矩阵概念及运算

第二节矩阵的概念及运算一矩阵的概念例1某公司生产四种产品A,B,C,D,第一季度的销量分别如下表所示：产品销量月份ABCD一月300250220180二月320230200200三月310280210220

为了研究方便，在数学中常把表中的说明去掉，将上表简化为如下的矩形数表：此表在数学上称为矩阵。定义由个数，排成的m行n列的数表叫做m行n列矩阵（或矩阵）；其中叫做矩阵的元素；分别叫做的行标和列标。通常用大写字母或表示矩阵，也可记作或n阶方阵（m=n时）：行矩阵（m=1时）：列矩阵（n=1时）：零矩阵：或主对角线（方阵中元素所在的对角线）对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）：

如为对角方阵上三角阵例如为上三角阵下三角阵例如为下三角阵

对称阵满足例如为对称阵单位阵例如为单位阵转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列，得到的新矩阵，称为A的转置矩阵，记作例如，，则矩阵的相等：（即：矩阵的相等恰意味着元素对应相等）二矩阵的加法与减法设规定（即：矩阵的加减意味着元素对应相加减）如：则

注意：两个矩阵只有当它们的行数、列数分别相同时，才可进行加减。矩阵加法满足以下规律：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（其中A,B,C都是矩阵）例2已知并且A=B+C,求矩阵B和C。三数与矩阵相乘数k与矩阵的乘积规定为即并规定kA=Ak数与矩阵的乘法满足以下规律：（1）分配律：k(A+B)=kA+kB(k+h)A=kA+hA（2）结合律：k(hA)=(kh)A（其中，A，B都是矩阵，k，h为任意常数）例3已知求四矩阵与矩阵相乘先看一个例子：某厂生产两种产品，第一季度的销售额如表（1）所示（单位：千元），表（2）为产品质量全为一等品或全为二等品时的利润表。产品AB等级一等品二等品月份产品一月57A20%10%二月610B30%15%三月812表（1）表（2）因此，该厂产品若全为一等品或全为二等品时利润如下所示。等级一等品二等品月份一月二月三月上述三个数表，用矩阵表示为可记C=AB。其中而（即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）定义设令则称为A与B的乘积，记作C=AB。即结论：矩阵A与B的乘积AB有意义的充要条件是：左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数s。例4已知求AB和BA。可见，在一般情况下，矩阵的乘法满足以下规律：（1）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（2）结合律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)（其中A,B,C为矩阵,k为任意的数）在矩阵的乘法中，单位阵I所起的作用与普通代数中数1的作用类似，即AI=IA=A注意：当A,B均时，可以有AB=0。例如：则但AB=0（因此，通常的约分律在此不能滥用）五逆矩阵概念定义对于n阶方阵A，若存在n阶方阵C，使得AC=CA=I（I为单位阵），则称C为A的逆矩阵（简称逆阵），记作即。从而这时方阵A称为可逆的（非奇异的），否则，A叫做不可逆的（奇异的）。例如，则AC=CA=I。故。逆矩阵有以下性质：（1）若A可逆，则是唯一的。