考点35 立体几何中的向量方法

考点35立体几何中的向量方法1.(2022·新高考Ⅰ卷·T19)(12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.【命题意图】本题考查求点到面的距离,求二面角的正弦值.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,设点A到平面A1BC的距离为h,则VA-A1BC=13S△A1BC·h=223h=VA1-所以点A到平面A1BC的距离为2;(2)取A1B的中点E,连接AE,如图,因为AA1=AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,且AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,由BC⊂平面A1BC,BC⊂平面ABC可得AE⊥BC,BB1⊥BC,又AE,BB1⊂平面ABB1A1且相交,所以BC⊥平面ABB1A1,所以BC,BA,BB1两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图,由(1)得AE=2,所以AA1=AB=2,A1B=22,所以BC=2,则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A1C的中点D(1,1,1),则=(1,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z),则,可取m=(1,0,-1),设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c),则,可取n=(0,1,-1),则cos<m,n>=m·n|m|·|所以二面角A-BD-C的正弦值为1−(12)2.(2022·新高考Ⅱ卷)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点.(1)证明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.【命题意图】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值,考查逻辑推理能力及运算求解能力.【解析】(1)如图,连接BO并延长交AC于点D,连接OA,PD,因为PO是三棱锥P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO⊂平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,易得△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O为BD的中点,又E为PB的中点,所以OE∥PD,又OE⊄平面PAC,PD⊂平面PAC,所以OE∥平面PAC.(2)过点A作Az∥OP,如图建立平面直角坐标系,因为PO=3,AP=5,所以OA=AP2又∠OBA=∠OBC=30°,所以BD=2OA=8,则AD=4,AB=43,所以AC=12,所以O(23,2,0),B(43,0,0),P(23,2,3),C(0,12,0),所以E33则=33,1,32,=(43,0,0),=设平面AEB的法向量为n=(x,y,z),则,令z=2,则y=-3,x=0,所以n=(0,-3,2);设平面AEC的法向量为m=(a,b,c),则,令a=3,则c=-6,b=0,所以m=(3,0,-6);所以cos<n,m>=n·m|n||设二面角C-AE-B为θ,由图可知二面角C-AE-B为钝二面角,所以cosθ=-43所以sinθ=1−cos2θ故二面角C-AE-B的正弦值为11133.(2022·全国甲卷理科)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)证明:BD⊥PA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.【命题意图】本题考查线面垂直的判定和性质以及利用空间向量求解线面角的正弦值,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于中档题.【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PD⊥BD,取AB的中点E,连接DE,则BE=12AB=因为CD∥BE,且CD=BE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以DE=CB=1,因为DE=12AB所以△ABD为直角三角形,且AB为斜边,所以BD⊥AD,因为PD∩AD=D,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BD⊥平面PAD,又因为PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA;(2)由(1)知,PD,AD,BD两两互相垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系,BD=AB2-则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),所以=(0,0,-3),=(1,0,-3),=(-1,3,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则,则可取n=(3,1,1),设PD与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|==55,所以PD与平面PAB所成的角的正弦值为554.(2022·全国乙卷理科·T18)(12分)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.【命题意图】考查全等三角形的判断、等腰三角形的性质、面面垂直的判定、勾股定理、线面角、空间直角坐标系以及运算求解能力.【解析】(1)因为AD=CD,E为AC的中点,所以AC⊥DE;在△ABD和△CBD中,因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB,又因为E为AC的中点,所以AC⊥BE;又因为DE,BE⊂平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED,因为AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF,由(1)知,AC⊥平面BED,因为EF⊂平面BED,所以AC⊥EF,所以S△AFC=12AC·EF当EF⊥BD时,EF最小,即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD,所以CB=AB=2,又因为∠ACB=60°,所以△ABC是等边三角形,因为E为AC的中点,所以AE=EC=1,BE=3,因为AD⊥CD,所以DE=12AC=在△DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BE⊥DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),D(0,0,1),所以=(-1,0,1),=(-1,3,0),设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则,取y=3,则n=(3,3,3),又因为C(-1,0,0),F0,34,34,所以=1,34,34,所以cos<n,>==621×74=设CF与平面ABD所成的角为θ,所以sinθ=|cos<n,>|=437所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为435.(2022·浙江高考数学科·T19)(15分)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点.(Ⅰ)证明:FN⊥AD;(Ⅱ)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.【命题意图】本题主要考查线线垂直的证明,考查如何建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标,利用法向量求线面角的正弦值.【解析】(Ⅰ)由题易知CD⊥CB,CD⊥CF,平面CDEF∩平面ABCD=CD,则∠FCB为二面角F-DC-B的平面角,即∠FCB=60°,因为CB∩CF=C,所以CD⊥平面CBF,所以CD⊥FN,又CF=3(CD-EF)=23,CB=3(AB-CD)=23,∠FCB=60°,所以△BCF是等边三角形,所以CB⊥FN,因为CB∩CD=C,所以FN⊥平面ABCD,故FN⊥AD.(Ⅱ)由于FN⊥平面ABCD,如图建系,于是B(0,3,0),A(5,3,0),F(0,0,3),E(1,0,3),D(3,-3,0),则M3,32,32.=3,-32,32,=(2,23,0),=(-2,3,3),设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),由,得2x+23y=0-2x+3y+3z=0所以n=(3,-