高等数学一元函数微分学及其应用课件

第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics一元函数微分学及其应用高等数学第二章e7d195523061f1c01da5a1f08371e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第二节导数的计算法则第三节微分的概念与应用第四节微分中值定理及其应用第五节泰勒中值定理第六节函数的性态与图形第七节导数的实际应用第一节

导数的概念及基本求导公式e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2课前导读我们首先来看几个函数的图像.3图2-1图2-2图2-3大家会发现，在处它们都是连续的，但是前两个函数的图和后一个函数的图像相比，处有“角点”或“尖点”出现（见图2-1、图2-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说处比较“光滑”（见图2-3）.课前导读我们首先来看几个函数课前导读4前面两个函数在处“导数”不存在，即不可导，而第三个函数在处是“可导”的.那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢?这就是这一章要研究的内容.课前导读4前面两个函数在一、割线与切线在中学数学中，圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”（见图2-4）.yOyOx图2-4图2-5但对于一般曲线，这样定义是不合适的。例如，直线与抛物线只有一个交点（见图2-5），但显然不是实际意义下的切线.x下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义.一、割线与切线在中学数学中，圆的切线可以定一、割线与切线设曲线:，，在曲线上取点

及点

，连接

，则为过点的割线，割线的倾角为

（见图2-6）.则割线的斜率为yxONxΔyΔx图2-6导数的几何意义一、割线与切线设曲线:一、割线与切线从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过程中，需要用到极限当，即

时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线称为曲线在点处的切线.x→x0此刻切线的斜率即为yxONTαxΔyΔx图2-6一、割线与切线从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过程中二、导数的定义定义设函数

在的某个邻域内有定义，当在处增量为

（在该邻域内）时，相应地，函数有增量.存在，则称该极限为

在点处的导数，记为，，或如果二、导数的定义定义设函数二、导数的定义这时也称函数在点处可导.如果该极限不存在，称函数在点处不可导.特别地，如果时，也称函数在点处的导数为无穷大.二、导数的定义这时也称函数在点二、导数的定义例如，对于函数在点处（见图2-7），，极限存在.yxO图2-7而对于函数在点处（见图2-8），，极限不存在.Oxy图2-8由此可知，函数在处不可导，而在处导数为零，即.二、导数的定义例如，对于函数在点二、导数的定义导数是一种特殊的极限，是概括了各种各样的变化率概念而得出的一个更一般性、也更抽象的概念.

是函数

在

上的平均变化率，它实际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”.而导数则反映函数在点处的瞬时变化率，二、导数的定义导数是一种特殊的极限，是概括了各二、导数的定义显然，函数

在处的导数，就是导函数在处的函数值如果

在

内的每一点处均可导，则称

在

内可导.

.由函数的定义就可以得到一个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，即有记作，，或

，这时

内的每一点都对应一个导数值，二、导数的定义显然，函数在二、导数的定义所以例1

求函数在处的导数.

当由1

变到

时，函数相应的增量为解二、导数的定义所以例1求函数在二、导数的定义

（1）例2设存在，试求下列各极限:（1）（2）其中

因为

于是（2）解二、导数的定义（1）例2设三、简单函数的求导例3求(为常数)的导数.解

下面根据导数的定义求一些简单函数的导数.三、简单函数的求导例3求三、简单函数的求导例4求(为正整数)的导数.解

一般地，当，有定义时，当时,有定义时也有上式成立.例如，取

，则有；即.取，则有.三、简单函数的求导例4求三、简单函数的求导解

例5求

的导数.同理三、简单函数的求导解例5求三、简单函数的求导解

例6求的导数.特别地，当a=时，，即以为底的指数函数的导数就是它本身.三、简单函数的求导解例6求三、简单函数的求导解

例7求

的导数.特别地，三、简单函数的求导解例7求四、左、右导数下面我们来看点处的导数.我们发现这个极限不存在，和右极限所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念.都是存在的.但是它的左极限四、左、右导数下面我们来看点四、左、右导数若若存在，则称其为函数

在处的右导数，记作；存在，则称其为函数在处的左导数，记作.四、左、右导数若若存在，则称其为函数在四、左、右导数因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论：现在，我们可回答函数在处不可导的原因:函数

在处可导的充要条件是

在处左、右导数存在且相等.四、左、右导数因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我四、左、右导数解

例8已知

，求及.

故.四、左、右导数解例8已知五、切线与法线方程相应地，切线方程为法线方程为函数

在点处的导数在几何上表示曲线

在点处切线的斜率法线即为过切点

且与切线垂直的直线.五、切线与法线方程相应地，切线方程为法线方程为五、切线与法线方程解

例9求曲线在点

处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

曲线在点处的切线斜率为，五、切线与法线方程解例9求曲线五、切线与法线方程因此，切线方程为，即；法线方程为，即.例9求曲线在点

处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

五、切线与法线方程因此，切线方程为，即六、函数的可导性与连续性的关系定理1若函数在处可导，则函数在处必连续.证明若函数在处可导，由定义得，因此，故函数

在处必连续.六、函数的可导性与连续性的关系定理1若函数六、函数的可导性与连续性的关系函数连续未必可导，这说明连续是可导的必要条件.注例如，函数

在

上连续，但在点处不可导.这是因为在点处有即导数为无穷大（导数不存在）.从图形上看(见图2-9)，在该点处有与轴垂直的切线.yxO图2-9六、函数的可导性与连续性的关系函数连续未必可六、函数的可导性与连续性的关系再比如，由，得

在处连续，由不存在，得在处不可导。由图形可知（见图2-10），曲线在附近无限次震荡.y1Oxy=xsin1x-1/π1/π图2-10六、函数的可导性与连续性的关系再比如，由七、函数的和、差、积、商的求导法则定理2若

、在点处的导数均存在，则它们的和、差、积、商的导数也都存在，且有（1）；（2）；（3）（）.七、函数的和、差、积、商的求导法则定理2若七、函数的和、差、积、商的求导法则证明我们仅证明（2）七、函数的和、差、积、商的求导法则证明我们仅证明（七、函数的和、差、积、商的求导法则（3）上述公式可简记为（1），（2）若

，，均存在，则存在，且；；.注.由此可得七、函数的和、差、积、商的求导法则（3）上述公式可简记为（1七、函数的和、差、积、商的求导法则利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式.；；；.七、函数的和、差、积、商的求导法则利用商的导数公式可以得到另七、函数的和、差、积、商的求导法则例10计算下列函数的导数.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.七、函数的和、差、积、商的求导法则例10计算下列函七、函数的和、差、积、商的求导法则解

（1）（2）（3）七、函数的和、差、积、商的求导法则解（1）（2）（3）七、函数的和、差、积、商的求导法则（4）（5）七、函数的和、差、积、商的求导法则（4）（5）七、函数的和、差、积、商的求导法则（6）七、函数的和、差、积、商的求导法则（6）八、反函数的求导法则定理3如果单调函数

在某一区间内可导，且

，则它的反函数

在对应的区间

内也可导，且由反函数存在定理可知

是单调、连续的，当x

取得增量

时，（单调）.证明有

（

连续）.当

时，八、反函数的求导法则定理3八、反函数的求导法则因为

可导，且，即，因此，本定理也可简单叙述为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.如果单调函数

在某一区间内可导，且

，则它的反函数

在对应的区间

内也可导，且定理3八、反函数的求导法则因为八、反函数的求导法则利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数.是的反函数，因此，在对应的内，有内单调、可导，在且，八、反函数的求导法则利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函八、反函数的求导法则同理可得（由于在内大于零，故取正号）；（由于在

内大于零，故取正号）；八、反函数的求导法则同理可得（由于在八、反函数的求导法则内单调、可导，且，因此，在对应的内，有同理可得是的反函数，在八、反函数的求导法则内单调、可导，且，因此，在对应的内，有九、求导公式与基本求导法则1.基本求导公式至此，我们已经求出了所有基本初等函数的导数，且推出了函数的和、差、积、商的求导法则.（2）；（3）；（4）；（1）；（5）；（6）；（7）；（8）；九、求导公式与基本求导法则1.基本求导公式至九、求导公式与基本求导法则（10）；（11）；（12）；（9）；（13）；（14）；（15）；（16）.九、求导公式与基本求导法则（10）２、求导法则若u

、v

可导，则；；.２、求导法则若u、v可导，则；；.２、求导法则解

求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算，但在分段要用左、右导数的定义求之.例11求函数

的导数.

当时，当时，由

知，当

时，所以２、求导法则解求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节

导数的概念及基本求导公式第三节微分的概念与应用第四节微分中值定理及其应用第五节泰勒中值定理第六节函数的性态与图形第七节导数的实际应用第二节导数的计算法则e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2课前导读48复合函数的正确分解例如，由和复合而成，

由内函数

和外函数

复合而成.由和复合而成.课前导读48复合函数的正确分解例如，课前导读49函数的表示方式函数

表示变量与之间的对应关系，这种对应关系可以用不同的方式表达。但也有些函数的表达方式不是这样，如，，通过一个方程确定变量与之间的对应关系，这样的函数称为隐函数.例如，

，用这种方式表达的函数叫作显函数.课前导读49函数的表示方式课前导读50由参数确定的方程在实际问题中，函数与自变量可能不是直接由

表示，而是通过一参变量来表示，即课前导读50由参数确定的方程在实际问题中，一、复合函数的求导法则如果

在点处可导，

在点处可导，则复合函数在点处可导，且有（即）证明

其中定理１(复合函数的求导法则)

因为

在点处可导，故即，一、复合函数的求导法则如果当

时，规定α=0，一、复合函数的求导法则当

时，用

乘上式两边，当

时，由(１)式除以，故(１)如果

在点处可导，

在点处可导，则复合函数在点处可导，且有（即）定理１(复合函数的求导法则)

得此时由于

，

(１)式也成立.得.当时，规定α=0，一、复合函数的一、复合函数的求导法则如果

在点处可导，

在点处可导，则复合函数在点处可导，且有（即）定理１(复合函数的求导法则)

由

在点

处连续(可导⇒连续)知，即故

，因此，当

时，

，一、复合函数的求导法则如果一、复合函数的求导法则比如，若，和可导，则复合函数的求导法则也称为链式法则，它可推广到有限个函数复合的情形.且一、复合函数的求导法则比如，若一、复合函数的求导法则例１求下列函数的导数:(１)

;(２);(３);(４);(５);(６)

;(７);(８)

(１)设

则解一、复合函数的求导法则例１求下列函数的导数:(１)一、复合函数的求导法则函数可以看作由和复合而成，故(２)设，则设，则(３)(４)一、复合函数的求导法则函数一、复合函数的求导法则熟悉复合函数的求导公式后，可以省去中间变量.（5）（6）一、复合函数的求导法则熟悉复合函数的求导公式后，可以省去中间一、复合函数的求导法则函数由和及复合而成，故（7）（8）一、复合函数的求导法则函数由一、复合函数的求导法则例２

求的导数.解一、复合函数的求导法则例２求一、复合函数的求导法则解例3

求函数的导数.因为，所以一、复合函数的求导法则解例3求函数一、复合函数的求导法则解例4求幂指函数的导数.由对数的性质可知，，因此一、复合函数的求导法则解例4求幂指函数一、复合函数的求导法则解例5

已知

可导，求函数的导数.

由和复合而成，由复合函数求导法则可知，，即注求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义.此例中，表示对求导，而

表示对求导.一、复合函数的求导法则解例5已知可导，求二、高阶导数如果函数

的导数

仍是的可导函数，那么就称的导数为函数

的二阶导数，记作，，或例如，，.１、二阶导数的概念，，或即二、高阶导数如果函数１、二阶导数的概念解例６

设

，求

１、二阶导数的概念解例６设１、二阶导数的概念解例7

设

，求

１、二阶导数的概念解例7设１、二阶导数的概念证明例8

证明满足关系式所以故满足关系式，，，１、二阶导数的概念证明例8证明2、二阶导数的物理意义另外，再取定一个时刻为计时的零点.质点于时刻在直线上的位置的坐标记为，这样，质点的运动完全由某个函数

所确定.在最简单的匀速直线运动的情形中，质点经过的路程与所用的时间成正比，即如果是非匀速直线运动，取从时刻到

这样一段时间间隔，在上质点所走过的路程有相应增量，这段区间上的平均速度

设质点沿直线运动，在直线上给定原点和单位点(表示实数１的点)，使直线成为数轴.（2）2、二阶导数的物理意义2、二阶导数的物理意义若令，即，那么的极限值就精确地反映了质点在时刻这一瞬间运动的快慢程度。一般地，变速直线运动的速度

就是位置函数

对时间的导数，即，或而加速度

是速度函数

对时间的变化率，即速度函数，对时间的导数，即，或.因此在时，瞬时速度即为2、二阶导数的物理意义若令3、ｎ阶导数的计算一般地，设如果

的阶导数仍可导，便称为

的n阶导数。；，，或时，阶导数的记号是，

，或.二阶及二阶以上的导数均称为高阶导数，称

为一阶导数。其中，三阶导数的记号为如果函数

具有阶导数，则

的一切低于阶的导数均存在.函数具有阶导数时，也称为阶可导.3、ｎ阶导数的计算一般地，设3、ｎ阶导数的计算解例9

求的阶导数，，，，，当

时（），，.一般地，3、ｎ阶导数的计算解例9求的3、ｎ阶导数的计算解例10

设，求…，3、ｎ阶导数的计算解例10设3、ｎ阶导数的计算解例11

求的阶导数.令，，，.3、ｎ阶导数的计算解例11求的阶3、ｎ阶导数的计算若，则因此，.同样可得的阶导数

.例11

求的阶导数.，3、ｎ阶导数的计算若3、ｎ阶导数的计算解因此例12

求的阶导数.，.3、ｎ阶导数的计算解因此例12求3、ｎ阶导数的计算定理２（高阶导数的运算法则）若，

具有阶导数，则（1），（2），其中.3、ｎ阶导数的计算定理２（高阶导数的运算法则）若3、ｎ阶导数的计算公式（2）称为莱布尼茨（Leibniz）公式。这个公式在形式上与二项式展开式相仿，可以这样来记:在二项展开式中，把函数的幂次改为导数的阶数，即得.3、ｎ阶导数的计算公式（2）称为莱布尼茨（3、ｎ阶导数的计算解故例13

求的50阶导数.，，，，，即3、ｎ阶导数的计算解故例13求三、隐函数的导数设变量和满足方程

如果在一定条件下，当取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这个方程的唯一的值存在，那么称方程

在该区间内确定了一个隐函数，记为.

设方程

确定了一个函数，将“代入”方程，便得到恒等式

在等式

两边关于求导，且将看作的函数，即可解得.比如，将写成就是指这个过程.

但有些函数显化却很困难，甚至不可能，比如那么如何对隐函数导呢?将一个隐函数转化成显函数，叫作隐函数的显化.三、隐函数的导数设变量和满足方三、隐函数的导数解例14设方程所确定的隐函数为，求.将两端对求导数，故.在上式中，令，，得由知，故.三、隐函数的导数解例14设方程三、隐函数的导数解在题设方程两边同时对自变量求导，得，解得.在点

处，于是，在点

处的切线方程为，即对隐函数也可以求高阶导数。只要在求导过程中始终将、

、

等看成的函数即可.例15求由方程所确定的函数

在点

处的切线方程三、隐函数的导数解在题设方程两边同时对自变量求导，得，三、隐函数的导数解方程两边对求导，得例16

设求

在点（0，1）处的值.（3）代入得将方程（3）两边再对求导得代入,得三、隐函数的导数解方程两边对求导，得例16设三、隐函数的导数解得例17求由方程所确定的隐函数对的导数.先将方程取对数，得，然后两边关于求导，即（

），其中

是由方程所确定的隐函数.三、隐函数的导数解得例17求由方程3、ｎ阶导数的计算注对于幂指函数，可将其写成

再求导，也就是复合函数求导，也可两边取对数:将其视为隐函数对求导，这种求导的方法称为对数求导法.对数求导法还适用于下列形式的函数.3、ｎ阶导数的计算注对于幂指函数三、隐函数的导数解等式两边取对数得故上式两边对求导得例18

设，求.三、隐函数的导数解等式两边取对数得故上式两边对求导得例四、由参数方程确定的函数的导数考虑由参数方程，（其中为参数）确定的函数

的导数.下面就来讨论这种求导数的方法.现在我们希望有一种方法，能直接由参数方程

算出它们所确定的函数的导数.如果能从

中解出，则由

求得导数.这个方法实质是消去参数，但这个工作是困难的（有时是不可能的，如

）.四、由参数方程确定的函数的导数考虑由参数方程四、由参数方程确定的函数的导数如果

的反函数为，且它满足反函数的求导条件，则可将

看作

与

的复合函数.这里

是反函数的求导法则中的条件之一.利用反函数的求导法则，得四、由参数方程确定的函数的导数如果四、由参数方程确定的函数的导数如果

、

二阶可导，则有二阶导数类似地，我们可求得更高阶的导数.四、由参数方程确定的函数的导数如果四、由参数方程确定的函数的导数解例19已知圆的参数方程为，，求.四、由参数方程确定的函数的导数解例19已知圆的参数方程为四、由参数方程确定的函数的导数解例20设参数方程为，求.四、由参数方程确定的函数的导数解例20设参数方程为四、由参数方程确定的函数的导数解例21设参数方程为，求.；.四、由参数方程确定的函数的导数解例21设参数方程为四、由参数方程确定的函数的导数解例22设参数方程为，求.；.四、由参数方程确定的函数的导数解例22设参数方程为四、由参数方程确定的函数的导数或直接运用公式求二阶导数:由，，，得.例22设参数方程为，求.四、由参数方程确定的函数的导数或直接运用公式求二阶导数:由五、相关变化率设

、

均可导，且由，确定了与之间存在着某种关系，这样与（变化率）之间也存在一定的关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.我们研究这种关系，就是希望从一个已知的变化率求出另一个未知的变化率.五、相关变化率设五、相关变化率例23

一长为５m的梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5m/s的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3m时，梯子上端向下滑落的速率.yx5图2-11x

表示梯子下端离墙的距离，y

表示梯子上端到地面的距离，这里x

，y都是时间t

的函数，于是.两边对t求导，得即注意到以及

代入得，即梯子上端向下滑落的速率为m/s.

解如图2-11所示，五、相关变化率例23一长为５m的梯子斜靠在墙e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节

导数的概念及基本求导公式第二节导数的计算法则第四节微分中值定理及其应用第五节泰勒中值定理第六节函数的性态与图形第七节导数的实际应用第三节微分的概念与应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac2课前导读96我们先来试着计算这样的两组数：通过计算可以发现什么规律呢?.，所以，有些时候，我们可以用来近似替代

，因为它极容易计算，误差又小.（2）当

越来越小时，和

越接近.（1）

计算比计算

容易得多；课前导读96我们先来试着计算这样的两组数：一、微分的定义在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量有微小变化

时，求函数的微小改变量微分就是实现这种线性化的一种数学模型.一个想法是：

我们设法将

示成

的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题.

这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数

，差值

却是一个更复杂的表达式，不易求出其值.一、微分的定义在理论研究和实际应用中，常常会一、微分的定义例1一块正方形金属薄片因受温度变化的影响，其边长由变到

，问：此薄片的面积改变了多少?设此薄片的边长为，.解面积的改变量可以看成是因变量取得相应的增量

，即薄片受温度变化的影响，当自变量从变到

取得增量

时，面积为，则，一、微分的定义例1一块正方形金属薄片因受温度一、微分的定义第一部分

是

的线性函数，即图2-12中灰色的两个矩形面积之和，而第二部分

在图中是黑色的小正方形面积.x0x0A=x02由此可见，如果边长改变很微小，即

很小时，面积的改变量

可近似地用第一部分来代替.当

时，第二部分

是比

高阶的无穷小，即.图2-12从上式可以看出，

由两部分组成：一、微分的定义一、微分的定义定义设函数

在某区间内有定义，

，

如果函数的增量

可表示成其中为不依赖于

的常数，抛开上述例子的实际背景，即得到微分的定义.即.记作，而

叫作函数

在点相应于自变量增量

的微分，那么称函数

在点处是可微的，而

是比

高阶的无穷小，一、微分的定义定义设函数一、微分的定义定理

函数

在处可微的充分必要条件是

在处可导.设函数

在处可微，则有.当时，，因此即

在处可导.，证明一、微分的定义定理函数其中，即因此，一、微分的定义即

在处可微.反之，若

在处可导，则有

存在。.由，知，即，由上述证明可知，若函数

在处可微，其微分.定理

函数

在处可微的充分必要条件是

在处可导.其中，即因此一、微分的定义例2

设，求（1）；(２)及.（1）（2）解.，一、微分的定义例2设，一、微分的定义例3求函数在时，

分别等于0.01和0.0001时的增量与微分.当，时，；；当，时，解一、微分的定义例3求函数一、微分的定义当

时，；当

时，

这时，用的值近似替代

的值，误差是非常小的.通过计算可以发现，.一、微分的定义当时，二、基本初等函数的微分公式及微分法则如果函数

在区间

内每一点处都可微，称

是

内的可微函数.函数

在任意一点处的微分就称为函数的微分，记为，即有并且有.在引入微分概念前，我们将导数

看作一个整体记号.现在引入微分概念后，可将导数看作是两个微分(函数微分与自变量微分)的商，因此也称导数为“微商”.我们规定，这样微分可记为，.二、基本初等函数的微分公式及微分法则如果函二、基本初等函数的微分公式及微分法则当

时，

、都是无穷小，当

时这表明在

的条件下，当

时，

不仅为，还是

，因此称是

的主部.又由

是

的线性函数，则称是

的线性主部(当时).，二、基本初等函数的微分公式及微分法则当二、基本初等函数的微分公式及微分法则又因为当

时，

、都是无穷小，且故当

很小时，可以用代替，即.二、基本初等函数的微分公式及微分法则又因为当二、基本初等函数的微分公式及微分法则由于导数可看作微商

，即，故由导数的公式和求导法则很容易得到微分公式及微分法则.（1）；（3）；（2）；（4）；（5）；（6）；二、基本初等函数的微分公式及微分法则由于导数可二、基本初等函数的微分公式及微分法则（7）；（8）；（9）；（10）；（12）；（11）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；二、基本初等函数的微分公式及微分法则（7）二、基本初等函数的微分公式及微分法则（18）；（19）；（20）设

、

可微，则复合函数

可微，且它的微分为由，得.由此可见，不管是自变量，还是中间变量(另一变量的可微函数)，微分形式

保持不变，这一性质称为微分形式的不变性.，二、基本初等函数的微分公式及微分法则（18）二、基本初等函数的微分公式及微分法则

解

例4

设，求.二、基本初等函数的微分公式及微分法则解二、基本初等函数的微分公式及微分法则例5

设，求.应用微分形式的不变性有（视为中间变量）

解二、基本初等函数的微分公式及微分法则例5设二、基本初等函数的微分公式及微分法则

解一例6

设，求二、基本初等函数的微分公式及微分法则解一二、基本初等函数的微分公式及微分法则

解二二、基本初等函数的微分公式及微分法则解二二、基本初等函数的微分公式及微分法则我们用微分法来计算这个问题.例7

设是由方程确定的隐函数，求.由

，得，即，因此解二、基本初等函数的微分公式及微分法则我们用微分法来计算这个问三、微分的几何意义在曲线

上取相邻的两点

和，过点作曲线的切线，设的倾角为α

，则的斜率为.因此，当

是曲线对应于点x的函数增量时，

即是过点

的切线的纵坐标增量。图中线段

是

与

之差，是比

更高阶的无穷小.yNTM1αOxdy图2-13xM1α从图2-13可知微分的几何解释三、微分的几何意义在曲线三、微分的几何意义由此可见，对于可微函数

而言，当

是曲线

上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.因此在点M1

的邻近，我们可用切线段来近似代替曲线段.

当

很小时，比

小得多.三、微分的几何意义由此可见，对于可微函数四、近似计算在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，既费力又费时.利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替.即若记，则有即在附近可用x

的线性函数来近似表达函数.

如果

在处可微，且（１），（2）很小，则四、近似计算在工程问题中，经常会遇到一些复杂四、近似计算

解例8