第67讲直线与圆锥曲线的位置关系

第67讲直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2、弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3、中点弦所在直线的斜率圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k，其中k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．圆锥曲线方程直线斜率椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)k＝－eq\f(b2x0,a2y0)双曲线：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)k＝eq\f(b2x0,a2y0)抛物线：y2＝2px(p＞0)k＝eq\f(p,y0)1、（2023•甲卷（文））已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．2、（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则A．2 B． C．3 D．【答案】【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，，由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以．故选：．3、（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为．【答案】．【解析】设，，，，线段的中点为，由，，相减可得：，则，设直线的方程为：，，，，，，，，，，解得，，，化为：．，，解得．的方程为，即，故答案为：．4、（2022•甲卷（文））记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值．【答案】，内的任意一个值都满足题意）．【解析】双曲线的离心率为，，双曲线的渐近线方程为，直线与无公共点，可得，即，即，可得，满足条件“直线与无公共点”的的一个值可以为：2．故答案为：，内的任意一个值都满足题意）．5、（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形【答案】【解析】直线过抛物线的焦点，可得，所以，所以正确；抛物线方程为：，与交于，两点，直线方程代入抛物线方程可得：，，所以，所以不正确；，的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：，所以以为直径的圆与相切，所以正确；，不妨可得，，，，，，，所以不是等腰三角形，所以不正确．故选：．6、（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则A．的准线为 B．直线与相切 C． D．【答案】【解析】点在抛物线上，，解得，抛物线的方程为，准线方程为，选项错误；由于，，则，直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与抛物线相切，选项正确；根据对称性及选项的分析，不妨设过点的直线方程为，与抛物线在第一象限交于，，，，联立，消去并整理可得，则，，，，由于等号在时才能取到，故等号不成立，选项正确；，选项正确．故选：．7、（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则A．直线的斜率为 B． C． D．【答案】【解析】如图，，，，且，，，由抛物线焦点弦的性质可得，则，则，，，故正确；，，，故错误；，故正确；，，，，，，，，均为锐角，可得，故正确．故选：．8、（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．（1）求的方程；（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得，，解得，，因此的方程为，（2）解法一：设直线的方程为，，将直线的方程代入可得，△，，，，，设点的坐标为，，则，两式相减可得，，，解得，两式相加可得，，，解得，，其中为直线的斜率；若选择①②：设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，，，此时点的坐标满足，解得，，为的中点，即；若选择①③：当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，此时，，由于点同时在直线上，故，解得，因此．若选择②③，设直线的方程为，并设的坐标为，，的坐标为，，则，解得，，同理可得，，设的中点，，则，，由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上，将该直线联立，解得，，即点恰为中点，故点在直线上．（2）解法二：由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②③，或选由②③①：由②成立可知直线的斜率存在且不为0．若选①③②，则为线段的中点，假设的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点，此时由对称性可知、关于轴对称，从而，已知不符．综上，直线的斜率存在且不为0，直线的斜率为，直线的方程为．则条件①在直线上，等价于，两渐近线的方程合并为，联立方程组，消去并化简得：，设，，，，线段中点为，，则．，设，，则条件③等价于，移项并利用平方差公式整理得：，，，，，，由题意知直线的斜率为，直线的斜率为，由，，，直线的斜率，直线，即，代入双曲线的方程为，即中，得，解得的横坐标为，同理，，，，条件②等价于，综上所述：条件①在上等价于，条件②等价于，条件③等价于．选①②③：由①②解得，③成立；选①③②：由①③解得：，，，②成立；选②③①：由②③解得：，，，①成立．9、（2023•甲卷（文））已知直线与抛物线交于，两点，．（1）求；（2）设为的焦点，，为上两点，且，求面积的最小值．【解析】设，，，，联立，消去得：，，，△，，，，，，，，（2）由（1）知，所以，显然直线的斜率不可能为零，设直线，，，，由，可得，所以，，△，因为，所以，即，即，将，，代入得，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，又或，所以当时，的面积1、直线y＝kx－k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】A【解析】直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1).又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2、过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，直线y＝1，过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).3、已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(eq\r(2)，0)是椭圆C的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________________．【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(2)，,\f(2b2,a)＝2，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(2)，))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.4、经过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值为________．【答案】－eq\f(1,3)【解析】依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y＝x－1，代入椭圆方程消去y并整理，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝eq\f(4,3)，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3).同理，当直线l经过椭圆的左焦点时，也可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)，故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值为－eq\f(1,3).考向一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．【解析】联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋4y2＝4，))消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，依题意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)．(1)当Δ>0，即k<－eq\f(\r(,3),2)或k>eq\f(\r(,3),2)时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即k＝±eq\f(\r(,3),2)时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即－eq\f(\r(,3),2)<k<eq\f(\r(,3),2)时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．变式1、若直线l：y＝kx＋2与曲线C：y2＝x恰好有一个公共点，求实数k的取值集合．【解析】因为直线l与曲线C只有一个公共点，所以方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝x))有唯一一组实数解，消去y并整理，得k2x2＋(4k－1)x＋4＝0.①当k＝0时，解得x＝4，这时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2；))②当k≠0时，Δ＝(4k－1)2－4×4k2＝－8k＋1，令Δ＝0，解得k＝eq\f(1,8)，此时原方程组有唯一解．综上，实数k的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).变式2、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是__________．【答案】(－eq\f(\r(15),3)，－1)【解析】联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6，))消去y并整理，得(1－k2)x2－4kxA(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,k<0，,Δ＝16k2－4(1－k2)×(－10)＞0，,x1＋x2＝\f(4k,1－k2)＞0，,x1x2＝\f(－10,1－k2)＞0，))解得－eq\f(\r(15),3)＜k＜－1，故实数k的取值范围是(－eq\f(\r(15),3)，－1).方法总结：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．联立直线与圆锥曲线的方程消元后，要注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．考向二圆锥曲线的弦长问题例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，AB＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若AB＋CD＝eq\f(48,7)，求直线AB的方程．【解析】(1)由题意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7，不满足条件；②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x－1).将直线AB的方程代入椭圆方程中，消去y并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以AB＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\f(12(k2＋1),3＋4k2).同理，CD＝eq\f(12(k2＋1),3k2＋4)，所以AB＋CD＝eq\f(12(k2＋1),3＋4k2)＋eq\f(12(k2＋1),3k2＋4)＝eq\f(84(k2＋1)2,(3＋4k2)(3k2＋4))＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.变式1、已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与抛物线C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若AF＋BF＝4，求直线l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求AB的长．【解析】(1)设直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线焦半径公式可知AF＋BF＝x1＋x2＋eq\f(3,2)＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,y2＝3x，))消去y并整理，得9x2＋(12m－12)x＋4m2＝0，则Δ＝(12m－12)2－144m2>0，解得m<eq\f(1,2)，所以x1＋x2＝－eq\f(12m－12,9)＝eq\f(5,2)，解得m＝－eq\f(7,8)，所以直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8)，即12x－8y－7＝0.(2)设P(t，0)，直线l的方程为x＝eq\f(2,3)y＋t，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)y＋t，,y2＝3x，))消去x并整理，得y2－2y－3t＝0，则Δ＝4＋12t>0，解得t>－eq\f(1,3)，所以y1＋y2＝2，y1y1＝－3t.因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，所以y2＝－1，y1＝3，所以y1y2＝－3，则AB＝eq\r(1＋\f(4,9))·eq\r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\f(\r(13),3)×eq\r(4＋12)＝eq\f(4\r(13),3).方法总结;(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长．(2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算．(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．考向三求圆锥曲线的中点弦例3、(1)已知P(1，1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内的一点，经过点P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在直线的方程为________；【答案】x＋2y－3＝0【解析】方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝k(x－1)，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y并整理，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝eq\f(4k(k－1),2k2＋1).又因为x1＋x2＝2，所以eq\f(4k(k－1),2k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2)，故此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(xeq\o\al(2,1),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1①，eq\f(xeq\o\al(2,2),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1②，由①－②，得eq\f((x1＋x2)(x1－x2),4)＋eq\f((y1＋y2)(y1－y2),2)x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以eq\f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)，所以此弦所在的直线方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.(2)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为________．【答案】x2＝3y【解析】设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,y＝2x－2，))消去y并整理，得x2－2ax＋2a＝0，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2a,2)＝3，即a＝3，所以所求抛物线的方程是x2＝3y.变式1、以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2＝2的弦所在直线的方程为________.【答案】4x－y－7＝0【解析】设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P1，P2在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝2，,2xeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,2)＝2，))∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2×4(x1－x2)＝2(y1－y2)，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1＝4(x－2)，整理得4x－y－7＝0.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y－7＝0，,2x2－y2＝2，))得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝(－56)2－4×14×51＞0.∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为4x－y－7＝0方法总结：(1)处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．(2)“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．由于“点差法”具有不等价性，所以在使用时要考虑判别式Δ是否为正数考向四圆锥曲线中的综合性问题例4、如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(2，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.【解析】(1)因为椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1经过点(b，2e)，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(4e2,b2)＝1.因为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,8)，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(c2,2b2)＝1.因为a2＝b2＋c2，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(8－b2,2b2)＝1，整理，得b4－12b2＋32＝0，解得b2＝4或b2＝8(舍去)，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)方法一：分别过点A，B作椭圆右准线的垂线，垂足分别为A′，B′，再过点B作BM⊥AA′，垂足为M.设TB＝m，由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))知，TA＝2m.由(1)知T为椭圆C的焦点，所以BB′＝eq\f(m,e)，AA′＝eq\f(2m,e)，所以AM＝eq\f(m,e)＝eq\r(2)m.在Rt△ABM中，BM＝eq\r(9m2－2m2)＝eq\r(7)m，所以tan∠BAM＝eq\f(\r(7)m,\r(2)m)＝eq\f(\r(14),2)，故直线l的斜率k为eq\f(\r(14),2).方法二：设直线l的方程为y＝k(x－2)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))知，y1＝－2y2，①依题意，得k≠0，不妨设m＝eq\f(1,k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋4my－4＝0，则y1＋y2＝－eq\f(4m,m2＋2)，②y1y2＝eq\f(－4,m2＋2)，③联立①②③，解得m2＝eq\f(2,7)，即k＝eq\f(\r(14),2)或k＝－eq\f(\r(14),2)(舍去).故直线l的斜率k为eq\f(\r(14),2).变式1、如图，已知椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在x轴的下方).若eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.【解析】设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\o(AT,\s\up6(→))＝2eq\o(TB,\s\up6(→))，知y1＝－2y2.①依题意，得k≠0，不妨设m＝eq\f(1,k)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，))消去x并整理，得(m2＋2)y2＋2my－7＝0，所以y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋2)，②y1y2＝eq\f(－7,m2＋2)，③联立①②③，解得m2＝14，即k＝－eq\f(\r(14),14)(舍去)或k＝eq\f(\r(14),14)，故直线l的斜率k为eq\f(\r(14),14).1、（2022年江苏省高三模拟试卷）已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】：因为，所以时，，则，所以在点处的切线的斜率为，即双曲线的一条渐近线的斜率为，所以曲线C的离心率为，故选：C2、（2022年湖南省长沙市第一中学高三模拟试卷）（多选题）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（）A.的准线方程为B.直线与相切C.若，则的最小值为D.若，则的周长的最小值为11【答案】BCD【解析】抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；设点，所以，所以，故C正确；如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷）（多选题）已知双曲线，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（）A.的最小值为B.以F为焦点的抛物线的标准方程为C.满足的直线有3条D.若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率答案：BD【解析】选项A.当直线l的斜率为0时，于A，B两点分别为双曲线的顶点，则又，故选项A不正确.选项B.,则以F为焦点的抛物线的标准方程为，故选项B正确.选项C.当A，B两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则，此时无满足条件的直线.当A，B两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则，此时无满足条件的直线.故选项C不正确.选项D.过右焦点F分别作两渐近线的平行线，如图，将绕焦点沿逆时针方向旋转到与重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点.此时直线l的斜率或,故选项D正确故选：BD4、(2022·南京9月学情【零模】)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B．F是椭圆的右焦点，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ