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课时过程性评价三十五抛物线的简单几何性质

3.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (

)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点【解析】选C.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过定点(1,0).所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

5.(多选题)已知平面内到定点F(0,1)比它到定直线l:y=-2的距离小1的动点的轨迹为曲线C,则 (

)A.曲线C的方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥1【解析】选AB.由题意可知:动点到定点F(0,1)与它到定直线l:y=-1的距离相等,由抛物线定义,知曲线C是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥2,所以C,D错误.

8.已知点P是抛物线y2=8x上的动点,F是抛物线的焦点,点A的坐标为(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为________.

【解析】由题意可得F(2,0),准线方程为x=-2,作PM⊥准线l,M为垂足,由抛物线的定义可得,|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,故当P,A,M三点共线时,|PA|+|PM|的值最小,|AM|=4-(-2)=6,所以|PA|+|PF|的最小值是6.答案:6

【能力进阶练】11.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 (

)A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.有无穷多条 D.不存在

12.(多选题)已知抛物线Γ:x2=4y的焦点为F,过F与y轴垂直的直线交抛物线Γ于点M,N,则下列说法正确的有 (

)A.点F坐标为(1,0)B.抛物线Γ的准线方程为y=-1C.线段MN长为4D.直线y=x-2与抛物线Γ相切

13.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点横坐标为2,则|AB|=__________.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M,因为抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),则由抛物线定义可得|AF|=x1+1,|BF|=x2

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