北京市第四中学高一上学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京四中2017—2018学年上学期高中一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷(Ⅰ）100分,卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间:120分钟卷(Ⅰ）一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1。设集合A=｛1，2，6｝，B=｛2，4},则A∪B=A.｛2｝B.{1，2，4}C。{1，2，4,6｝D。｛2，4｝【答案】C【解析】集合，故选C。2.函数y=的定义域为A.（—2,2）B.（—∞,—2)∪（2,+∞)C.[-2，2］D.（-∞，—2］∪[2,+∞）【答案】A【解析】要使函数有意义，则有，解得,即定义域为，故选A。3.=A.14B。—14C。12D。—12【答案】B【解析】，故选B。4。若函数f(x）=，则方程f（x）=1的解是A.或2B.或3C.或4D。±或4【答案】C5.若函数f（x）=x,则函数y=f(—2x)在其定义域上是A.单调递增的偶函数B.单调递增的奇函数C.单调递减的偶函数D。单调递减的奇函数【答案】D【解析】,为奇函数，又为增函数，为减函数，故选D。6。若，b=，c=,则a，b，c的大小关系是A。a〈b<cB.c〈b〈aC.b<a<cD。c〈a<b【答案】B【解析】由对数函数的性质，可得,，故选B.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题。解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间)；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.函数的单调递增区间是A.(—∞，2］B。［2，+∞)C。[1，2］D.[1，3]【答案】A【解析】令为增函数,的增区间就是的增区间，故选A.8。李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校,在课堂上,李老师请学生画出自行车行进路程s（千米）与行进时间x(秒）的函数图象的示意图,你认为正确的是A。B。C。D。【答案】C【解析】最初以某一速度匀速行进，这一段路程是时间的正比例函数；中途甶于自行车故障，停下修车耽误了几分祌，这一段时间变大，路程不变，因而选项一定错误,第三阶段李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校，这一段,路程随时间的增大而增大，因而选项,一定错误；这一段时间中,速度要大于开始时的速度，即单位时间内路程变化大，直线的倾斜角要大，故选C。【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质、阅读能力以及解决实际问题的能力，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.已知,则f（5）=A。B.C.D.lg5【答案】D【解析】令，,故选D.10。某同学在研究函数（x∈Ｒ）时，分别给出下面几个结论:①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）的值域为（-1,1)；③函数f（x)在Ｒ上是增函数；其中正确结论的序号是A。①②B.①③C。②③D。①②③【答案】D【解析】函数的定义域是实数集,函数是奇函数，故①正确；，故②正确；函数在上可化为，奇函数在上是增函数，在其定义域内是增函数，故③正确，故选D。【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数值域，属于难题。这种题型综合性较强,也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输"，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题：(本大题共6小题,每小题4分,共24分）11.若集合A=［0，2]，集合B=[1，5］，则A∩B=_________。【答案】[1，2］【解析】集合，集合根据集合交集的定义，可得,故答案为。12.函数y=2—4的零点是_________.【答案】2【解析】令，得，即函数的零点是，故答案为。13。函数f（x）=（x∈[1，2］)的值域为______________。【答案】［0，1］【解析】，函数的值域是，故答案为.14。函数f（x）=3x—1，若f[g（x）]=2x+3,则一次函数g（x）=______________.【答案】【解析】，，，故答案为。15.若函数f（x）=的反函数的图象过点(2,-1），则a=_______.【答案】【解析】的反函数图象过的图象过，即,故答案为。16.若函数是奇函数，则使f（x）>3成立的x的取值范围是_______.【答案】（0，1)【解析】函数为奇函数，则：，解得:a＝1.则，由,得x∈（0，1）．三、解答题(本大题共3小题，共26分）17.已知：函数f（x）=（x-2）(x+a）（a∈Ｒ），f(x)的图象关于直线x=1对称。（Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求f（x）在区间[0，3]上的最小值。【答案】(1）a=0（2)=—1【解析】试题分析：（I)化简，先求出函数的对称轴，得到,解出即可；（II)先求出函数的对称轴，通过判断对称轴的位置,结合二次函数的单调性，从而得到答案。试题解析:,（Ⅰ）函数f(x）图象的对称轴为x==1，则a=0;（Ⅱ)由（Ⅰ）得，因为x=1∈[0,3］，所以=f（1）=—1。18.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0。125万元和0.5万元,如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x(万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金,全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元？【答案】(1）y=0。125x,y=0.5，（2)投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元。【解析】试题分析：（1)根据题意，得，，代入点的坐标，求的的值,即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2)投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质,即可求解其最大收益．试题解析：（1），，,，（2)设：投资债券类产品万元,则股票类投资为万元．令，则所以当,即万元时,收益最大，万元．考点：函数的实际应用问题．19。已知：函数f（x）=（a>0且a≠1）。（Ⅰ)求函数f（x）的定义域;(Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；(Ⅲ）设a=,解不等式f（x)〉0。【答案】（1)（-1，1）；（2）见解析；(3){x｜-1〈x〈0}【解析】试题分析：（I）根据对数函数有意义可知真数要大于0,列不等式组，解之即可求出函数的定义域；(Ⅱ)根据函数的奇偶性的定义进行判定,计箄与的关系，从而确定函数的奇偶性；（Ⅲ）将代入，根据函数的定义域和函数的单调性列不等式组，解之即可求出的范围.试题解析：（Ⅰ）由题知：,解得：—1〈x〈1,所以函数f(x）的定义域为（-1,1）；（Ⅱ)奇函数,证明：因为函数f（x)的定义域为（—1，1）,所以对任意x∈（—1，1),f（-x)===—f（x）所以函数f（x)是奇函数;（Ⅲ）由题知：即有,解得：-1<x〈0，所以不等式f（x）〉0的解集为{x｜-1<x〈0}。【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、奇偶性及函数的单调性，属于中档题。判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）;（2）和差法，(和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法,（为偶函数，为奇函数）。卷（Ⅱ）20。设集合A=，B=｛x|x—2=0｝，则=A。B。C。D。【答案】D【解析】且，故选D.21。已知函数f（x）=，则满足f（x）〈0的x的取值范围是A。（—∞，0)B。（0，+∞)C。(—∞，—1）D。（—1，+∞)【答案】C【解析】，，故选C。22.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是x23456789y0.631.011.261。461。631。771.891。99A.一次函数模型B。二次函数模型C。指数函数模型D.对数函数模型【答案】D【解析】对于，由于均匀增加，而值不是均匀递增，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于,过不是指数函数模型，故选D。23。用二分法求方程的一个近似解时，已知确定有根区间为(0，1），则下一步可确定这个根所在的区间为_________.【答案】【解析】设，函数零点在下一步可确定方程的根在，故答案为.24。已知函数f(x）是定义在Ｒ上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，如果函数g（x）=f（x)—m恰有4个零点，则实数m的取值范围是________。【答案】0〈m<1【解析】函数恰有个零点等价于函数与恰有个交点,作函数与的图象如图，由图知,函数与恰有个交点时的取值范围是,故答案为.【方法点睛】函数零点个数的三种判断方法：（1)直接求零点：令，如果能求出解,则有几个解就有几个零点；（2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。25.函数f（x）=（a〉0且a≠1）在区间［0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是___________.【答案】【解析】试题分析：当时,函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是，最大值和最小值的和同样是,解得考点：1．指对函数的单调性；2．指对函数的最值．26。已知函数f（x）=，若f（1-x）=f（1+x)，且f（0）=3。（Ⅰ)求b，c的值；（Ⅱ）试比较(m∈Ｒ)的大小。【答案】（1)b=2,c=3（2）当m>0时，f（2）〈f（3）。当m=0时，f（2）=f（3).当m〈0时，f（2）〉f（3）【解析】试题分析：（I）利用已知，求出的值;利用,得到为图象的对称轴,从而求出的值；（II）通过对的分类讨论得到与的大小关系以及与对称轴的大小关系,利用二次函数的单调性可得到与的大小关系.试题解析：（Ⅰ）由已知,二次函数的对称轴x==1，解得b=2，又f(0）=c=3，综上,b=2，c=3；（Ⅱ)由（Ⅰ）知，f（x）=x-2x+3，所以，f(x）在区间（-∞,1）单调递减,在区间(1，+∞）单调递增.当m〉0时,3〉2〉1，所以f(2）〈f（3）。当m=0时，3=2=1，所以f（2）=f（3）。当m〈0时，3<2〈1，所以f（2)>f（3）【方法点睛】本题主要考查二次函数的解析式和单调性、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度。运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点。充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.27。集合A是由满足以下性质的函数f（x）组成的：对于任意x≥0,f（x)∈[-2,4]且f（x）在［0,+∞）上是增函数.（Ⅰ）试判断与（x≥0）是否属于集合A,并说明理由；（Ⅱ)对于(Ⅰ）中你认为属于集合A的函数f(x)，证明：对于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2)<2f（x+1)。【答案】（1），（2)见解析.【解析】试题分析：（I）由已知可得函数的值域,从而可得,对于，只要分别判断函数定义域是否满足条件①，值域是否满足条件②，单调性是否满足条件③，即可得答案；（II）由(