第03讲导数与函数的极值最值（原卷版）

第03讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．一．利用导数求函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1．（1）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，是增函数B．当时，取到极小值C．在区间上，是减函数D．在区间上，是增函数（2）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值（3）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（

）A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点（4）函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．函数在上单调递减C．为函数的极大值点D．是函数的最小值（5）（多选）观察图象，下列结论错误的有（

）．A．若图中为图象，则在处取极小值B．若图中为图象，则有两个极值点C．若图中为图象，则在上单调递增D．若图中为图象，则的解集为【复习指导】：(1)导函数的图像看正负性，原函数的图像看单调性；(2)导函数的图像中，极值点的两侧正负性不同，先正后负为极大值（点），先负后正为极小值（点）；原函数的图像中，极值点的两侧单调性不同，先增后减为极大值（点），先减后增为极小值（点）.命题点2求已知函数的极值例2．（1）已知函数在处取得极值，则函数的极小值为（

）A． B． C． D．（2）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（

）A．1 B． C． D．－1（3）若是函数的一个极值点，则的极大值为（

）A． B． C． D．（4）函数在区间（0，e）上的极小值为（

）A．－e B．1－e C．－1 D．1（5）已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．【复习指导】：函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．命题点3已知极值(点)求参数例3．（1）已知函数在处取得极大值，则的值为（

）A． B． C．或 D．或（2）已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或（3）当时，函数取得极小值4，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10（4）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．（5）若函数在处取得极大值10，则的值为___________.（6）设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．（7）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.【复习指导】：已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．二．利用导数求函数的最值例4．（1）函数的最小值是（

）A． B．4 C． D．3【复习指导】：求函数最值的步骤(1)求函数的定义域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．（2）已知函数在区间上存在最小值，则实数_________．（3）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．（4）已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是___________.（5）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是____________．（6）已知函数．(=1\*romani)讨论的单调性；(=2\*romanii)当时，求在区间上的最小值．【复习指导】：含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．1．如图，可导函数y＝f(x)在点处的切线为l：y=g(x)，设，则下列说法正确的是（

）A．，是h(x)的极大值点B．，是h(x)的极小值点C．，不是h(x)的极值点D．2．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得最大值 D．在处取得极大值3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值4．若函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点C．是函数的极大值点 D．1是函数的极大值点5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数，则（

）A．的极大值为0 B．曲线在处的切线为轴C．的最小值为0 D．在定义域内单调7．若是函数的极值点．则的极小值为（

）A．3 B． C． D．08．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．10．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（

）A．2个极大值，1个极小值 B．1个极大值，1个极小值C．1个极大值，2个极小值 D．1个极大值，无极小值11．函数的极小值为（

）A． B． C． D．12．函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．413．设函数，，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为（

）A．1 B．3 C．1或3 D．不确定14．关于函数，给出下列四个判断：①的解集是；②有极小值也有极大值；③无最大值，也无最小值；④有最大值，无最小值.其中判断正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④15．函数的极大值为（

）A． B． C．0 D．16．已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．17．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．18．函数在区间上存在极值，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．519．若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．20．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．421．设函数在区间恰有5个极值点，4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．22．函数y＝的最大值为（

）A．e－1 B．e C．e2 D．1023．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值25．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．有且仅有两个极值点B．在区间上单调递增C．可能有四个零点D．若在区间上单调递减，则的最大值为626．函数的极小值为______.27．若是函数的一个极值点，则实数___________.28．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．29．已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________．30．已知函数在处有极小值，且极小值为6，则______.31．已知函数的极小值为2，则______32．函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是________.33．已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=_________.34．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.35．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________．36．已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.37．已知函数，，若当时，存在，，使得成立，则实数的取值范围是_____________.38．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______.39．已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______.40．已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.41．已知函数是的一个极值点．(1)求b的值；(2)当时，求函数的最大值．42．设函数，其中.(1)讨论的单调性；(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.43．已知函数(1)讨论的单调区间；(2)求在上的最大值.44．已知函数．(1)若，求函数的单调递减区间；(2)若，求函数在区间上的最大值；(3)若在区间上恒成立，求的最大值.45．已知函数.(1)若曲线在x＝1处的