第1节 平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量、复数第1节平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.向量的有关概念知识梳理(2)零向量：__________的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于__________长度的向量.(4)平行向量(共线向量)：方向______或______的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量______.(5)相等向量：长度______且方向______的向量.(6)相反向量：长度______且方向______的向量.大小方向长度长度为01个单位相同相反平行相等相同相等相反2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝________(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________b＋aa＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa|＝_________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.b＝λa[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√诊断自测××√解析(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.CD解析A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一平面向量的有关概念例1

(1)(多选)下列命题正确的有(

)AD

解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；

C感悟提升训练1

(1)(多选)下列命题中正确的有(

)A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞bD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件解析由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量一定平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确.AD

(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(

)D

考点二向量的线性运算角度1平面向量加、减运算的几何意义A角度2向量的线性运算A解析如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，

角度3利用向量的线性运算求参数解析

如图.∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.感悟提升

C解析如图所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，

考点三共线向量定理的应用DAA.3 B.4C.5 D.6解析延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，感悟提升A解析设ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，且m＜0，因为e1与e2是不共线的非零向量，C等和线的应用拓展视野2解析法一由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).

法二如图，连接AB交OC于点D，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.

法三(等和线法)连接AB，因为∠AOB＝120°，所以x＋y的最大值为2.

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.给出下列命题，正确的命题为(

)A【A级

基础巩固】对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同.2.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论中正确的是(

)A.a与λa的方向相反

B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，故A不正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确；只有B正确.BABCB由以上可知a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确.C

AB解析因为四边形ABCD是平行四边形，M，N分别为AD，CD的中点，8.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实

数λ的值为________.解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.直角三角形故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.－1解析法一连接AG，并延长AG交BC于点D(图略).因为△ABC的重心为G，因为G为△ABC的重心，所以(1＋x)∶(－x－y)∶y＝1∶1∶1，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，(2)证明：B，E，F三点共线.BD【B级

能力提升】13.(多选)(2022·济南调研)下列命题正确的是(

)对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误.B解析设AB的中点为D，如图所示.所以D是OC