2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科） （解析版）

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理

科）

一、选择题（共12小题）.

设集合驾^41}，则

1.A={x|B={x|4nB=()

A.[-1,3)B.[-1,3]C.[-4,-1]D.[-4,3)

2.若z+2z=3-i,则|z|=()

A.1B・&C.VSD.2

3.已知（x2+：）n（n€N*）的展开式中有常数项，则〃的值可能是（）

A.5B.6C.7D.8

4.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是

我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角

为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）

A.返B."C.返

223

5.已知上＞告＞0,则下列不等式：①上■＞：1；②间＞|绯③标＞〃；④©/〉©）,其

aba22

中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为

()

7.已知函数/（x）=2sin（3x+（p）（3＞0）,点A,8是曲线y=/（x）相邻的两个对称中

心，点C是/（x）的一个最值点，若△A8C的面积为1,则3=)

A.1B.---C.2D.K

2

8.已知函数/(x)=ex+e'x+cosx,则不等式/(2W>f(ni-2)的解集为()

A.(-co,-2)U(1",-K»)B.(-CO,-当U(2,+8)

oo

C.(-2,4)D.(4,2)

oo

9.在△ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c依次成等差数列，△ABC的周长为15,且

(sinA+sinB)2+cos2C—1+sinAsinB,则cosB=()

A13R11r1D1

141422

10.已知点A,B,C在半径为5的球面上，且A8=AC=20N，BC=2我,尸为球面上的

动点，则三棱锥P-4BC体积的最大值为()

5677R52曲「4班1W7

3333

11.已知点4在直线3x+y-6=0上运动，点B在直线x-3y+8=0上运动，以线段AB为直

径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为()

A.2LB.小C工D.亚

4242

12.已知a,pG(0,2IT),且满足sina-cosa=-^-,cosp-sinp=-^-,则sin(a+p)=()

A.1B.■或IC,且或1D.1或-1

24

二、填空题(共4小题).

13.平面向量£(2,2),b=(-l,3)，若金4)1(入Z+E)，贝葭=•

x-2y+3)0

14.若实数x,y满足约束条件,2x-y-340,则工3的取值范围是_____.

Xy

x+y-3>0

15.若函数/(x)=£-a|-1有两个零点，则实数a的取值范围是.

2八

16.设P为双曲线C：•^-_y2=］上的一个动点，点尸到c的两条渐近线的距离分别为小

和di,贝ij3di+(h的最小值为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题

S2

17.已知数列｛小｝的前〃项和为S”且一n2•和一的等差中项为1.

anan

(I)求数列｛“"｝的通项公式；

(H)设6"=log44"+l,求数列tr----)的前n项和Tn.

bnbnfl

18.如图，直四棱柱ABCZ)-4BiGDi的底面A8C£>为平行四边形，AD=3,AB=5,cos

o

ZBAD^—,BD=DD\,E是CCi的中点.

5

(I)求证：平面OBEJL平面A。。；

(II)求直线49和平面B£>E所成角的正弦值.

19.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1,2,3,24这24个整数

中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.

(I)当输入x=12和x=20时，求输出y的值；

(II)求输出的y值的分布列；

(III)某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1,2,

3的次数分别为395,402,403,请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.

20.己知椭圆Ci的离心率为乂且，一个焦点坐标为(0,2加)，曲线C2上任一点到点

3

邑0)和到直线乂=曹的距离相等.

44

(I)求椭圆G和曲线C2的标准方程；

(H)点P为Ci和C2的一个交点，过P作直线/交C2于点。，交G于点凡且Q,R,

P互不重合，若同=而，求直线/与x轴的交点坐标.

21.己知函数/(x)—In(x+1)+a,g(x)—ex'a,aeR.

(I)若”=O,曲线y=/(x)在点(回,/(xo))处的切线也是曲线y=g(x)的切线，

x0+l

证明：In(刈+1)=——.

x0

(II)若g(x)-f(x)>1,求a的取值范围.

选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修

4-4：坐标系与参数方程］

4

x=-3--t

22.在平面直角坐标系xOy中，直线八的参数方程为<a为参数)，直线上的参

y=3+-|-t

D

x—Fs

数方程为V(s为参数).

y=3+-

10~S

(I)设/i与，2的夹角为a,求tana；

(II)设/|与x轴的交点为A,/2与X轴的交点为B,以A为圆心，HBI为半径作圆，以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=\x-l|4-|ax+l|.

(I)当〃=2时，解不等式/(x)W5；

(II)当。=1时，若存在实数x,使得2〃z-l>/(x)成立，求实数"?的取值范围.

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.设集合A={x|驾*<1}，B={x|3x>j）-则An8=（）

A.[-1,3）B.[-1,3]C.[-4,-1]D.[-4,3）

解：因为乡怨-41，即当•《（>解得-4<x<3,故集合A={x|-4〈xV3},

x-3x-3

因为3**=3-1，所以x2-l，故集合8={小》-1}，

所以ADB=[-1,3）.

故选：A.

2.若z+2z=3-i,则|z|=（）

A.1B.&C.眄D.2

解:设z=a+6i,则z=a-bi，

因为z+2z=3-/,所以a+bi+2（a-bi）=3-i,

所以3o-bi=3-i,所以3〃=3,-b=-1,

所以。=1,b=l,所以z=l+i,

故|z尸百万二巧-

故选：B.

3.已知（X?」）n（n€N*）的展开式中有常数项，则〃的值可能是（）

X

A.5B.6C.7D.8

解：；已知（x2J）n（nEN*）的展开式中的通项公式为小尸

Xn

由于它的展开式中有常数项，则2〃-3r=0,即2〃=3厂，即H=-^-,r=0,1,2,•••,

n.

故当r=4时，可得〃=6,

故选：B.

4.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是

我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角

为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）

VT7

一-y一，二

A.返B.返C.返D.返

2234

解：塔顶是正四棱锥尸-A2CQ,

如图，PO是正四棱锥的高，

设底面边长为“，底面积为Si=a4

因为AO考ZPAO=45°.

所以PA~/^X-^-a=a,

所以△PA8是正三角形，面积为S.二应a2，

―24

近2

所以52Ra73.

——二二一.

Sia24

5.已知工＞J＞0,则下列不等式：①也•〉：［；②同＞瓦③〃＞见④（_l）a＞（_l）b其

aba22

中正确的是（）

A.①②B.③④C.②③D.①④

解：因为工＞工＞0,所以b＞a＞0,

ab

所以电＞1,故①正确；

a

I例故②错误；

护>〃，故③错误；

由指数函数/(X)=/炉为减函数，又b>a,所以/(a)>/(6),即c1)a〉g)b,

故④正确，

故正确的是①④.

故选：D.

6.从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为

()

A.—B.—C.—D.—

14774

解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有Cg3=56种取法，

其中任意两只都不成双的情况有C?X2X2X2=32种，

则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P="=当，

567

故选：C,

7.己知函数/(x)=2sin(a)x+(p)(a)>0),点A,8是曲线y=/(x)相邻的两个对称中

心，点。是/(x)的一个最值点，若△A3C的面积为1,则3=()

K

A.1B.---C.2D.TT

2

解：・・•点A,3是曲线y=/(x)相邻的两个对称中心，

：.AB=-^~,点C是/(x)的一个最值点，则aABC的高为2,

...三角形的面积x]X2=1，

22

2兀

...7=2,-=2,，3=n,

3

故选：D.

8.已知函数/(x)=eK+e'x+cosx,则不等式/(2加)>f(/n-2)的解集为()

A.(-8,-2)U仔，Q)B.(-8,q)U(2,+8)

00

C.(-2,D.(《，2)

解：/(-x)=e~x+ex+cosx=f(x),则/(x)是偶函数，

f(x)=ex-ex-siar,为奇函数，『(x)]'—ex+ex-sirir^2-siin>0,

即/(x)为增函数，当%>0时;/(x)>f(0)=1-1-0=0,

即/（X）在（0,+OO）上为增函数，

则不等式/（2机）>f（w-2）等价为不等式f（|2/%|）>/（|/n-2|）,

即127nl>|6-2|,平方得4〃?2>m2-4/?2+4,

即3〃户+4〃？-4>0,

得(m+2)(3m-2)>0,

o

得加>=或m<-2,

3

即不等式的解集为(-8,-2)U(-1«*)°)，

O

故选：A.

9.在△A3C中，内角A,B,。的对边〃，4c依次成等差数列，△ABC的周长为15,且

(sinA+sinB)2+cos2C=1+sinAsinB,则cos3=()

13

A.B.—C.-D.1

141422

解：由于a,6,c依次成等差数列,

所以可设。=工，b=x+d,c=x+2d,由于△ABC的周长为15,可得：x+d=5,

因为(sinA+sinB)2+cos2C=sin2/4+2sinAsinB+sin2^+1-sin2c=1+sinAsinB,即

sin2A+sinAsinB+sin2B-sin2c=0,

所以由正弦定理可得於伤一,2=-ab,

可得cosC=2W.&,2ZS2.=_。*卜:A,即x2+52-(5+d)2=1

2ab2ab2

22XxX5

将d=5-x代入到上式中，解得：x=3,d=2,

.•.4=3,b=5,c=7,

由余弦定理可得：cosB=22+©2_匕2=学泞卜耳

2ac2X3X714

故选：B.

10.已知点A,B,C在半径为5的球面上，且AB=AC=2jjN，BC=2我,P为球面上的

动点，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）

5677R527704977n1^7

3333

解：在△ABC中，由A8=4C=27I^，BC=2-/j,

得8£4=人,2+人。2_5（：2=（21）2+（2旧）2_（2巾）2=3

''-'2AC-AB=2X2V14X2V144'

.•.sinA=JiF0q2立,设的外接圆的半径为『，

V1COoA4

BC二2小

则2r=sinA-J7,即r=4,

~T

又三棱锥P-ABC的外接球的半径R=5,

则球心到ABC外接圆圆心的距离为病二R=3.

则当P到平面A8C距离最大时，三棱锥P-ABC的体积最大，

此时P到平面ABC的最大距离为R+3=8,

三棱锥P-ABC体积的最大值为v=l义工x2/14x2-714x近X8=^2

3243

故选：A.

11.已知点A在直线*+》-6=0上运动，点8在直线x-3y+8=0上运动，以线段A8为直

径的圆C与X轴相切，则圆C面积的最小值为（）

A.生B."C.也DE

4242

解：•.•直线3x+y-6=0与直线x-3y+8=0垂直，且交点为（1,3),

.•.以48为直径的圆过点（1,3）,

又圆C与x轴相切，.•.圆C的面积最小时，其直径恰好为点（13)到尤轴的距离，

此时圆的直径为3,则圆C面积的最小值为兀X

故选：C.

y

小

12.已知a,pe（0,2TT）,且满足sina-cosa=-^-,cos0-sinp=-^-,

则sin(a+p)=()

A.1B.或1C.旦或1

D.1或-1

24

解：Vsina-cosa=—,sin2a+cos2a=L

2

8sin2a-4sina-3=0,8cos2a+4cosa-3=0,

又COS0-sinp=y,sin2p+cos2p=1,

/.8cos2p-4cos0-3=0,8sin2p+4sina-3=0,

①若sina=cosp,贝ija+0=-^-或一；‘

此时sin(a+p)=1,

②若sina^cosp,

则sina,cosp是方程8x2-4x-3=0的根,

3

故sinacosp="-,

同时cosa,sinp是方程8x2+4x-3=0的根,

3

故cosasinp=--,

3

故sin(a+p)=sinacosp+cosasinp-----,

4

故sin(a+p)的值是1或-三

4

故选：C.

二、填空题

13.平面向量黑⑵2）,b=（-l,3），若（ZG）1（入Z+E），则入=_擀_.

解：..•向量Z=(2,2),b=(-l,3)，

a-b=（3，-1），入a+b=（"1,2入+3).

**（a-b）J_（入a+b>,3（2入-1）-IX(2入+3)=0,

解得人=多

故答案为：

x-2y+3)0

14.若实数x,y满足约束条件“2x-y-3<0,则工+^"的取值范围是_[2>.

、xXy2

x+y-3^0

解：由约束条件作出可行域如图,

x+y-3=0

联立4，解得A(2,1),

2x-y-3=0

x+y-3=0

联立4，解得8(1,2),

x-2y+3=0

则V)min=k°Ag)max=k°B=2'

令工二t，则1

x2

则工+■邑=/+工，在f=l时，取得最小值为2,在•或f=2时，取得最大值为名.

xyt22

，工■的取值范围是［2,与.

xy2

故答案为：［2,擀■］.

15.若函数/CO有两个零点，则实数〃的取值范围是(1,+8)

解：/(%)的零点个数等价于曲线丁=£-。|与直线y=l的交点个数,

故答案为：(1,+8).

2八

16.设尸为双曲线C：色_y2=i上的一个动点，点尸到C的两条渐近线的距离分别为力

和di,贝!j3di+ch的最小值为_2^2_.

解：设点尸为(/H,〃),则毛--〃2=1,即(帆-=2,

2

小什扬=耳西r

双曲线C的两条渐近线方程为x±6，=0,

|m-V2n||m-V2n|

所以di=d2=

71+(V2)2V3~13~

所以3,+d2=3xlm%n|+|m%n|=,*即-扬+鬲赤?卡?巫

=2&’

,等号成立,

当且仅当3|〃L^2i\=|m_J^n|＞即依-

所以34+4的最小值为2近.

故答案为：2，万

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题

17.已知数列｛〃“｝的前”项和为s,”且三■和2的等差中项为1.

anan

(I)求数列｛小｝的通项公式；

(II)设b"=log4“"+l,求数列tr~)的前n项和Tn.

bnbnfl

解：(I)由题意，可得%--=2，

整理，得S〃=2a〃-2,

当k=1时,a\=S\=2a\-2,解得m=2,

当〃22时，由Sn=2an-2,

可得Sn-\=2ati-1-2.

两式相减，可得cin=-2a,i-1,

化简整理，得斯=理〃-1,

・・・数列｛〃“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

1=

•*-an=2X2^2^/N*，

(II)由(I),可得b〃=log4a〃+i=log42"+i=n：l,

则Lb.=(n+D(n+2)=4喧?-'^)'

111

••T=T~v~~+T~r~'+,•,+T~r

nblb2b2b3b"i

=4X---^-)+4X(--^-)+…+4X(-------)

2334n+1n+2

平卷卷卷—+…Tr七

4X(/焉

2n

n+2

18.如图，直四棱柱ABC。-481Goi的底面A8CZ)为平行四边形，AD=3,AB=5,cos

Q

ZBAD=ABD=DD1,E是CG的中点.

5

(I)求证：平面。8E_L平面4。£)|；

(II)求直线A。和平面8OE所成角的正弦值.

【解答】(/)证明：由题意可得B£>2=A£>2+AB2-2A8XAOCOS/BAO=16,

所以AZ^+BDUA中,因此A£>_L8£>.

在直四棱柱A8C£>-48IG£)I中，_L平面A8C£),所以。£>i_LBD

又因为400001=。，DDiU平面ADA,A/)u平面A。。，

所以8£>J_平面A。。，

因为8Ou平面DBE,所以平面£>8E_L平面AODi

(ID解：由(/)知，DA,DB,0d两两垂直，

以。为原点，DB,。。所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则。(0,0,0),A(3,0,0),Di(0,0,4),8(0,4,0).

由族=前可得C1-3,4,0)，所以E(-3,4,2)•

则电=(-3,0,4),DB=(0,4,0)-DE=(-3,4,2)，

设n=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量,

DBn=4y=0

则《

DEn=-3x+4y+2z=0

令x=2,可得［=(2,0,3)

设直线和平面BDE所成的角为0,

|AD「n|-6+126A/13

则sin8=卜os(ADJ，n)I-

lAD7I|n|-5XVi3-65

19.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1,2,3,•••,24这24个整数

中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.

(I)当输入x=12和x=20时，求输出y的值；

(II)求输出的y值的分布列；

(1H)某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1,2,

3的次数分别为395,402,403,请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.

解：（/）当输入x=12时，因为12能被3整除，

所以输出y—1：

当输入x=20时，因为20不能被3整除，能被4整除，

所以输出y=2.

（ID当x为3,6,9,12,15,18,21,24这8个数时，输出y=l,所以P[1;

当x为4,8,16,20这4个数时，输出y=2,所以

当x为其余12个数时，输出y=3,所以

J2

故y的分布列为：

y123

p

~3~2

（/〃）程序输出y的值为1,2,3的频率分别为卷熟，寡咚，塞p

120012001200

可近似地认为都是喜，与（//）中所得的概率分布相差较大，

故推测该同学编写的程序不正确.

20.已知椭圆Ci的离心率为零，一个焦点坐标为（0,2&）,曲线C2上任一点到点

（4.0）和到直线X=）■的距离相等.

44

（I）求椭圆G和曲线C2的标准方程；

（H）点P为G和C2的一个交点，过P作直线/交C2于点Q,交G于点R,且Q,R,

「互不重合，若同=而，求直线/与x轴的交点坐标.

22

解：（I）设椭圆Cl：W=l（a〉b>0）,

根据条件可知被，且货-匕2=西

a3

解得）=12,按=4,

22

所以椭圆Ci的标准方程为三_2二1，

412

曲线C2是以2，0)为焦点，X=d为准线的抛物线，

44

故C2的标准方程为V=9x；

3x2+y2=12

(H)联立，，解得x=l,y=±3,不妨取尸(1,3),

Ly=9x

若直线/的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；

故可设直线/：y=k(x-1)+3,由题意可知ZWO,

y=kx+3-k

联立，,解得9-3k

,y2=9xyQf

y=kx+3-k布徂9-3k2-6k

联立‘解得

422

L3x+y=12

因为由=而，

所以「是QR的中点,

所以血21=&即殳电学延产=6,解得上=1，

2

2°k3+k

所以直线/的方程为y=x+2,其与x轴的交点坐标为(-2,0).

21.已知函数/(x)—In(x+1)+a,g(x)=e「"，aGR.

(I)若a=O,曲线y=/(x)在点(JCO,f(x()))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,

x+l

证明：In(xo+1)=—0—.

x0

(II)若g(x)-f(x)21,求a的取值范围.

【解答】证明：(I)若a=0,则/(x)=/〃(x+1),g(x)=,

・・・f，(X)=-g'a)=巴

x+1

曲线y=/(x)在点(/o,f(xo))处的切线方程为丫=~~r(X-XQ)+ln(x+l),

x0+iQ

令g'(x)=ex=~匚，则x=ln—二，

xo+lx0+l

曲线y=g(x)在点(ln-^r.—^7)处的切线方程为

x°+lx0+l

=

y-7~j-[x+ln(x0+l)]+—7-r,

x0+l0X0+1

由题意知一号(x-x0)+ln(x0+l)=-^-j-[x+ln(x0+l)]+~二，

XQ+1UUXQ+1UXQ+1

x

nL

整理可得一-ln（xn+l）=l.xo=O显然不满足,

x（）+l0