广东省六校2023-2024学年高三上学期9月联合摸底数学试题（含解析）

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数学试题

考生注意：

1．满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则（）

A．B．

C．D．

2．已知是复数的共轭复数，则，则（）

A．1B．C．5D．

3．已知向量．若，则（）

A．B．2C．D．0

4．从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则（）

A．B．C．D．

5．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．已知数列的前项和为，且满足，若，则（）

A．2027B．1012C．1013D．1014

7．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

8．设，则（）

A．B．C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．如图所示，棱长为2的正方体中，面对角线与相交于点，则下列说法正确的有（）

A．平面

B．点到平面的距离为

C．过点作与平面垂直的直线，则与直线夹角的余弦值为

D．沿正方体的表面从点到点的最短距离是

10．已知圆和圆分别是圆，圆上的动点，则下列说法错误的是（）

A．圆与圆相交

B．的取值范围是

C．是圆与圆的一条公切线

D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得

11．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（）

A．B．

C．D．

12．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，以线段为直径作圆为坐标原点，下列正确的判断有（）

A．B．为钝角三角形

C．点在圆外部D．直线平分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．现有5名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动，每个路线至少1人，至多2人，其中甲同学不选深圳路线，则不同的路线选择方法共有__________种．（用数字作答）

14．如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台外接球的体积为__________．

15．已知函数，且满足，则实数的取值范围是__________．

16．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在等比数列中，，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，，直线与所成的角为．

（1）求证：平面平面；

（2）点为线段上一点，若二面角的大小为，求的长．

19．（本小题满分12分）

已知的内角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若，求的面积．

20．（本小题满分12分）

某同学进行投篮训练，已知该同学每次投中的概率均为0.5．

（1）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记为三次总得分，求的分布列及数学期望；

（2）已知当随机变量服从二项分布时，若充分大，则随机变量服从标准正态分布．若要保证投中的频率在0.4与0.6之间的概率不低于，求该同学至少要投多少次．

附：若表示投篮的次数，表示投中的次数，则投中的频率为；若，则．

21．（本小题满分12分）

已知双曲线经过点中的3个点．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知点是双曲线上与其顶点不重合的两个动点，过点的直线都经过双曲线的右顶点，若直线的斜率分别为，且，判断直线是否过定点．若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）试讨论的极值点的个数；

（2）若，且对任意的都有，求的取值范围．

广东省六校2023-2024学年高三上学期9月联合摸底

数学

参考答案、提示及评分细则

1．C由题意得，故，故选C．

2．B设，由题意可得，即，即，故选B．

3．D因为，所以，因为，所以，解得，故选D．

4．C根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为，这5个数的中位数是4的基本事件有个，所以，其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，，5，6，共3种情况，所以，所以，故选C．

5．A因为，所以当时，则有，因为在区间内有最大值，但无最小值，

结合函数图象，得，解得，故选A．

6．C，当时，；当时，，故数列从第2项开始都是偶数，而是奇数，故正整数和其中必有一个等于，另一个就是，故，故选C．

7．B设，由椭圆的定义可得，，设，得，即有，①

由，可得，即为，②

由①②，可得，

令，可得，即有，

由，可得，即，则当时，取得最小值；当或3时，取得最大值，即有，解得，所以椭圆离心率的取值范围为，故选B．

8．D令，

令，

，

当时，单调递增，

又，又，

在上恒成立，，即，

令，则在时，，

在上单调递增，

时，．

令，则，

所以当时，；当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

即，当且仅当时取等号，所以当，得，所以最小．

综上可得．故选D．

9．AC对于A，如图1，平面平面平面，故平面，A正确；

对于B，平面平面，两个平面之间的距离为，B错误；

对于C，因为平面，所以过点且垂直于平面的直线与的夹角是，C正确；

对于D，如图2，由正方体侧面展开图可知，D错误．故选AC．

10．AC由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，因为两圆圆心距，所以两圆外离，故A错误；的最大值等于，最小值为，故B正确；显然直线与直线平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线，设外公切线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C错误；对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确，故选AC．

11．BC，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，即，则，即，所以A错误；

又由方程

，

所以，

同理，

所以，故C正确，D错误；由的图象与直线的交点可知，B正确．故选BC．

12．ABD由抛物线的焦半径公式可知，所以，A正确；

对于B，，令直线的方程为，代入得，所以，所以，所以是钝角三角形，B正确；对于C，由可知，又，所以，所以直线平分角，同理可得平分角，所以，即，所以圆经过点，故C错误，D正确．故选ABD．

13．60每个路线至少1人，至多2人，则一个路线1人，另外两个路线各2人，若甲同学单独1人时，有种不同的选法；若甲同学与另外一个同学一起，则有种不同的选法，则不同的选择方法有60种．

14．由已知可知正四棱台的外接球的球心在轴线上，如图所示，，设，则，解得，则，所以正四棱台的外接球的体积为．

15．令，则，因为，所以为奇函数．又，所以根据单调性的性质可得为增函数．

因为，所以，等价于，即，

所以，即，解得或，

所以实数的取值范围为．

16．如图所示，令，则有，

所以．

令，则，

所以当时，单调递减，当时．单调递增，

故．

17．（1）设数列的公比为，

因为成等差数列，所以，

即，又，则，即，解得，

所以．

（2）由（1）知，

所以．

所以，即为，其解集为．

18．（1）证明：，

平面．

又平面，

平面平面．

（2）解：在平面内，过作轴，建立空间直角坐标系（如图）．

由题意有，设，则，

，

由直线与直线所成的角为，得，即，得，所以．

由直角梯形可知，则可设．

由题意可得，设平面的一个法向量为，

则，取，得．

平面的法向量取，

则，解得（负值舍去），则．

19．解：（1）由正弦定理，

得．

化简得，

由两角和的正弦公式得．

由诱导公式化简得．

因为，

所以，所以．

由于，所以．

（2），即．

由（1）知，

所以，

因为，

所以．

即为边长是4的等边三角形．

．

20．解：（1）设事件分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，

根据题意可知，

故，

，

，

，

，

的分布列为：

01234

的数学期望．

（2）设至少投次，其中投中的次数，

若，即，

由已知条件可知，

又因为，所以，所以，

所以至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于．

21．解：（1）由于关于轴对称，所以要么都在双曲线上，要么都不在双曲线上．

点不可能都在双曲线上，因为双曲线经过3个点，所以都在双曲线上．

将的坐标代入得，

由都在双曲线上可知都不在双曲线上，

所以点在双曲线上，故，

结合可得，

所以双曲线的方程为．

（2）设，由题可知直线的斜率存在，故可设直线的方程为，

由消去并化简得，

．

因为双曲线的右顶点为，且，

所以，

所以，代入，得，

当时，，

所以直线过定点．

22．解：（1）的定义域为，

令，即，令，则，

当时，，当时，，

当时，单调递增，当时，单调递减，．

又当时，，且当时，，

当时，无极值点；

当时，有两个极值点；

当时，有1个极值点．

（2）解法一：．

，且是连续函数，

若，即，则，使得时，，

在上单调递增，，此时与题意不符，

故．

下证当时，对恒成立．

证明：令，则．

，

对恒成立，在上单调递减，

对恒成立，

在上单调递