2019-2021年高考数学（理）真题汇编-07 平面解析几何（选择题、填空题）

专题07平面解析几何（选择题、填空题）

22

1.【2021.北京高考真题】双曲线C:5-亲＞=1过点卜且离心率为2，则该双曲

线的标准方程为（）

A犬~2

A.x2---y-=lIBn.----y~2=I1C.x~------:=IcD.-V-3-X--y~7=I

3333

【答案】A

【分析】分析可得匕=百“，再将点代入双曲线的方程，求出”的值，即可得出

双曲线的标准方程.

【详解】-：e=^=2,则c=2a,匕=&2_片=后,则双曲线的方程为

将点的坐标代入双曲线的方程可得提-磊=?=1,解得〃=1,故6=百，

2

因此，双曲线的方程为21=1.

3

故选：A.

2.【2021.北京高考真题】已知圆C：尤2+丁=4,直线/：丁=履+〃2,当上变化时，/截得

圆C弦长的最小值为2,则m=（）

A.±2B.±V2C.土布D.+V5

【答案】C

【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出〃？

【详解】由题可得圆心为（0,0）,半径为2,

则圆心到直线的距离（1=-fLJ=,

则弦长为2、4—-J，

\k2+i

则当攵=0时，弦长取得最小值为2^/4-，/=2,解得加=±百.

故选：C.

3.【2021.全国高考真题】已知月，尸2是椭圆C：工+匕=1的两个焦点，点加在C

94

上，则|阿卜|“局的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到制+|飒|=2。=6,借助基本不等式

'"IM.即可得到答案.

【详解】由题，〃=9出2=4,则4|+|飒|=2。=6,

所以阿7讣|皿归I”41+1叫=9(当且仅当.制=|叫卜3时，等号成立).

I2?

故选：C.

【点评】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等

式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，

也可快速求解.

4.【2021・浙江高考真题】已知a,0eR,ah>0,函数/(x)=3?+/xwR).若

/(s-/),/(5),/(s+f)成等比数列，则平面上点(s,r)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

【答案】C

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方

程.

【详解】由题意得了(s-f)/(s+f)="")『，即

[a(s-f)2+i»][a(s+f)2+0]=(as?+匕)>

对其进行整理变形：

222

(as?+a(-2ast+b^as+at+2ast+b^=(as2+b)，

(as。+a/2+_(2心/>+t)y=o>

(las2+at2+2b^at2-4a2s2t2=0,

-2a2s2r+a2t4+2aht2-0-

所以—2as?+々产+2〃=0或，=0,

£J

其中自丝一为双曲线，，=0为直线.

aa

故选：C.

【点评】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变

形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.

5.【2021・全国高考真题（理）】已知耳，工是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且

NFJP鸟=60。,忸制=3归6|,则C的离心率为（）

B.巫C.yfjD.V13

22

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出结合余弦定理可得答案.

【详解】因为归用=3归周，由双曲线的定义可得|「周一|尸居|=2|P闾=2a,

所以|「引=0,6|=3a；

因为/耳”=60。，由余弦定理可得4c2=9/+/一2x3a.a.cos60°，

整理可得4c2=7",所以e2=£=N,即6=立.

a242

故选：A

【点评】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立。间的等量关系是求解

的关键.

22

6.12021・全国高考真题（理）】设8是椭圆。：[+[=1（。＞/?〉0）的上顶点，若C上的

a~b~

任意一点P都满足|PB区勃，则C的离心率的取值范围是（）

【答案】C

【分析】设P（x。，%），由3（0,。），根据两点间的距离公式表示出|尸耳，分类讨论求出

|「理的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.

22

r222

【详解】设尸（跖,%），由B（0,。），因为之+4=1,a=b+c,所以

cTb“

（2\2（»3\214

2-2

|PB|-X1+（y0-hy=a-［一兴+（y0^）~~~7^/o+f+—+a+b',

VbJb\c~）广

因为当二W-b,即时，归优、=4/,即户叫皿=»,符合题

意，由/Ze?可得a222c2,即0<eK在；

2

当工〉-b,即/<。2时，俨冏2=4+/+〃，即匕+4+6<4〃，化简得，

c21lmaxc2c2

（c2-b2）r<0,显然该不等式不成立.

故选：C.

【点评】本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要

根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.

7.【2021・全国高考真题】已知点P在圆（x—5『+（y—5）2=16上，点4（4,0）、

3（0,2）,则（）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP8A最小时，归却=30

D.当NPBA最大时，俨却=30

【答案】ACD

【分析】计算出圆心到直线A6的距离，可得出点P到直线A8的距离的取值范围，可判

断AB选项的正误；分析可知，当NP8A最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理

可判断CD选项的正误.

【详解】圆（》一5）2+（丁一5）2=16的圆心为加（5,5）,半径为4,

直线AB的方程为：+1=1，即x+2y—4=0,

42

圆心M到直线AB的距离为22x5-4=H=11^>4,

#77V55

所以，点尸到直线A3的距离的最小值为生5—4<2,最大值为小叵+4<10,A选

55

项正确，B选项错误；

当NP5A最大或最小时，依与圆M相切，连接MP、BM,可知

\BM\=,y(0-5)2+(2-5)2=，|皿8=4,由勾股定理可得

|BP|=yj\BMf-\MPf=3A/2.CD选项正确.

故选：ACD.

【点评】结论点睛：若直线/与半径为r的圆。相离，圆心。到直线/的距离为d,则圆

。上一点P到直线/的距离的取值范围是

8.【2020年高考全国1卷理数】已知A为抛物线C：y=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的

距离为12,至的轴的距离为9,则「=

A.2B.3

C.6D.9

【答案】C

【解析】设抛物线的焦点为尸，由抛物线的定义知田|=4+5=12,即12=9+个

解得，=6.

故选：C.

【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一

道容易题.

9.【2020年高考全国I卷理数】已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：

2x+y+2=0,尸为/上的动点，过点P作。M的切线PAPB,切点为AB,当

1PMi」AB|最小时，直线A3的方程为

A.2x—y—1=0B.2x4-y-1=0

C.2x-y+l=0D.2%+y+l=0

【答案】D

【解析】圆的方程可化为(x—l)2+(y—l)2=4,点M到直线/的距离为

|2xl+l+2l

d、/\=旧r>2,所以直线/与圆相离.

V22+l2

依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且ABLMP，所以

|PM|.|AB|=4SMM=4X1X|PA|X|AM|=4|PA|,而附=

当直线时，|明皿，=6，此时最小.

11r

1/、11y=—x+—x=-l

.•.心：P一1=一(》-1)即丁=一%+—，由《’22解得，<_.

222[2x+y+2=0〔、=°

所以以MP为直径的圆的方程为(x-l)(x+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y_i=。,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线AB的方程.

故选：D.

【点评】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应

用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

10.【2020年高考全国ni卷理数】设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：

y2=2px(p>0)交于。，E两点,若OD上OE,则C的焦点坐标为

C.(1,0)D.(2,0)

【答案】B

【解析】因为直线x=2与抛物线y2=2px(>>0)交于瓦。两点，且。

根据抛物线的对称性可以确定ZDOx=ZEOx=^,所以0(2,2),

代入抛物线方程4=4”，求得〃=1,所以其焦点坐标为(；,0),

故选：B.

【点评】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,

抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.

Y-y2

11.【2020年局考全国HI卷理数】11.设双曲线C：—1(a>0,〃>0)的左、右焦

a~

点分别为Q,离心率为逐步是C上一点，且FiPLBP.若△的面积为4,

则a=

A.1B.2

C.4D.8

【答案】A

【解析】*=5：.c=舄,根据双曲线的定义可得11mHp7M=2。，

S&PF\4=glW|-|P用=4,即|产用疗用=8,

••・[PJ.&P,P耳产+归图2=@c)2,

二(归周一归居『+2|尸耳卜归周=4。2,即5〃+4=0,解得”=1,

故选：A.

【点评】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面

积公式的应用，属于中档题.

12.【2020年高考全国H卷理数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

2x—y_3=0的距离为

B.空

5

「35/5D.逑

55

【答案】B

【解析】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限,

设圆心的坐标为（。,。），则圆的半径为。，

圆的标准方程为（x—a）2+（y—a）2=储.

由题意可得（2—ay+（l—a）2=/,

可得a?-6a+5=0，解得a=1或a=5>

所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,

|2xl-l-3|275

圆心（L1）到直线-7-3-0的距离均为4

忑一亏

|2x5-5-3|_2V5

圆心（工5）到直线2x-7-3・0的距离均为4

-V5—亏

|-2|_275

圆心到直线2x-y-3=0的距离均为d正=可

所以，圆心到直线2x-y-3=0的距离为好.

故选：B.

【点评】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能

力，属于中等题.

13.【2020年高考全国H卷理数】设O为坐标原点，直线犬=。与双曲线

C：W-£=l（a>0,10）的两条渐近线分别交于。,E两点，若△QDE的面积为8,则

ab-

。的焦距的最小值为

A.4B.8

C.16D.32

【答案】B

r2v2

【解析】•**CI————1（。>0,/?>0），

arb"

b

・•・双曲线的渐近线方程是y=±—x,

a

22

直线X=。与双曲线=l(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于。,E两点

不妨设。为在第一象限，E在第四象限,

x-a(大一Q

联立〈b，解得I,

y=—x[y=t>

a

故。(。,〃)，

x=a

x-a

联立〈b解得〈,

y二——xy--b

a

故E(a,-b),

:.\ED\=2hf

△OD石面积为:S^ODE=—ax2b=ab=S,

•.•双曲线C:=-4=l(a>0,b>0),

a~h~

其焦距为2c=2ylcr+b2>2=2716=8，

当且仅当a=b=2,^2取等号，

二C的焦距的最小值：8.

故选：B.

【点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定

义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查

了分析能力和计算能力，属于中档题.

14.【2020年高考天津】设双曲线。的方程为［-与=1(。>0力>0),过抛物线

ab~

y2=4x的焦点和点(0/)的直线为I.若C的一条渐近线与I平行，另一条渐近线与/垂

直，则双曲线。的方程为

22

xy1BY丁_I

A.-----------=IC.--y2=lD.x2-y2=I

4444-

【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为(1,0),所以直线/的方程为x+；=l,即直线的斜

h

率为—b,

bbb

又双曲线的渐近线的方程为y=±-x,所以一。=——，-bx-=-1,因为

aaa

a>0,b>0,解得a=l,〃=l.

故选：。.

【点评】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的

位置关系的应用，属于基础题.

15.【2020年高考北京】已知半径为I的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值

为

A.4B.5

C.6D.7

【答案】A

【解析】设圆心C(x,y),则J(x_3[+(y_4,=1,

化简得(x—3)2+(y—4)2=1,

所以圆心C的轨迹是以“(3,4)为圆心，1为半径的圆，

所以|。。|+12|。加|=5不=5,所以1。。25—1=4,

当且仅当C在线段上时取得等号，

故选：A.

【点评】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

16.【2020年高考北京】设抛物线的顶点为。，焦点为产，准线为/.P是抛物线上异于。

的一点，过P作PQ，/于。，则线段尸。的垂直平分线

A.经过点OB.经过点P

C.平行于直线0PD.垂直于直线0P

【答案】B

【解析】如图所示:

因为线段/Q的垂直平分线上的点到EQ的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义

可知,闸=阳，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.

故选：B.

【点评】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.

17.【2020年高考浙江】已知点0(0,0),4(-2,0),8(2,0).设点0茜足|P4Hp回=2,且P为

函数。=3,4—%2图象上的点,则|OP|=

AV22R4V10

25

c.币D.Vio

【答案】D

【解析】因为1pAi一|尸3|=2<4,所以点尸在以A5为焦点，实轴长为2,焦距为4

的双曲线的右支上，由。=2,。=1可得，h2=c2-a2=4-i=3,即双曲线的右支方程为

而点P还在函数y=的图象上，所以，

y=3,4-02x=

由2/.Z/解得即PG

x--=l(x>0)3V3

3'y二—

112

故选：D.

【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考

查学生的数学运算能力，属于基础题.

18.【2020年新高考全国I卷】已知曲线C:〃*+〃y2=i.

A.若根>”>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃?=，?>0,则C是圆，其半径为«

C.若m〃<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±J-'x

Vn

D.若m=0,n>0,则C是两条直线

【答案】ACD

22

三+匕=1

【解析】对于A,若根>力>0,则加/+〃>2=1可化为11,

mn

因为相>〃>0,所以

mn

即曲线C表示焦点在)，轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若〃2=〃>0,则mf+〃y2=1可化为12+),2=,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为正的圆，故B不正确；

n

22

三+匕=1

对于C,若痴<0,则6W+〃y2=1可化为11,

mn

此时曲线C表示双曲线，

由g2+〃y2=o可得y=±J—'x,故c正确；

Vn

对于D,若加=0,〃>(),则"a2+町，=1可化为,2=—,

n

y=±—,此时曲线C表示平行于％轴的两条直线，故D正确；

n

故选：ACD.

【点评】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关

键，侧重考查数学运算的核心素养.

19.【2019年高考全国I卷理数】已知椭圆C的焦点为耳(-1,0),乙(1,0),过尸2的直线与

C交于A,8两于若|伍|=21gBI，\AB\=\BFl\,则C的方程为

?2

R*-

A.—+/=1D.-------1---------1

232

2222

y1XV1

c.—+—=1D.—+—=1

4354

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设后固=〃，则|A周=2”，忸制=|AB|=3”,

由椭圆的定义有2a=忸周+忸闾=4〃,：.|M|=2aT优|=2〃.

4n2+9n2-On2I

在A中，由余弦定理推论得COS/£AB==1

12-2«-3H3

16

在△4大工中，由余弦定理得4/+4〃2—2・2〃・2〃一=4,解得〃=31.

32

2a=4/2—2\/3,:.a=s/3,h'=/一c?=3—1=2,.,.所求椭圆方程为

22

土+匕=1,故选B.

32

法二:由已知可设内同=〃,则|A图=2”,忸耳|=|AB|=3〃,

由椭圆的定义有2a=忸制+忸用=4〃，二|做|=2a—|伍|=2〃.

41+4-2•2/?-2•cosZAFF=4/

在4A耳用和鸟中，由余弦定理得＜2}

22

n+4-2-zz-2-cosZBF2Fl=9n

又44工耳，NB工耳互补，，cos/A/^K+cos/BE6=0,两式消去

得解得〃二且

cosZA/s/^,COSZBF2FI13/+6=ll/,

2

2a=4/2=2Ga=#),b2=a2—c2=3—1=2，;所求椭圆方程为

22

土+匕=1,故选B.

32

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的

能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

22

20.【2019年高考全国H卷理数】若抛物线产2Px3。)的焦点是椭圆L+t=l的一个焦

3PP

点，则p=

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

22

【解析】因为抛物线产=2度(">0)的焦点(2,0)是椭圆二+二=1的一个焦点，所

23Pp

以3。一。=(5)2,解得P=8,故选D-

【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.

解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于，的方程，从而解出，，或者

利用检验排除的方法，如〃=2时，抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除

A,同样可排除B,C,从而得到选D.

22

21.【2019年高考全国n卷理数】设尸为双曲线C：二一与=1(4>0,/；>0)的右焦

ab

点，。为坐标原点，以。产为直径的圆与圆9+了2="交于p,。两点.若

闸=|0百，则c的离心率为

A.72B.百

C.2D.小

【答案】A

【解析】设PQ与X轴交于点A，由对称性可知PQLx轴，

又：|P。=1OF1=c，1PA|=|PA为以OF为直径的圆的半径，

.-.|0A|=|,：.P

2222

又P点在圆x2+y2="上，..£+J=2,即S=2=1=2

442a2

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优

先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是

圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.解

答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与。的关系，

可求双曲线的离心率.

22

22.【2019年高考全国HI卷理数】双曲线C：工—21=1的右焦点为F,点P在C的一条渐

42

近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|,则尸。的面积为

A.述B.逑

42

C.20D.3&

【答案】A

【解析】由a=2,b=J5,c=='.'\PO\=\PF\,xp

又尸在C的一条渐近线上，不妨设为在y=上，则孙二久巧^立X业=走，

。a222

•—△PFO=g|OF|・|y/=；xV^x*=^^,故选A.

【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推

理和数学运算素养.采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.忽视圆锥

曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的

高，便可求三角形面积.

221

23.【2019年高考北京卷理数】已知椭x圆二v+二=13>6>0）的离心率为一，贝IJ

a2b22

A.“2=2b2B.3a2=4炉

C.a=2bD.3a=4〃

【答案】B

【解析】椭圆的离心率6=上=一,。2=/—后，化简得3a2=4/,

a2

故选B.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识、基本

运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和a/,c的关系可得满足题意的等式.

24.[2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：

/+,2=A।x|,就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过血；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B.②

C.①②D.①②③

【答案】C

【解析】由/+丁=l+k»得，/-|^y=l-x2,

所以X可取的整数有0,-1,1,从而曲线C：x2+y2=i+k|y恰好经过(0,1),(0)

-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1),共6个整点，结论①正确.

22

由x2+y2=l+W)得，％2+丁2,,1+笑匕，解得f+y242,所以曲线。上任意

一点到原点的距离都不超过也.结论②正确.

如图所示，易知A(0,-1),8(1,0),C(l,l,),0(0,1),

13

四边形ABC。的面积S四边形诋。=-xlxl+lxl=-,很明显“心形”区域的面积大于

2s四边形形6,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【名师点睛】本题考查曲线与方程、曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难

题，注重基础知识、基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.

将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线

上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积

的范围.

25.(2019年高考天津卷理数】已知抛物线J/=4x的焦点为产，准线为/,若/与双曲线

22

=一］=1(。〉0,。＞0)的两条渐近线分别交于点A和点8,且|AB|=41O/q(。为原点),

a~b~

则双曲线的离心率为

A.72B.V3

C.2D.75

【答案】D

【解析】抛物线V=4x的准线/的方程为％=-1,

b

双曲线的渐近线方程为y=±-x,

a

则有A(—1,—),B(—1,——),

aa

IAA2b2b..

・・AB\=—,—=4,h=2a，

aa

.cyja2+b2£

aa

故选D.

【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB

的长度.解答时，只需把|A3|=4|O周用。，瓦c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义

求得离心率.

26.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为疝)=0的双曲线的离心率是

C.A/2D.2

【答案】C

【解析】因为双曲线的渐近线方程为x±y=o,所以。=匕，则八耳+廿=缶,

所以双曲线的离心率e=-=41.故选C.

a

【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得。=匕，进一步可得离心率，属于容

易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此

类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

27.【2021•全国高考真题】已知。为坐标原点，抛物线C：>2=2磨(〃>0)的焦点为

F.P为。上一点，PE与％轴垂直，。为》轴上一点，且PQ_LOP,若|闻=6,则

C的准线方程为.

3

【答案】x---

2

【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得。，即得结果.

【详解】抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点

为C上一点，Pb与x轴垂直，

所以P的横坐标为K,代入抛物线方程求得P的纵坐标为±。，

2

不妨设P(5,p),

因为。为x轴上一点，且PQ_LOP,所以。在F的右侧，

又•」FQ|=6,

nuun

。(6+彳,0),;.尸。=(6,—p)

因为尸Q1_OP,所以而•丽=导6—p2=0,

Q〃>0,..〃二3,

3

所以C的准线方程为x=-一

2

3

故答案为：x=—.

2

【点评】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

2

28.【2021・全国高考真题(理)】已知双曲线--丁=1(〃2>0)的一条渐近线为

m

•J3x+my=0,则C的焦距为.

【答案】4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再结合双曲线中标,〃对应关系，

联立求解W,再由关系式求得C,即可求解

【详解】由渐近线方程由x+my=O化简得y=-3X,即2=且，同时平方得

mam

匕=三，又双曲线中/=加万=］,故±=_1,解得m=3,m=()(舍去)，

atnmm

°?="+炉=3+l=4nc=2,故焦距2c=4

故答案为：4

【点评】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式

求解是关键

29.【2021・北京高考真题】已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,点M为抛物线C上的

点，且|9|=6,则M的横坐标是；作MN1无轴于N,则£FMN=.

【答案】546

【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求SJMN-

【详解】因为抛物线的方程为V=4x,故〃=2且尸(1,0).

因为目=6,XM+-^=6,解得彻=5,故加=±2石，

所以5.=，(5-1)，2石=4石，

故答案为：5,不回

22

30.12021・浙江高考真题】已知椭圆=+4=l(a＞匕＞0),焦点耳(一c,0),K(c,0)

ab~

(c＞0),若过K的直线和圆(x—gc)+V=c2相切，与椭圆在第一象限交于点p,且

轴，则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.

［答案］还在

55

2

【分析】不妨假设c=2,根据图形可知，sin/P6片二§,再根据同角三角函数基本关

系即可求出Z=tanNP"鸟=［石；再根据椭圆的定义求出。，即可求得离心率.

sin/P4用sinZBFA-兽=2,nZPFF=.2=1V5

}忻4|3，tat2乒75

所以％=乎，由左=暮卜耳用=2C=4,所以忸用=1，归国=1^叵，于是

2_V5

2。=归用+归周=4右，即。=2逐，所以e=£

a2石一5

故答案为：乎；4

31.【2020年高考全国I卷理数】己知F为双曲线C:=1（4＞0力＞0）的右焦点，A为

a2b2

C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率

为.

【答案】2

x=c

x=c

X2V2b2

【解析】联立F—七=1解得＜b?，所以忸F|二幺.

Q-by=±一a

、a

a2=b2+c2

b2

-----22

依题可得,即a二c-一匚二y变形得C+Q=3Q,

c-aa(c-a)

c=2a,

因此，双曲线C的离心率为2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于

基础题.

32.【2020年高考天津】已知直线x-Gy+8=0和圆/+/=/（，>0）相交于AB两

点.若|AB|=6,则r的值为.

【答案】5

8

【解析】因为圆心（0,0）到直线x—6y+8=0的距离1=丁二=4,

由|A81=2J/一/可得6=2，解得r=5.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属

于基础题.

22

33.【2020年高考北京】已知双曲线--2~=1,则C的右焦点的坐标为；