考点40 直线与圆锥曲线的位置关系

考点40直线与圆锥曲线的位置关系选择题1..(2020·新高考全国Ⅰ卷)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.

【命题意图】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系,考查运算能力,体现了直观想象和逻辑推理等核心素养.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以由题意知直线AB的方程为y=3(x-1),与y2=4x联立得3(x-1)2=4x,即3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103,所以|AB|=x1+x2+2=16答案:16填空题无解答题2.(2020·北京高考·T20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(-2,(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)作直线l与C交于M,N,MA与NA与x=-4交于P,Q,求|PB【命题意图】考查椭圆方程、性质,直线与椭圆的位置关系等.【解析】(1)由已知得,4a2+1b2=1,a=2b,所以a2=8,所以椭圆C的方程为x28+y(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),显然MN斜率存在,设为k,则MN:y=k(x+4),由y=k(x+4),x2+4y2=8,得(1+4k所以x1+x2=-32k21+4k2,x1xAM方程为y+1=y1+1x1+2(x+2),又y1=k(x1+4),令x=-4得,yP=-(2k+1所以|PB|=(x1+4结合*知,x1x2+2(x1+x2)+8=32k21+4k2=-(x所以|PB||BQ|=-(x1+x2)+2x23.(2020·天津高考·T18)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3=,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用,考查学生的运算求解能力,属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时,要想到联立直线与圆锥曲线的方程.【解题指南】(1)根据题意,并借助a2=b2+c2,即可求出椭圆的方程;(2)利用直线与圆相切,得到CP⊥AB,设出直线AB的方程,并与椭圆方程联立,求出B点坐标,进而求出P点坐标,再根据CP⊥AB,求出直线AB的斜率,从而得解.【解析】(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为所以b=3,由|OA|=|OF|,得c=b=3,又由a2=b2+c2,得a2=32+32=18,所以椭圆的方程为x218+y(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以CP⊥AB,根据题意可知,直线AB和直线CP的斜率均存在,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y+3=kx,即y=kx-3,联立得方程组y消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=12k将x=12k2k2+1代入y=kx-3,得y=k所以,点B的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1,因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为6k2k2+1,-