考点17 正弦定理和余弦定理

考点17正弦定理和余弦定理选择题1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T7)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB= (A.19 B.13 C.12【命题意图】本题主要考查了利用余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力.【解析】选A.由余弦定理可知cosC=23=BC2+可得AB=3,又由余弦定理可知:cosB=AB2+BC2-【误区警示】由于对余弦定理公式的形式记忆不准确从而造成运算失误.2.(2020·全国卷Ⅲ文科·T11)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB= (A.5 B.25 C.45 D.85【命题意图】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系,考查基本分析求解能力,属基础题.【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2×3×4×23=9,所以c=3cosB=a2+c2-b22ac=19,所以sinB=1【误区警示】由于对余弦定理公式的形式记忆不准确从而造成运算失误.填空题解答题3.(2020·全国卷Ⅱ文科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2π2cosA=54(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形【命题意图】本题考查诱导公式、余弦定理,意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力.【解析】(1)因为cos2π2+A+cosA所以sin2A+cosA=54即1-cos2A+cosA=54解得cosA=12又0<A<π,所以A=π3(2)因为A=π3,所以cosA=b2+即b2+c2-a2=bc①,又b-c=33a②,将②代入①得b2+c2-3b-c2即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c,故b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.【命题意图】本题考查应用正弦定理角化边、余弦定理和基本不等式,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=AC·AB,所以cosA=AC2+因为A∈(0,π),所以A=2π(2)由(1)知A=2π3,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA=AC2+AB2+AC·AB即(AC+AB)2-AC·AB=9.因为AC·AB≤AC+AB22(当且仅当AC所以9=(AC+AB)2-AC·AB≥(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC解得:AC+AB≤23(当且仅当AC=AB时取等号),所以△ABC的周长=AC+AB+BC≤3+23,所以△ABC周长的最大值为3+23.5.(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.【解析】方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理得a2+由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c由①ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理得a2+由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b由②csinA=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理得a2+由sinA=3sinB及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c由③c=3b与b=c矛盾.因此,选条件③时问题中的三角形不存在.三、解答题4.(2020·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17条件②:cosA=18,cosB=9注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等变换等.【解析】方案一:选①.(1)由已知及余弦定理,cosA=b2+c2-a2又a+b=11,解得a=8;(2)由(1)知,b=3,又sin2A+cos2A=1,0<A<π,所以sinA=437,由正弦定理得asinA=csinC所以sinC=32,S△ABC=12absinC=6方案二:选②.(1)因为cosA=18,所以A∈0所以sinA=37因为cosB=916,所以B∈0所以sinB=57由正弦定理:asinA=bsinB,又由a+b=11,(2)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=74因为a+b=11,所以b=5,所以S△ABC=12absinC=155.(2020·天津高考·T16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sinA的值;(3)求sin2A+【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换在解三角形中的应用,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.【解题指南】(1)直接利用余弦定理运算即可;(2)由(1)及正弦定理即可得到答案;(3)先计算出sinA,cosA,进一步求出sin2A,cos2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.【解析】(1)在△ABC中,由a=22,b=5,c=13及余弦定理得cosC=a2+b2-又因为C∈(0,π),所以C=π4(2)在△ABC中,由C=π4,a=22,c=13及正弦定理,可得sinA=asinCc=(3)由a<c知角A为锐角,由sinA=21313,可得cosA=1-进而sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=2cos2A-1=5所以sin2A+π4=sin2Acosπ4+cos2Asinπ4=1213×26.(2020·浙江高考·T18)(本题满分14分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围.【命题意图】本题主要考查正弦定理,和角公式等基础知识,同时考查运算求解能力.体