第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念

第四章三角函数、解三角形第1节任意角和弧度制及三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所形成的图形.知识梳理端点正角负角零角象限角(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式半径长|α|r3.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与________交于点P(x，y)单位圆yyxx(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝

；cosα＝

，tanα＝

(x≠0).[常用结论]1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.(

)(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(

)(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(

)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.(

)×诊断自测×√√(2)第一象限角不一定是锐角.A.第一象限角

B.第二象限角C.第一或二象限角

D.第一或三象限角D3.(必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sinθ＋cosθ＝________.4.已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________.12πKAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一象限角及终边相同的角例1

(1)(多选)下列命题正确的是(

)AD

D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确.

C感悟提升C

考点二弧度制及其应用例2

已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知，得l＋2R＝20，所以当R＝5(cm)时，S取得最大值，此时l＝10(cm)，α＝2.

应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.感悟提升训练2

(1)(多选)(2022·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(

)A.圆的半径为2 B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2ABC解析设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，可得圆心角的弧度数是4或1.(2)(2023·广州检测)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是(

)D考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例3

(1)(2023·石家庄质检)已知角α的终边上一点P的坐标为(－2，1)，则cosα的值为(

)D

A角度2三角函数值的符号例4

(多选)(2022·重庆八中月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(m，1－m).若m＞0，则下列各式的符号无法确定的是(

) A.sinα B.cosα C.sinα－cosα D.sinα＋cosαAC对于A，当m∈(0，1)时，sinα＞0；当m∈(1，＋∞)时，sinα＜0；当m＝1时，sinα＝0，所以sinα符号无法确定.1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.感悟提升训练3(1)(2023·无锡调考)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点P(sinα，tanα)在第四象限，则角α的终边在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B解析∵点P(sinα，tanα)在第四象限，∴sinα＞0，tanα＜0，∴角α的终边在第二象限，故选B.

(2)sin2·cos3·tan4的值(

)A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在A所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·tan4＜0.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升3C【A级

基础巩固】A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角D又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角.3.(2023·北京东城区调研)在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120°与角β的终边重合，则cosβ＝(

)A解析由题意知α＝π＋2k1π，k1∈Z，4.已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(

)D所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，5.(多选)下面说法正确的有(

)AD

DCB解析设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，9.若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝_____________.解析因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.120°或－240°3π10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________.ABD【B级

能力提升】13.(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(

)B