

V^AFE-ZABC,sinZAFE=-,

4

sinz64BC=-,

4

在RtZ^O所中，ZOEF=90°,sinZAFE=-,

5

.OE4r4

..——=—,即----=—,

OF5x+15

解得x=4,

经检验，％=4是所列方程的解，

・•・O半径为4,则AB=8,

4

在RtZXABC中，ZC=90°,sinZ/1BC=-,AB=8,

5

32

AAC=AB-sin/ABC=y,

।-------------74

・•・BC=yJAB2-AC2

【点睛】本题考查r圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识,

熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

考点05计算综合

17.（2025•辽宁•中考真题）计算:

⑴32+(-1*4+亚万+卜2|；

⑵L.

z??+1nr+2/n+1m3

【答案】（1）4

⑵4

tn

【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算；

（2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算.

【详解】（1）解：32+（-1*4+油+卜2|

=9-4-34-2

=4；

（2）解：—-------

m+\"+2m+lm

1（“2+1）21

=-------x------------------

w+lm3ttr"

m+i1

=h蕨

ni

二版

I

=---

2

18.（2024・辽宁•中考真题）（1）计算：4+10-（-1）+>/8+|3->/2|;

（2）计算：--^+1.

a+1aa

【答案】（1）9+&;（2）1

【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键.

（I）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算；

（2）先计算乘法，再计算加法即可.

【详解】解：（1）原式=16-10+2拒+3-夜

=9+72;

（2）原式=，.5+］）9一）+!

a+\aa

a-\1

G-\+\

=1.

9（2。23•辽宁丹东•中考真题）先化简,再求值/忐丁占卜占其中，=（呆（-3）。.

【答案】p1

【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则

和运算顺序进行化简，根据负整数鼎和0次辕的运算法则，求出X的值，最后将Y的值代入计算即可.

(x2-l1)3

【详解】解:_____________<1.____

、厂—2%+1X-1yX—1

(x+l)(x-l)X-\x-1

X----

if(if3

A(X-1)X-1

-%x

(1)23

1+(-3)°=2+1=3,

2)

•"・原式=1=(=1.

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负

整数哥和0次第的运算法则是解题的关键.

20.（2。23・辽宁盘锦・中考真题）先化简,再求值：岛+*卜其中、=花+（6）°-（，.

1G

【答案】

7+T,-r

【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出X的值后，将代入即可

求解.

【详解】解:原式=高前♦？,

1

=7+1*

・・・广叫/)。针

x-25/34-1—2,

A=2\/3-1

当％=26-1时，

原式二号i，

一了，

【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键.

21.(2023•辽宁鞍山•中考真题)先化简，再求值：(一二+1+三**，其中x=4.

(x+2)x~-4

【答案】—x—2,I2

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母

的值代入求解.

•A/J(।-x2+6JT+9

【详解】解：--+1--^-―

\x+2)x--4

_l+x+2(x+2)(x—2)

―x+2*(x+3『

=A-2

J+3

当％=4时，原式=t4-2=：2

4+37

【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解.

22.(2023・辽宁阜新•中考真题)先化简，再求值：+勺当，其中〃=6.

\a-l)a-1

【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则

和运算顺序进行化简，最后将。的值代入计算即可.

■L(3八Cl~4-2(7

【详解】解：-7+1h-

\a-\Ja--\

_3+a-l(a+l)(a-l)

-------z\-----------

a-\a(a+2)

a-ia(a+2)

a+\

当"百时’原式"专户挈

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握囚式分解的方法，以及分式的混合运算法则是解题的关键.

23.（2023•辽宁锦州•中考真题）亿简，再求值：［1+—1】+答4，其中4=3.