初二奥数之和差化积

2020年数学竞赛初二奥数之

和差化积专题05和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算；2．代数式的化简与求值；3．简单的不定方程（组）；4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：元4+4=（元2+2元+2）（元2—2元+2）4元4+1=（2元2+2元+1）（2元2一2元+1）ab±a±b+1=（a±1）（b±1）；ab±a_b-1=(a_1)(b±1)；++5a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac).例题与求解2a-b【例1】已知ab中0,a2+ab-2b2=0,那么^—的值为2a+b（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a,b之间的关系，代入关系求值.【例2】a，b，c是正整数，a〉b,且a2-ab-ac+bc=7，则a-c等于A.－1 B．－1或－7 C．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有；（1）代入字母的值求值；（2）代入字母间的关系求值；（3）整体代入求值．

【例3】计算：(119973—2J9972—199519973+也【例3】计算：(119973—2J9972—199519973+也972—1998(“希望杯”邀请赛试题)(2)(24+1)(44+1)(64+1)(84+1)(104+1)

4 4 4 4 4(14+1)(34+1)(54+1)(74+1)(94+1)

44444(江苏省竞赛试题)解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于2)可以先研究(X4+1)的规律.4【例4】求下列方程的整数解．6xy+4X—9y—7=0 (上海市竞赛试题)2x2+5xy+2y2=2007 1四川省竞赛试题)解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识 .【例5】已知a+b=3,ab=2，求下列各式的值:1)a2b+ab2；2)(a2+b2；113ab.解题思路：先分解因式再代入求值【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如27=33,27就

是一个完全立方数.若a=19951993X199519953—19951994X199519923,求证：a是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可.能力训练A级1如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a,b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这6张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ^（烟台市初中考试题）．_（江_苏省_竞赛_试题_）2.已知x+y=3,x2+y2一肛=4，贝Ux4+y4+x．_（江_苏省_竞赛_试题_）3.方程x2-xy—5x+5y-1=0的整数解是 ^ （“希望杯”邀请赛试题）4如果x2-（m+1）x+1是完全平方式，那么m的值为 ^ （海南省竞赛试题）xy5已知2x2-3xy+y2=0xy中0)则一+-的值是yx1A.2,2—21B.2 C.2—2D.-2,-226.当x-y=1,x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4的值为. )TOC\o"1-5"\h\zA.—1 B．0 C．2 D．1.已知a>b>c,M=a2b+b2c+c2a,N=ab2+bc2+ca2，则|m与n的大小关系是（ ． ）AM<N B.M>N C.M=N D.不能确定（“希望杯”邀请赛试题）.n为某一自然数，代入代数式n3-n中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（. ）

A.388944B.A.388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：（北京市竞赛试题）（安徽省竞赛试题 ）19993—10003—9993（北京市竞赛试题）（安徽省竞赛试题 ）1999*1000*999222233+111123222233+11111310一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=82,64就是一个完全平方数，若a=19982+19982X19992+19992,求证：a是一个完全平方数.（北京市竞赛试题）已知四个实数a,b,c,d，且a丰b,c丰d，若四个关系式a2+ac=4,b2+bc=4,c2+ac=8,d2+ad=8，同时成立1求a+c的值；2分别求a,b,c,d的值.（湖州市竞赛试题）.已知n是正整数，且n4—16n2+100是质数，那么n（“希望杯”邀请赛试题）

.已知三个质数m,n,p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则m2+n2+p2=（“希望杯”邀请赛试题）已知正数a,b,c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+c+a=3，则|（a+1）（b+1）（c+1）= （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4—y4，因式分解的结果是（x—y）（x+y）（x2+y2），若取x=9,j=9时，则各个因式的值是：（x—y）=0,（x+y）=18,（x2+y2）=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时，用上述方法产生的密码是： .（写出一个即可）．（浙江省中考试题）.已知a,b,c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值^A恒正 B.恒负 C.可正可负D.非负TOC\o"1-5"\h\z（太原市竞赛试题 ）.若x是自然数，设y=x4+2x3+2x2+2x+1,则U .Ay一定是完全平方数 B.存在有限个x，使y是完全平方数Cy一定不是完全平方数 D.存在无限多个x，使y是完全平方数.方程2x2-3xy-2x2=98的正整数解有 组.A.3 B.2 C.1 D.0（“五羊杯”竞赛试题）.方程|xy|-2|x|+|y|=4的整数解有 组.A.2 B.4 C.6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）.设N=695+5X694+10X693+10X692+5X69+1试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10.当我们看到下面这个数学算式373+10.当我们看到下面这个数学算式373+133373+24337+1337+2450=61时大概会觉得算题的人用错了运算法. a3+b3 a+b则吧,因为我们知道量,力•但是,如果你动手计算一下,就会发现上式并没有错,不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：33+13_3+153+23 5+273+33_7+3103+7310+733+233+2，53+33 5+3，73+437+4，103+3310+3你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a,b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而以a,b,c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作现有数1和4,求：（1按）上述规则操作三次得到扩充的最大新数；2（）能否通过上述规则扩充得到新数1999,并说明理由．（重庆市竞赛试题）12设k，a，b为正整数.k被a2,b2整除所得的商分别为m,m+16若a,b互质，证明a2-b2与a2,b2互质；2当a,b互质时.求k的值；3若a,b的最大公约数为5,求k的值.（江苏省竞赛试题）专题05和□□积□□□□□□□□□例13或3例2D提示：(a—b)(a—c)=7.a—b>0,a—c>0.（1）IS提示：设1997=a,则原式=f：子(2)221(2)221提示：1、X2一X+—2)1、X2+X+—2)例4(1)X=1,y=—1提示：(2X—3)(2+3y)=1；x—445, x——445,x——221,x——445,上口---,.、/[否、 //八、，八八八八、,八(2)'\Y,\ '提示：(2X+y)(X+2y)=2007X1=669X3=223X(2)y=-221;[y=221.[y=445.[y=221.(—1)X(—669)=(—9)X(—223).例5 (1)a2b+ab2=ab(a+b)=2X3=6.(2)a2+b2=(a+b)2—2ab=32—2X2=5.(3)1+1_=a2+b2(a+b>-2ab32-2x25

a2b2a2b2 a2b2 2(3)例6提示：设m=19951993,则a=(2m+1〉..a+3b.36(x,y)=(6,5)或(4,5)1或一3ADBA(1)3(2)1^^提示：设a=22223,b=11112,则原式= a3；加、.设x=1998，则1999=x+133334 a3+(a-b)aXX2+X2x(X+1)2+(X+1)2=X4+2X3+3X2+2X+1=(X2+X+1)2=(1998+1999)2由(a2+ac)+(c2+ac)=4+8=12得(a+c)2=12故a+c=±2v'5由 (a2 +ac) -(b2 +bc) =4-4=0 (c2 +ac) -(d2 + ad)=8-8=0得(a -b)(a+b+c) =0(c-d)(a+c+d)=0而a丰b,c丰d

；.a+b+c=0,a+c+d=0从而b=d=-(a+c)又(a2+ac)一(c2+ac)=4-8=-4当a+c=2v3时a-c=―"解得a=、'c= ，b=d=-2v3；3 3 3当a+c=-233时a-c="解得a=- ，c=- ，b=d=2v3；3 3 3级提示：原式(n2+6n+10)(n2-6n+10),n-6n+10=1提示：(a+1)(b+1)=4,(b+1)(c+1)=4,(a+1)(c+1)=4,B提示：原式(a2+b2-c2)2-(2ab)2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)C提示：y=(%+1)2(x2+1)提示：原式(69+1)5=702=25xx55x75，共有(5+1)(5+1(5+1)=216个因数a3+b3a3+(a-b)3(aa3+b3a3+(a-b)3(ay)(a2-ab+b2) [1+(a-b)]a2-ab+b2)la+。-b42一a(a-b)+(a-b｝」就是扩充三次的最大数c+1=(a+1)(b+1)d=(a+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(a+c+1=(a+1)(b+1)d=(a+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(a+1)-1.d+1=(a+1)2(b+1)取b,c可得新数e=(b+1)(c+1)-1=(b+1)(a+1)(b+1)-1.・e+1=(b+1)2(a+1)设扩充后的新数为％,则总可以表示为%+1=(a+1)m-(b+1)n,式中m,n为整数当a=1,b=4时％+1=2mx5n又1999+1=2000=24x53故可以通过上述规则扩充得到设为a2-b2与a2的最大公因数，则a2-b2=su,a2=5V(s,vGNuGZ)于是+a2-(a2-b2)=b2=s(v-u)可见5是b2的因