高等数学各章总结

第一章函数一、知识结构：函数函数集合函数关系实数集（区间）集合的运算（交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数分段函数反函数函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）二、例题：判断题设,,可以复合成一个函数；函数的定义域是且；函数在内无界；函数在内无界；是奇函数；与是相同函数；函数是奇函数；与是同一函数；函数是奇函数；函数的定义域是；与不是同一个函数；函数是偶函数.填空题设则复合函数为=_________；设,,则=_______；复合函数是由________,________,_______函数复合而成的；已知,则__________；,其定义域为__________；设函数,则=__________；考虑奇偶性,函数为___________函数；函数的反函数是,它的图象与的图象关于________对称.选择题函数的定义域是()(A)(B)(C)(D)函数在区间内()(A)单调增加(B)单调减少(C)不增不减(D)有增有减下列函数中，是奇函数的是()(A)(B)(C)(D)已知函数，则的值为()(A)(B)(C)1(D)2

第二章极限与连续一、知识结构：极限连续极限连续极限连续极限的定义极限的性质数列极限连续的定义一点处的连续开区间上连续闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计算函数极限唯一性有界性保号性四则运算法则夹逼准则无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算连续函数的四则运算连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型二、例题：判断题函数在点处有极限，则函数在点必连续；时,与是等价无穷小量；若，则必在点连续；当时，与相比是高阶无穷小；函数在内是单调的函数；设在点处连续，则；函数在点连续；是函数的间断点；是一个无穷小量；当时，与是等价的无穷小量；若存在，则在处有定义；若与是同一过程下两个无穷大量，则在该过程下是无穷小量；是一个复合函数；；；函数在点连续；是函数的间断点；以零为极限的变量是无穷小量；填空题_______；=_______；函数在_______处间断；=_______；当时，是比______阶的无穷小量；当时，若与是等价无穷小量，则______；__________；设连续，则_________；___________；________；_________；设在处________（是、否）连续；当时，与是______（同阶、等价）无穷小量.选择题当时，为()(A)无穷小量(B)无穷大量(C)有界变量但不是无穷小量(D)无界变量时，下列变量中为无穷大量的是()(A)(B)(C)(D)已知函数，则和()(A)都存在(B)都不存在(C)第一个存在，第二个不存在(D)第一个不存在，第二个存在函数的连续区间是()(A)(B)(C)(D)设，则()(A)(B)(C)(D)函数，在处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续()(A)0(B)不存在(C)(D)1在点处有定义，是在处连续的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件下列极限存在的有()(A)(B)(C)(D)计算与应用题设在点处连续，且，求.求极限:(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10)求极限:(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).(9).(10)第三章导数与微分一、知识结构：导数微分导数微分导数微分导数的定义左导数微分的计算基本微分公式微分形式不变性微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导可微的定义可微、可导及连续的关系可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程高阶导数可导与连续的关系二、例题：判断题若函数在点可导，则；若在处可导，则一定存在；函数在其定义域内可导；若在上连续，则在内一定可导；；函数在点可导；若则；；若在点不可导，则在不连续；函数在点处不可导.填空题，则_________；曲线在点处的切线方程是________；设，则=______；，_______；设，则=________；设，则=________；曲线在点的处的切线方程是_______；若与在处可导，则=_________；=_______；设在处可导，且，则用A的代数式表示为_______；导数的几何意义为________________________；曲线在处的切线方程是___________；曲线在处的切线方程是___________；函数的微分__________；曲线在点处切线方程是_________；的近似值是_________；(是正整数)的阶导数是________.选择题设在点处可导，则下列命题中正确的是()(A)存在(B)不存在(C)存在(D)不存在设在点处可导且，则等于()(A)4(B)–4(C)2(D)–2设，则在点=0处()(A)可导(B)连续但不可导(C)不连续(D)无定义设可导，则=()(A)(B)(C)(D)设，且存在，则()(A)(B)(C)(D)函数，则()(A)(B)(C)(D)函数的导数为()(A)(B)(C)(D)函数在处连续，是在处可导的()充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件已知，则()(A)(B)(C)(D)函数在处()(A)连续但不可导(B)连续且可导(C)极限存在但不连续(D)不连续也不可导函数，在处()(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续设，则()(A)(B)(C)(D)函数，在点不连续是因为()(A)(B)(C)不存在(D)不存在设，则()(A)(B)(C)(D)已知函数，则（）(A)(B)(C)(D)设，则在处（）(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续但不可导(D)可导已知，则()(A)(B)(C)(D)计算与应用题设f(x)=(),求设确定是的函数，求设，求设，求设确定是的函数，求设，求y,求及，求及，求，并求其在点处的切线与法线方程.，求及，求及，求，并求其在点处的切线与法线方程.已知，求设，求求的微分设，求设，求方程确定是的函数，求设，求方程确定是的函数，求，求，求已知，求设，求已知，求求的微分第四章函数一、知识结构：中值定理及应用中值定理及应用中值定理罗尔定理中值定理的应用洛必达法则函数的单调性极值曲线的凹向拐点拉格朗日定理柯西定理最大值与应用问题渐近线，函数作图边际与弹性分析二、例题：判断题曲线在是下凹的，在是上凹的；是在上的极小值点；曲线在点没有切线；函数可导，极值点必为驻点；函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；是曲线的拐点；7若，，则是的极大值；8.函数在上满足拉格朗日定理；9.若是函数的极值点，则；函数在上的极大值一定大于极小值；当很小时，；；曲线的拐点是；函数在点处取得极大值，则或不存在；是可导函数在点处取得极值的充要条件；曲线没有拐点；设，其中函数在处可导，则；因为在区间内连续，所以在内必有最大值；填空题（为正整数）=________；设在点处取得极小值，则=_______；设在是上凹的，则=______；若函数在区间内恒有，则曲线在内的凹向是_______；若，则曲线的拐点横坐标是______；函数在上满足罗尔中值定理的______；函数在上满足拉格朗日中值定理的__________；选择题函数在区间上满足罗尔定理的()(A)0(B)(C)(D)π函数在点处取得极大值，则必有（）(A)(B)(C)且(D)或不存在计算与应用题求极限：(1);(2);(3);(4).设某产品价格与销量的关系为（为销量），求：销量为30时的总收益；销量为30时的平均收益；销量为30时的边际收益；3、设某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是求边际利润函数；当产量分别200公斤，250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。4.某商品的成本函数为，求：时的总成本，平均成本及边际成本；产量为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少?5.给定函数，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。证明题1.证明当时，2．证明当时，；3.证明当时，第五章不定积分一、知识结构：二、例题：判断题；；若可导，则；是的一个原函数；若则；设且,则；；填空题____；设是的一个原函数，则=_____；______；_______；函数________的原函数是；若，则______；=；选择题若，则必有()(A)(B)(C)(D)设，则()(A)为常数(B)为常数(C)(D)下列等式中，正确的是()(A)(B)(C)(D)已知函数，则的所有原函数是()(A)(B)(C)(D)下列计算过程正确的是()(A)(B)(C)(D)若，则()(A)(B)(C)(D)计算与应用题1dx2dx3dx4dx5dx6dx7dx89dx